Concursos Públicos ⇒ polígono circunscrito Tópico resolvido

[vinicius2]

Um triângulo ABC têm área de 60cm quadrados e está circunscrito a uma circunferência com raio com 5 cm. Nestas condições, a área do triângulo equilátero que tem o mesmo perímetro que o triângulo ABC é, em cm quadrado:[/b]

[caju]

Olá vinicius,

Começamos fazendo o desenho da situação.



Fiz o desenho colorido propositalmente. Veja que a área do triângulo ABC pode ser separado como sendo a soma das áreas dos triângulos AOC + ABO + BOC.

A altura de cada um desses triângulos coloridos é igual ao raio do círculo inscrito (5 cm).
Vamos então calcular a área de cada triângulo colorido:

[tex3]A_{BOC}=\frac{a\cdot 5}{2}[/tex3]

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[tex3]A_{BOC}=\frac{a\cdot 5}{2}[/tex3]

[tex3]A_{AOC}=\frac{b\cdot 5}{2}[/tex3]

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[tex3]A_{AOC}=\frac{b\cdot 5}{2}[/tex3]

[tex3]A_{ABO}=\frac{c\cdot 5}{2}[/tex3]

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[tex3]A_{ABO}=\frac{c\cdot 5}{2}[/tex3]

A soma destas três áreas é 60:

[tex3]\frac{a\cdot 5}{2}+\frac{b\cdot 5}{2}+\frac{c\cdot 5}{2}=60[/tex3]

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[tex3]\frac{a\cdot 5}{2}+\frac{b\cdot 5}{2}+\frac{c\cdot 5}{2}=60[/tex3]

[tex3]\frac{(a+b+c)\cdot 5}{2}=60[/tex3]

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[tex3]\frac{(a+b+c)\cdot 5}{2}=60[/tex3]

[tex3]a+b+c=24[/tex3]

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[tex3]a+b+c=24[/tex3]

Esse é o perímetro do triângulo do enunciado.

O triângulo equilátero que tem esse mesmo perímetro, possui lado igual a 8 e, portanto, área:

[tex3]A=\frac{8^2\sqrt 3}{4}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{8^2\sqrt 3}{4}[/tex3]

[tex3]A=16\sqrt 3\hspace{4}cm^2[/tex3]

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[tex3]A=16\sqrt 3\hspace{4}cm^2[/tex3]