Concursos Públicos ⇒ seduc-máximo e minimo do cilindro Tópico resolvido

[Pdalindão]

Um tanque cilíndrico tem raio da base r e volume v ܸ, em que v é constante. Qual é a medida da altura ݄h do cilindro que
minimiza a área total da superfície?

a) h=r/2
b)h=r
c)h=r/3
d)h=3r
e)h=2r

Resposta

---

e

[petras]

[tex3]\\v = \pi r^2h \implies h = \frac{v}{\pi r^2} \\
S =2 \pi rh+2\pi r^2 =2 \pi r\frac{v}{\pi r^2}+2\pi r^2=2vr^{-1}+2\pi r^2\\
S' = 4\pi r-2vr^{-2} = 0 \implies 4\pi r = \frac{2v}{r^2} \therefore r^3 = \frac{v}{2\pi}\\
S'' = 4\pi + 4vr^{-3} = 4\pi + \frac{4v}{r^3}=4\pi + \frac{4v}{\frac{v}{2\pi} }=4\pi+8\pi =12 \pi > 0 \\
\therefore S'~pto ~mínimo\\
h =\frac{v.r}{\pi.r^2.r}= \frac{vr}{\pi r^3}=\frac{\cancel{v}r}{\cancel{\pi} .\dfrac{\cancel{v}}{2\cancel{\pi}}} \\
\therefore \boxed{h = 2r}


[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\v = \pi r^2h \implies h = \frac{v}{\pi r^2} \\
S =2 \pi rh+2\pi r^2 =2 \pi r\frac{v}{\pi r^2}+2\pi r^2=2vr^{-1}+2\pi r^2\\
S' = 4\pi r-2vr^{-2} = 0 \implies 4\pi r = \frac{2v}{r^2} \therefore r^3 = \frac{v}{2\pi}\\
S'' = 4\pi + 4vr^{-3} = 4\pi + \frac{4v}{r^3}=4\pi + \frac{4v}{\frac{v}{2\pi} }=4\pi+8\pi =12 \pi > 0 \\
\therefore S'~pto ~mínimo\\
h =\frac{v.r}{\pi.r^2.r}= \frac{vr}{\pi r^3}=\frac{\cancel{v}r}{\cancel{\pi} .\dfrac{\cancel{v}}{2\cancel{\pi}}} \\
\therefore \boxed{h = 2r}


[/tex3]