Concursos Públicos

Seja [tex3]A=\{x \in \mathbb{Z} \,|\, x\,\leq\,5\}[/tex3] e seja [tex3]k[/tex3] o número de subconjuntos de [tex3]A[/tex3] com [tex3]5[/tex3] elementos, sendo [tex3]3[/tex3] ímpares e [tex3]2[/tex3] pares. Determine [tex3]k[/tex3] .

Resposta:

200

Apenas ajustando um detalhe no enunciado(acredito que esse seja o correto):

[tex3]A= \{ x \in \mathbb{Z} | \,\,|x| \leq 5 \}[/tex3]

Da propriedade modular:

[tex3]|x| \leq y \implies -y \leq x \leq y[/tex3]

temos:

[tex3]|x| \leq 5 \implies -5 \leq x \leq 5[/tex3]

Logo como [tex3]x \in \mathbb{Z}[/tex3] , temos os inteiros que respeitam o intervalo acima:

[tex3]x \in \{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 \}[/tex3]

Pares: [tex3]\{-4,-2,0,2,4 \}[/tex3]

Ímpares : [tex3]\{ -5,-3,-1,1,3,5\}[/tex3]

Temos então que:

[tex3]k = C_{6,3 } \cdot C_{5,2}[/tex3]

[tex3]C_{6,3} = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} \implies C_{6,3} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3!} \implies C_{6,3} = 20[/tex3]

[tex3]C_{5,2} = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} \implies C_{5,2} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3!} \implies C_{5,2} = 10[/tex3]

Logo [tex3]k = 20 \cdot 10 \implies \boxed{\boxed{ k=200}}[/tex3]

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