Concursos Públicos ⇒ Álgebra Tópico resolvido

[bartdias]

Peço colaboração na seguinte questão:

Usando uma resolução técnica.

Desde já agradeço.

Os números reais [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

e [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

satisfazem a equação [tex3](x+5)^2+(y-12)^2=15^2[/tex3]

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[tex3](x+5)^2+(y-12)^2=15^2[/tex3]

. Qual o valor mínimo de [tex3]x^2+y^2[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2[/tex3]

?

[undefinied3]

Creio que a resposta seja a seguinte.

[tex3](x+5)^2+(y-12)^2=15^2 \rightarrow \sqrt{(x-(-5))^2+(y-12)^2}=15[/tex3]

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[tex3](x+5)^2+(y-12)^2=15^2 \rightarrow \sqrt{(x-(-5))^2+(y-12)^2}=15[/tex3]

Por que fiz isso? Pois veja que tal equação significa que a distância do ponto (x,y) ao ponto (-5,12) é de 15 unidades, então os pontos (x,y) estão na circunferência de raio 15 centrada em (-5,12). Minimizar [tex3]x^2+y^2[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2[/tex3]

significa minimizar o quadrado da distância da origem até o ponto (x,y), e aqui entra o teorema.

Teorema: para circunferências, a maior distancia e a menor distância da origem a um ponto da circunferência se encontram na reta que liga a origem ao centro da ciruncerência.

Isso nos leva à reta de equação [tex3]y=-\frac{12}{5}x[/tex3]

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[tex3]y=-\frac{12}{5}x[/tex3]

. Basta substituir na equação da circunferência para encontrar dois pontos. Um dele será o de maior distancia da origem (e consequentemente, maior [tex3]x^2+y^2[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2[/tex3]

e outro será o de menor).

[tex3](x+5)^2+(-\frac{12}{5}x-12)^2=15^2[/tex3]

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[tex3](x+5)^2+(-\frac{12}{5}x-12)^2=15^2[/tex3]

Resolvendo, encontramos [tex3]x=\frac{-140}{13}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{-140}{13}[/tex3]

e [tex3]x=\frac{10}{13}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{10}{13}[/tex3]

. Claramente o menor será para o segundo caso.
Quando [tex3]x=\frac{10}{13}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{10}{13}[/tex3]

, temos [tex3]y=-\frac{12}{5}.\frac{10}{13}=-\frac{24}{13}[/tex3]

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[tex3]y=-\frac{12}{5}.\frac{10}{13}=-\frac{24}{13}[/tex3]

Finalmente, [tex3]x^2+y^2=\frac{100}{169}+\frac{576}{169}=\frac{676}{169}=\left (\frac{26}{13} \right ) ^2[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2=\frac{100}{169}+\frac{576}{169}=\frac{676}{169}=\left (\frac{26}{13} \right ) ^2[/tex3]

[petras]

Finalizando: 676/169 = 4

[bartdias]

Deu para acompanhar bem o raciocínio. Refiz aqui e deu o mesmo valor.

Procurei aqui pelo gabarito e a resposta deu 2.

Será que faltou algum detalhe?

[undefinied3]

Bem,

Código: Selecionar tudo

[tex3]x^2+y^2=4[/tex3]

mesmo, até conferi aqui no geogebra. 2 seria a raiz quadrada disso, ou seja, a menor distância da origem até a cônica dada. Com certeza é um erro de gabarito.