Concursos Públicos ⇒ Análise combinatória Tópico resolvido

[streg]

A palavra “financeira” possui 21.600 anagramas em que todas as vogais estão juntas.

[petras]

streg,
Utilizando permutação circular
[tex3]\mathtt{
F-N-N-C-R - \boxed{IAEIA}\implies \frac{6!}{2!}=360(I)\\
I-A-E-I-A \implies \frac{5!}{2!2!}=30(II)\\
(I).(II)=360.30 =10.800\color{green}\checkmark
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{
F-N-N-C-R - \boxed{IAEIA}\implies \frac{6!}{2!}=360(I)\\
I-A-E-I-A \implies \frac{5!}{2!2!}=30(II)\\
(I).(II)=360.30 =10.800\color{green}\checkmark
}[/tex3]

[caju]

Olá, streg e petras,

Separando as vogais e consoantes da palavra FINANCEIRA, ficamos com:

[tex3]\mathtt{F\,N\,N\,C\,R\,I\,A\,E\,I\,A}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{F\,N\,N\,C\,R\,I\,A\,E\,I\,A}[/tex3]

Como a questão quer os anagramas com as vogais juntas, vamos fixá-las juntas:

[tex3]\mathtt{\boxed{F}\,\boxed{N}\,\boxed{N}\,\boxed{C}\,\boxed{R}\,\boxed{I A E I A}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{\boxed{F}\,\boxed{N}\,\boxed{N}\,\boxed{C}\,\boxed{R}\,\boxed{I A E I A}}[/tex3]

Agora nós temos um total de 6 elementos para permutar (estamos considerando cada quadradinho acima como um elemento). Portanto, temos 6 elementos, mas 2 são repetidos (a letra [tex3]\mathtt{\boxed{N}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{\boxed{N}}[/tex3]

se repete). Portanto:

[tex3]P_6^2=\frac{6!}{2!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_6^2=\frac{6!}{2!}[/tex3]

Mas, temos que permutar internamente no bloquinho das vogais, também. Dentro desse bloquinho temos 5 vogais com repetições (a vogai [tex3]\mathtt{\boxed{I}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{\boxed{I}}[/tex3]

e a vogal [tex3]\mathtt{\boxed{A}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{\boxed{A}}[/tex3]

) se repetem. Para incluir essa permutação interna, multiplicamos pela permutação externa calculada anteriormente. Ou seja, a resposta final da quantidade de anagramas pedida é:

[tex3]P_6^2\cdot P_5^{2,2}=\frac{6!}{2!\cdot 2!}\cdot\frac{5!}{2!}=\boxed{10800}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_6^2\cdot P_5^{2,2}=\frac{6!}{2!\cdot 2!}\cdot\frac{5!}{2!}=\boxed{10800}[/tex3]

Afirmativa FALSA.

Grande abraço,
Prof. Caju

[petras]

caju,

Mas temos a vogal "i" e a vogal "a" dentro do bloco repetidas...
Não seria P5^2,2

Não precisaria dividir por 2!.2!?

[caju]

Verdade! Fiz a correção na resolução Obrigado

[LostWalker]

Considerando que o gabarito esteja certo, um amigo meu sugeriu se a palavra não seria "financeiro". Foi apenas uma hipótese dele. Nesse caso, a resposta coincidiria no gabarito.

[petras]

LostWalker,

A questão original da prova está como financeirA
(20 A palavra “financeira” possui 21.600 anagramas em que
todas as vogais estão juntas)