Se o quadrado de um número de dois dígitos é diminuído do quadrado do mesmo número em ordem reversa então o resultado não é sempre divisível por:
a) 9
b) o produto dos dígitos
c) a soma dos dígitos
d) a diferença dos dígitos
e) 11
Concursos Públicos ⇒ Sistema de Numeração Decimal Tópico resolvido
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Jun 2007
23
22:48
Re: Sistema de Numeração Decimal
Olá a todos,
Começamos pensando que o número pedido é formado pelo algarismo [tex3]a[/tex3] nas dezenas e [tex3]b[/tex3] nas unidades
[tex3]ab[/tex3]
Podemos então escrever este número como sendo a seguinte soma:
[tex3]10a+b[/tex3]
Ao colocar os algarismos em ordem reversa, teremos:
[tex3]10b+a[/tex3]
Elevando ao quadrado e diminuindo um do outro, teremos:
[tex3](10a+b)^2-(10b+a)^2[/tex3]
[tex3](100a^2+20ab+b^2)-(100b^2+20ab+a^2)[/tex3]
[tex3]100a^2+20ab+b^2-100b^2-20ab-a^2[/tex3]
[tex3]100a^2-100b^2-(a^2-b^2)[/tex3]
[tex3]100(a^2-b^2)-(a^2-b^2)[/tex3]
[tex3](a^2-b^2)(100-1)[/tex3]
[tex3](a^2-b^2)(99)[/tex3]
[tex3](a+b)\cdot(a-b)\cdot(99)[/tex3]
Agora as alternativas referem-se a este número encontrado. Note que ele é divisível por [tex3]a+b[/tex3] (soma dos digitos), é divisível por [tex3]a-b[/tex3] (diferença dos digitos), é divisível por [tex3]11[/tex3] e por [tex3]9.[/tex3] Ou seja, só não é divisível pelo produto dos digitos.
Resposta certa letra (b).
Começamos pensando que o número pedido é formado pelo algarismo [tex3]a[/tex3] nas dezenas e [tex3]b[/tex3] nas unidades
[tex3]ab[/tex3]
Podemos então escrever este número como sendo a seguinte soma:
[tex3]10a+b[/tex3]
Ao colocar os algarismos em ordem reversa, teremos:
[tex3]10b+a[/tex3]
Elevando ao quadrado e diminuindo um do outro, teremos:
[tex3](10a+b)^2-(10b+a)^2[/tex3]
[tex3](100a^2+20ab+b^2)-(100b^2+20ab+a^2)[/tex3]
[tex3]100a^2+20ab+b^2-100b^2-20ab-a^2[/tex3]
[tex3]100a^2-100b^2-(a^2-b^2)[/tex3]
[tex3]100(a^2-b^2)-(a^2-b^2)[/tex3]
[tex3](a^2-b^2)(100-1)[/tex3]
[tex3](a^2-b^2)(99)[/tex3]
[tex3](a+b)\cdot(a-b)\cdot(99)[/tex3]
Agora as alternativas referem-se a este número encontrado. Note que ele é divisível por [tex3]a+b[/tex3] (soma dos digitos), é divisível por [tex3]a-b[/tex3] (diferença dos digitos), é divisível por [tex3]11[/tex3] e por [tex3]9.[/tex3] Ou seja, só não é divisível pelo produto dos digitos.
Resposta certa letra (b).
Última edição: caju (Sáb 23 Jun, 2007 22:48). Total de 1 vez.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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