Concursos Públicos ⇒ FGV - Geometria Plana Tópico resolvido

[gab1234]

A figura a seguir mostra um heptágono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺 construído a partir de um hexágono regular convexo de área 24cm². No hexágono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹𝐺, traçam-se as diagonais 𝐹𝐵 e 𝐷𝐺. O ponto 𝐸 é a interseção dessas diagonais.

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A área desse heptágono é de
(A) 23,0cm2
.
(B) 22,5cm2
.
(C) 22,0cm2
.
(D) 21,5cm2
.
(E) 21,0cm2
.

Resposta

---

C

[petras]

gab1234,
Hexágono l=r
[tex3]S_{Hex} = \frac{6l^2\sqrt3}{4}=24 \implies r^2 = \frac{16}{\sqrt3}\\
\triangle FGE: sen 60^o = \frac{GE}{r}\implies GE = \frac{r\sqrt3}{2}\\
sen30^o = \frac{FE}{r}\implies FE = \frac{r}{2}\\
\therefore S_{\triangle FGE} = \frac{FE.EG}{2}=\frac{1}{2}.\frac{r\sqrt3}{2}.\frac{r}{2}=\frac{r^2\sqrt3}{8}\\
S_{Hep} = 24 - S_{\triangle FGE} = 24 - \frac{16}{\sqrt3}.\frac{\sqrt3}{8} = 24 - 2=\boxed{22}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{Hex} = \frac{6l^2\sqrt3}{4}=24 \implies r^2 = \frac{16}{\sqrt3}\\
\triangle FGE: sen 60^o = \frac{GE}{r}\implies GE = \frac{r\sqrt3}{2}\\
sen30^o = \frac{FE}{r}\implies FE = \frac{r}{2}\\
\therefore S_{\triangle FGE} = \frac{FE.EG}{2}=\frac{1}{2}.\frac{r\sqrt3}{2}.\frac{r}{2}=\frac{r^2\sqrt3}{8}\\
S_{Hep} = 24 - S_{\triangle FGE} = 24 - \frac{16}{\sqrt3}.\frac{\sqrt3}{8} = 24 - 2=\boxed{22}[/tex3]

[Pdalindão]

Obrigado pela resposta

[Pdalindão]

petras, Obrigado pela resposta e perdoe a minha ignorância. Mas porque FÊG é um ângulo reto? qual propriedade ou observação devo usar pra perceber isso?

[petras]

Pdalindão,

Quando não sabemos algo não se trata de ignorância mas apenas que que não conseguimos entender..

O Ângulo GFD vale 120 graus. Veja que o triangulo FGD é isóscekes portanto < FGD = < FDG =(180-120)/2 = 30 graus
POrtanto triÂngulo FEG: < FED = 180 - 60-30 - 90 graus