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[bartdias]

Se alguém puder dar uma ajuda nesta questão. Desde já agradeço.

Sobre cada cateto de um triângulo retângulo ABC é traçado um semicírculo de raio igual à metade da medida do cateto. Sobre a hipotenusa é traçado um outro semicírculo passando por ABC, cujo raio é a metade da medida da hipotenusa. A área total das regiões semicirculares limitadas pelos arcos de circunferência tem o mesmo valor absoluto que:

a) o dobro do produto dos catetos.
b) a metade do perímetro do triângulo.
c) a metade do produto dos catetos.
d) o perímetro do triângulo.
e) o dobro do perímetro do triângulo.

[csmarcelo]

Questão difícil de se interpretar, para não dizer impossível.

Procurando o desenho na internet descobri que trata-se das Lúnulas de Hipócrates.

Sem título.png (16.38 KiB) Exibido 1423 vezes

A área em questão é a cinza.

Área do triângulo ABC:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{ac}{2}[/tex3]

Área da semicircunferência ABC:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{\pi\left(\frac{b}{2}\right)^2}{2}=\frac{\pi b^2}{8}=\frac{\pi(a^2+c^2)}{8}[/tex3]

A área dos arcos AB e BC corresponde à área da semicircunferência ABC menos a área do triângulo ABC:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{\pi(a^2+c^2)}{8}-\frac{ac}{2}[/tex3]

Área das semicircunferências AB e BC:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{\pi\left(\frac{c}{2}\right)^2}{2}+\frac{\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}=\frac{\pi c^2}{8}+\frac{\pi a^2}{8} = \frac{\pi( c^2+a^2)}{8}[/tex3]

Á área cinza corresponde a área das semicircunferências AB e BC menos a área dos arcos AB e BC:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{\pi( c^2+a^2)}{8}-\left(\frac{\pi(a^2+c^2)}{8} - \frac{ac}{2}\right)=\frac{ac}{2}[/tex3]

[bartdias]

Realmente difícil interpretar.

Mas deu para entender o raciocínio agora.

Tinha tentado antes por um outro caminho calculando separadamente.

Obrigado pela ajuda.