Concursos PúblicosGeometria Analítica: Inequações do 2º Grau

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paulo testoni
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Geometria Analítica: Inequações do 2º Grau

Mensagem não lida por paulo testoni » Qui 26 Jul, 2007 11:21

Inscreve-se retângulos na região definida pelas desigualdades (x-1)^2-3y \leq 9 e (x-1)^2+y \leq 9 . Em tais condições, determine a área do retângulo de perímetro máximo.

Última edição: paulo testoni (Qui 26 Jul, 2007 11:21). Total de 1 vez.


Paulo Testoni

marco_sx
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Jul 2007 30 16:51

Mensagem não lida por marco_sx » Seg 30 Jul, 2007 16:51

Olá!

(x-1)^2-9 \leq 3y \Rightarrow y \geq \frac{1}{3}.(x-4).(x+2)\text{        }(i)

y \leq 9-(x-1)^2 \Rightarrow y \leq -(x-4).(x+2)\text{        }(ii)

A região limitada pelas duas desigualdades está indicada na figura abaixo.
  • AD44.png
    AD44.png (54.98 KiB) Exibido 430 vezes
Transladando os gráficos:
Dessa forma a região fica simétrica em relação ao eixo y.

Um dos lados do retângulo será b=2x e o outro será h=-x^2+9 - \left(\frac{x^2}{3}-3\right)=-\frac{4x^2}{3}+12.

Desse modo, o perímetro do retângulo é dado por:
  • 2p=2 \cdot \left[2x -\frac{4x^2}{3}+12\right]=-\frac{8}{3}\cdot x^2+4x+24
O perímetro é máximo para
  • x=\frac{-4}{2\cdot \left(-\frac{8}{3}\right)}=\frac{3}{4}
Logo,
  • b=2\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2} e h=-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{3}{4})^2 +12 =\frac{45}{4}.
Finalmente,
  • S=b\cdot h = \frac{3}{2}\cdot \frac{45}{4} =\frac{135}{8}=16,875.

Última edição: marco_sx (Seg 30 Jul, 2007 16:51). Total de 1 vez.



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