Concursos Públicos ⇒ Análise Combinatória

[bartdias]

Solicito ajuda nesta na seguinte questão:

Julgue a seguinte afirmação:

Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 e considerando o valor posicional, pode-se formar 584 números que tenham, no mínimo, 3 algarismos.

Resposta

---

Gabarito: (V).

Desde já agradeço.

[caju]

Olá bartdias,

Se temos 8 algarismos disponíveis para formar números de no mínimo 3 algarismos, temos que testar todas as seguintes possibilidades:

Números de 3 algarismos: __ __ __
Números de 4 algarismos: __ __ __ __
Números de 5 algarismos: __ __ __ __ __
Números de 6 algarismos: __ __ __ __ __ __
Números de 7 algarismos: __ __ __ __ __ __ __
Números de 8 algarismos: __ __ __ __ __ __ __ __

Vou explicar detalhadamente o primeiro, e os outros saem com o mesmo raciocínio:

Números de 3 algarismos: __ __ __

Código: Selecionar tudo

[tex3]\rightarrow[/tex3]

Temos três casinhas para preencher, e temos 8 diferentes algarismos para escolher e colocar nessas casinhas.

• - Na primeira casinha, podemos colocar qualquer um dos 8 algarismos, menos o ZERO (pois daí não seria um número de 3 algarismos, seria um de 2 algarismos). Portanto, a primeira casinha pode ter 7 opções de escolha.
  
  - Na segunda casinha, podemos colocar qualquer um dos 8 algarismos, menos o algarismo que utilizamos na primeira casinha (agora podemos colocar o ZERO). Portanto, na segunda casinha também podemos ter 7 opções.
  
  - Na terceira casinha, podemos colocar qualquer um dos 8 algarismos, menos os algarismos que utilizamos nas primeira e segunda casinhas. Portanto, na terceira casinha podemos escolher dentre 6 opções.

Assim, pelo princípio fundamental da contagem, se a primeira casinha admite 7 opções, a segunda 7 opções e a terceira 6 opções, temos um total de

Código: Selecionar tudo

[tex3]7\cdot 7\cdot 6=294[/tex3]

números de 3 algarismos possíveis com esses 8 algarismos disponíveis.

Aplicando este mesmo raciocínio no restante, temos:

Números de 3 algarismos: __ __ __

Código: Selecionar tudo

[tex3]\rightarrow\,\,7\cdot 7\cdot 6=\boxed{294}[/tex3]

Números de 4 algarismos: __ __ __ __

Código: Selecionar tudo

[tex3]\rightarrow\,\,7\cdot 7\cdot 6\cdot 5=\boxed{1470}[/tex3]

Números de 5 algarismos: __ __ __ __ __

Código: Selecionar tudo

[tex3]\rightarrow\,\,7\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=\boxed{5880}[/tex3]

Números de 6 algarismos: __ __ __ __ __ __

Código: Selecionar tudo

[tex3]\rightarrow\,\, 7\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=\boxed{17640}[/tex3]

Números de 7 algarismos: __ __ __ __ __ __ __

Código: Selecionar tudo

[tex3]\rightarrow\,\,7\cdot 7 \cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=\boxed{35280}[/tex3]

Números de 8 algarismos: __ __ __ __ __ __ __ __

Código: Selecionar tudo

[tex3]\rightarrow\,\,7\cdot 7 \cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=\boxed{35280}[/tex3]

O total de números para dar como resposta ao exercício vai ser a soma dos números enquadrados acima:

Código: Selecionar tudo

[tex3]294+1470+5880+17640+35280+35280=\boxed{\boxed{95844}}[/tex3]

Ou seja, tem muito mais números do que apenas 584. O que me vem a mente, é que esse 584 do gabarito é parte da resposta que achei, bastando inserir o 9 no início e o 4 no final. Ou seja, será que ficaram faltando esses algarismos na sua digitação? Será que eu comi bola e vacilei na resolução?

Grande abraço,
Prof. Caju

[bartdias]

Olá,

Creio que a sua solução esteja certa. E os algarismos são os que digitei mesmo. Mas sua observação foi boa. Não tinha reparado isto. O gabarito inicial dava o item como falso. Depois retificaram o gabarito e deram como verdadeiro. Penso que inicialmente deram como errado porque a solução seria esta que vc postou. Mas talvez depois alguém pode ter entrado com recurso, ou algo assim. Porque o item não fala que são exatamente 584. Diz que pode ser 584. Realmente não sei o que poderia estar por trás desta questão. Talvez alguma pegadinha!? Mas minha solução seria igual a sua.

Abraço.

[caju]

Verdade, o fato de dizer "pode-se formar 584 números" ficou meio vago. Não deixou claro que ele estava falando "pode-se formar apenas 584 números".

Concordo com o gabarito V. A lógica de interpretação, mesmo sendo de língua portuguesa, é sempre cobrada em provas.

Grande abraço,
Prof. Caju