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antony · Mensagem não lida por **antony** » Qua 14 Set, 2016 20:24

Considere a equação $b^{x}=m(b^{x}+b^{-x})+b^{-x}$ na variável real $x$ , com $b$ maior que zero e diferente de $1$ . O conjunto solução de todos os valores de m para os quais esta equação admite valores reais, é do tipo $]-a , a[$ , onde $a$ é real. Assim, o valor de $a$ é:

a) $1$
b) $2$
c) $\frac12$
d) $3$
e) $\frac14$

Resposta

gabarito A.

Oi,
[tex3]b^{x}=m(b^{x}+b^{-x})+b^{-x}[/tex3]
Substituiremos [tex3]b^x[/tex3] por c:

[tex3]c=m(c+\frac{1}{c})+\frac{1}{c}[/tex3]
[tex3]c - \frac{1}{c} = m(\frac{c^2 + 1}{c})[/tex3]
[tex3]\frac{c^2 - 1}{c} = m(\frac{c^2 + 1}{c})[/tex3]
[tex3]\frac{c^2 - 1}{\no c} = m(\frac{c^2 + 1}{\no c})[/tex3]
[tex3]c^2 - mc^2 -1 - m = 0[/tex3]
[tex3](1-m)\cdot c^2 - (m + 1) = 0[/tex3]

Faremos [tex3]\Delta \geq 0[/tex3] para obter um intervalo de valores reais:
[tex3]\Delta = b^2 - 4\cdot a\cdot c[/tex3]
[tex3]b^2 -4\cdot a\cdot c \geq 0[/tex3]
[tex3]0^2 -4\cdot (1-m)\cdot (-1-m) \geq 0[/tex3]
[tex3](1-m)\cdot (1+m) \geq 0[/tex3]

Chegamos em uma inequação como [tex3]f(x)\cdot g(x) \geq 0[/tex3] que tem duas saídas:
Saída 1) [tex3]f(x)\geq 0[/tex3] e [tex3]g(x)\geq 0[/tex3]
Saída 2) [tex3]f(x)\leq 0[/tex3] e [tex3]g(x)\leq 0[/tex3]
[tex3]S = (S_1 \cap S_2)\cup (S_3 \cap S_4)[/tex3]

Então:
Atribuindo f(x) = 1 - m e g(x) = 1 + m

Saída 1):

[tex3](1-m)\geq 0[/tex3]
[tex3]m\leq 1[/tex3]

[tex3]m+ 1 \geq 0[/tex3]
[tex3]m\geq -1[/tex3]
[tex3]S_1\cap S_2 = [-1;1][/tex3]

Saída 2):
[tex3]1 - m \leq 0[/tex3]
[tex3]m\geq 1[/tex3]

[tex3]1+m\leq 0[/tex3]
[tex3]m\leq -1[/tex3]
[tex3]S_3\cap S_4 = \{ }[/tex3]
Logo,
S = [-1;1], o que implica que nosso a é 1.

Até, Pedro.

Mensagem não lidapor **jedi** » Qua 14 Set, 2016 21:46 · Mensagem não lida por **jedi** » Qua 14 Set, 2016 21:46

vamos fazer uma mudança de variavel

$b^x=y$

então a equação fica

$y=m(y+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}$

$y^2=m(y^2+1)+1$

$(1-m)y^2=1+m$

$y=\sqrt{\frac{1+m}{1-m}}$

para que exista solução real o valor dentro da raiz tem que ser maior que 0 portanto

$\frac{1+m}{1-m}>0$

analisando o sinal do numerador e do denominado

m+1 é positivo quando maior que -1

1-m é positivo quando m é menor que 1

portanto $\frac{1+m}{1-m}$ é positivo quando m esta no intervalo $]-1,1[$

Concursos Públicos ⇒ (IFPE) Conjunto solução de equação

(IFPE) Conjunto solução de equação

Re: EQUACOES CONCURSO IFPE

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Concursos Públicos ⇒ (IFPE) Conjunto solução de equação

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Re: EQUACOES CONCURSO IFPE

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