Olá Filipe,
Podemos começar observando a divisão entre dois números:
Podemos ver que cada algarismo que colocamos no quociente, temos um resto no algoritmo da divisão. Quando os algarismos do quociente começam a se repetir, os restos começam a se repetir também.
Como sabemos que a quantidade de restos possíveis em uma divisão não exata é igual a uma unidade a menos que o denominador (por exemplo, ao dividir um número por 6, só podemos ter os restos 1, 2, 3, 4 e 5 - ZERO seria uma divisão exata), então podemos ter esta mesma quantidade de algarismos na dízima. Com este raciocínio, podemos escrever a seguinte propriedade:
O comprimento do período da dízima [tex3]\frac{a}{b}[/tex3]
é, no máximo, [tex3]b-1[/tex3]
E isto vale para todas dízimas, com denominador primo ou não.
O fato é que, quando o comprimento é exatamente uma unidade a menos que o denominador, o denominador é primo.
Mas a recíproca não é verdadeira, ou seja, se o denominador for primo, não podemos garantir que o comprimento seja uma unidade a menos que ele, exemplo é 1/3 = 0,33333... que tem comprimento 1 e não 3-1=2.