Concursos PúblicosDízima periódica Tópico resolvido

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Dízima periódica

Mensagem não lida por Filipe » Dom 03 Dez, 2006 08:52

O número máximo de algarismos no período de uma dízima periódica obtida a partir do número racional \frac{p}{q} onde q é um número primo é igual a:
a) q
b) q+1
c) 2q
d) q-1
e) p+q

Última edição: Filipe (Dom 03 Dez, 2006 08:52). Total de 1 vez.



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caju
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Re: Dízima periódica

Mensagem não lida por caju » Qui 07 Dez, 2006 16:46

Olá Filipe,

Podemos começar observando a divisão entre dois números:

Imagem

Podemos ver que cada algarismo que colocamos no quociente, temos um resto no algoritmo da divisão. Quando os algarismos do quociente começam a se repetir, os restos começam a se repetir também.

Como sabemos que a quantidade de restos possíveis em uma divisão não exata é igual a uma unidade a menos que o denominador (por exemplo, ao dividir um número por 6, só podemos ter os restos 1, 2, 3, 4 e 5 - ZERO seria uma divisão exata), então podemos ter esta mesma quantidade de algarismos na dízima. Com este raciocínio, podemos escrever a seguinte propriedade:
O comprimento do período da dízima \frac{a}{b} é, no máximo, b-1
E isto vale para todas dízimas, com denominador primo ou não.

O fato é que, quando o comprimento é exatamente uma unidade a menos que o denominador, o denominador é primo.
Mas a recíproca não é verdadeira, ou seja, se o denominador for primo, não podemos garantir que o comprimento seja uma unidade a menos que ele, exemplo é 1/3 = 0,33333... que tem comprimento 1 e não 3-1=2.

Última edição: caju (Qui 07 Dez, 2006 16:46). Total de 1 vez.


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