Concursos Públicos(CESPE 2010 - SEDUC/ES) - Função Polinomial

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carlossousa
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Jan 2017 25 22:30

(CESPE 2010 - SEDUC/ES) - Função Polinomial

Mensagem não lida por carlossousa »

Boa noite pessoal tudo bem? Estava aqui estudando para um concurso e resolvendo algumas questões de matemática e tive dúvidas sobre dois itens da banca Cespe, diz respeito à funções polinomiais:

Considere [tex3]p(x)=(2x^3 + 3x^2)^{10} = a_0 + a_1x^1 +...+ a_nx^n[/tex3] , em que [tex3]x[/tex3] é um número real, [tex3]n[/tex3] é o grau do polinômio [tex3]p(x)[/tex3] e [tex3]a_0[/tex3] , [tex3]a_1[/tex3] , ... , [tex3]a_n[/tex3] são os coeficientes do polinômio. Com relação a esse polinômio, julgue os próximos itens:

85. [tex3]a_0 + a_1 + ... + a_n = 5^{10}[/tex3]
86. Os coeficientes [tex3]a_0[/tex3] , [tex3]a_1[/tex3] , [tex3]a_{19}[/tex3] são todos nulos.

Desde já agradeço.

Última edição: carlossousa (Qua 25 Jan, 2017 22:30). Total de 4 vezes.



Auto Excluído (ID:17092)
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Jan 2017 26 09:49

Re: (CESPE 2010 - SEDUC/ES) - Função Polinomial

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17092) »

Olá, carlossouza!
Segue a resolução:
Manipularemos um pouco o polinômio dado:
[tex3]p(x) = (2x^3+3x^2)^{10} = [x^2(2x+3)]^{10} = x^{20}(2x+3)^{10}[/tex3]
Vamos para os itens:
85. [tex3]a_0 + a_1 + ... + a_n = 5^{10}[/tex3] (Falso)
Aplicaremos para [tex3](2x+3)^{10}[/tex3] , a expansão do um número binomial (ou Binômio de Newton). A fórmula dela está logo abaixo:
Para um polinômio do tipo [tex3](ax+b)^n[/tex3] vale que:
[tex3](ax+b)^n = \sum_{p =0}^n \begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix} (ax)^{n-p}b^{\ p}[/tex3] , onde [tex3]n\geq p[/tex3] e [tex3]n,p \in \mathbb{N}[/tex3] .
Vale lembrar também que após realizar a expansão não devemos esquecer de multiplicar o resultado obtido por [tex3]x^{20}[/tex3] .
[tex3](2x+3)^{10} = \begin{pmatrix}
10 \\
0 \\
\end{pmatrix} (2x)^{10}3^{0} + \begin{pmatrix}
10 \\
1 \\
\end{pmatrix} (2x)^{9}3^{\ 1} + \begin{pmatrix}
10 \\
2 \\
\end{pmatrix} (2x)^{8}3^{\ 2} + \begin{pmatrix}
10 \\
3 \\
\end{pmatrix} (2x)^{7}3^{\ 3} + \begin{pmatrix}
10 \\
4 \\
\end{pmatrix} (2x)^{6}3^{\ 4} + \begin{pmatrix}
10 \\
5 \\
\end{pmatrix} (2x)^{5}3^{\ 5} + \begin{pmatrix}
10 \\
6 \\
\end{pmatrix} (2x)^{4}3^{\ 6} + \begin{pmatrix}
10 \\
7 \\
\end{pmatrix} (2x)^{3}3^{\ 7} + \begin{pmatrix}
10 \\
8 \\
\end{pmatrix} (2x)^{2}3^{\ 8} + \begin{pmatrix}
10 \\
9 \\
\end{pmatrix} (2x)^{1}3^{\ 9} + \begin{pmatrix}
10 \\
10 \\
\end{pmatrix} (2x)^{0}3^{\ 10} = 1024x^{10} +15360x^{9} + 103680x^{8} + 414720x^{7} + 1088640x^{6} + 1959552x^{5} + 2449440x^{4} + 2099520x^{3} + 1180980x^{2} + 393660x + 59049[/tex3]
Multiplicando o resultado obtido por [tex3]x^{20}[/tex3] :
[tex3]x^{20}(2x+3)^{10} = 1024x^{30} +15360x^{29} + 103680x^{28} + 414720x^{27} + 1088640x^{26} + 1959552x^{25} + 2449440x^{24} + 2099520x^{23} + 1180980x^{22} + 393660x^{21} + 59049x^{20}[/tex3]
Como a soma seria muito trabalhosa, você deve pegar aqui a casa das unidades de cada coeficiente e verificar se a soma é divisível por 5. No caso, não é. A soma deu 17.
86. Os coeficientes [tex3]a_{0}[/tex3] ,[tex3]a_{1}[/tex3] , [tex3]a_{19}[/tex3] são todos nulos. (Verdadeiro)
Basta lembrar e pensar no que o enunciado informa e olhar o seu resultado anterior:
[tex3]p(x)=(2x^3 + 3x^2)^{10} = a_0 + a_1x^1 +...+ a_nx^n[/tex3]
[tex3]x^{20}(2x+3)^{10} = 1024x^{30} +15360x^{29} + 103680x^{28} + 414720x^{27} + 1088640x^{26} + 1959552x^{25} + 2449440x^{24} + 2099520x^{23} + 1180980x^{22} + 393660x^{21} + 59049x^{20}[/tex3]

Bons estudos!

Última edição: Auto Excluído (ID:17092) (Qui 26 Jan, 2017 09:49). Total de 4 vezes.



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caju
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Re: (CESPE 2010 - SEDUC/ES) - Função Polinomial

Mensagem não lida por caju »

Olá carlossouza e Bernoulli,

No item 85, a resolução me pareceu com algum problema. Digo isso, pois a soma dos coeficientes de qualquer polinômio é calculada fazendo a substituição de [tex3]x[/tex3] por [tex3]1[/tex3] .

Ou seja, na questão 85, a resposta é [tex3]p(1)=(2\cdot 1^3 + 3\cdot 1^2)^{10} =5^{10}[/tex3] .

O que torna a afirmativa verdadeira.

Grande abraço,
Prof. Caju
Última edição: caju (Qui 26 Jan, 2017 10:36). Total de 2 vezes.


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Auto Excluído (ID:17092)
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Jan 2017 26 10:55

Re: (CESPE 2010 - SEDUC/ES) - Função Polinomial

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17092) »

Oi,

Sim, sim. Eu fiz burrada na soma. O item 85 está correto. No caso, o meu método seria trabalhoso demais também para verificar...

Obrigado!



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carlossousa
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Re: (CESPE 2010 - SEDUC/ES) - Função Polinomial

Mensagem não lida por carlossousa »

Muito obrigado Bernoulli e Prof. Caju, agora clareou bastante meus pensamentos, abraços.




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