Concursos PúblicosCálculo - Reta Tangente e limites - Petrobrás - Engenheiro de Petróleo Júnior - 2003 Tópico resolvido

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julianonara
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Cálculo - Reta Tangente e limites - Petrobrás - Engenheiro de Petróleo Júnior - 2003

Mensagem não lida por julianonara »

grafico.jpg
grafico.jpg (7.96 KiB) Exibido 731 vezes
A figura acima representa os gráficos das funções f(x) e g(x), com [tex3]-1\leq [/tex3] x [tex3]\leq 1[/tex3] , definidas por f(x) = a [tex3]x^{2}[/tex3] +bx+c, em que a, b e c são constantes reais, f'(-[tex3]\frac{1}{2}[/tex3] ) = 10 e g(x) = [tex3]\sqrt{1-x^{2}}[/tex3] . O gráfico de g, no plano de coordenadas cartesianas xOy é a parte superior da circunferência de centro na origem e raio 1. Considerando essas informações e que a unidade de medida é o metro, julgue os itens seguintes:

1 - reta tangente ao gráfico da função f, no ponto correspondente a x = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] é perpendicular à reta tangente ao mesmo gráfico, no ponto correspondente a x = - [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

2 - A área da região sob o gráfico da função f é superior a 6 vezes a área da região sob o gráfico da função g.

3 - [tex3]\lim_{x \rightarrow 1}[/tex3] [tex3]\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)[/tex3] = + [tex3]\infty [/tex3]

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Resposta

1 - E, 2- C, 3 - E




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Cardoso1979
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Re: Cálculo - Reta Tangente e limites - Petrobrás - Engenheiro de Petróleo Júnior - 2003

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Oba! Mais uma questão com gabarito 😃😃😃😃😃😃😃

Uma solução ( Comentários ) :

Do enunciado, temos

f'( x ) = 2ax + b

f'( - 1/2 ) = - a + b

Mas , f'( - 1/2 ) = 10 , daí

- a + b = 10 ( I )


Analisando o gráfico, podemos extrair:

• x = 1 e f( x ) = y = 0

Substituindo em f( x ) = ax² + bx + c , obtemos

a + b + c = 0 ( I I )


• x = - 1 e f( x ) = y = 0

Substituindo em f( x ) = ax² + bx + c , obtemos

a - b + c = 0 ( I I I )


De ( I ) , ( I I ) e ( I I I ) , teremos o seguinte sistema

{ - a + b = 10
{ a + b + c = 0
{ a - b + c = 0

Donde obtemos , a = - 10 , b = 0 e c = 10.

Logo,

f( x ) = - 10x² + 10


Comentários:

1 - reta tangente ao gráfico da função f, no ponto correspondente a x = 1/2 é perpendicular à reta tangente ao mesmo gráfico, no ponto correspondente a x = - 1/2.


Para ganharmos tempo , basta calcularmos o coeficiente angular da reta tangente a f(x) , ou seja , devemos encontrar f'( 1/2 ) , temos:

f'( x ) = - 20x → f'( 1/2 ) = - 10 ( chamaremos de m o coeficiente angular da reta tangente a f(x) no ponto de abscissa x = 1/2.

Veja que o autor já forneceu o coeficiente angular da reta tangente a f( x ) no ponto de abscissa x = - 1/2 que vale f'( - 1/2 ) = 10 que chamaremos de m1.

Daí , se y = mx + n e y = m1x + n1 são retas perpendiculares, então os seus coeficientes angulares satisfazem a relação

m.m1 = - 1



Substituindo , vem;

m.m1 = - 1

( - 10 ).( 10 ) ≠ - 1 , portanto Errado! ( E )




2 - A área da região sob o gráfico da função f é superior a 6 vezes a área da região sob o gráfico da função g.


[tex3]A_{f(x)} = \int\limits_{-1}^{1}( - 10x^2 + 10 )dx[/tex3]

Desenvolvendo, obtemos:

Af(x) = 40/3m² = 13,3333333333m²


Ainda,

[tex3]A_{g(x)} = \int\limits_{-1}^{1}\sqrt{ 1 - x^2 }dx[/tex3]

[tex3]A_{g(x)} = 2.\int\limits_{0}^{1}\sqrt{ 1 - x^2 }dx[/tex3]

Para resolver a integral acima , você tem que utilizar a seguinte substituição trigonométrica

x = sen ( u ) → u = arc sen ( x ) , dx = cos ( u ) du.

Fazendo as devidas substituições , obtemos

Ag(x) = π/2 m² = 1,57079632678 m²

Obs.1 Caso não queira usar integral e para ganharmos tempo , basta você utilizar a fórmula para calcular a área do círculo .

A = π.r² = π.1² = π m²

Como temos só a metade do círculo , logo

Ag(x) = π/2m²

Agora , basta comparar... , de fato a área da região sob o gráfico da função f é superior a 6 vezes a área da região sob o gráfico da função g. Portanto , Certo! ( C )

Obs.2

A área da região sob o gráfico da função f é superior até mesmo a oito (8) vezes a área da região sob o gráfico da função




Por fim,


3- [tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = + ∞ [/tex3]


Temos,

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{- 10x^2 + 10}{\sqrt{1 - x^2 }}\right) = [/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{\frac{ ( 10 - 10x^2 )^2}{1 - x^2 }} = [/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{\frac{ 10^2.( 1 - x^2 )^2}{1 - x^2 }} = [/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{\frac{ 100.( 1 - x^2 ).\cancel{( 1 - x^2 )}}{\cancel{1 - x^2} }} = [/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{100.( 1 - x^2 )} = [/tex3]

√[ 100.( 1 - 1² ) ] = √[ 100.( 1 - 1 ) = √[ 100.0 ] = √0 = 0 ≠ + ∞ . Portanto , Errado! ( E )


Detalhes adicionais:

A equação da reta tangente a f(x) em ( 1/2 , f( 1/2 ) ) é :
y - f( 1/2 ) = f'( 1/2 ).[ x - ( 1/2 ) ]

{ f( 1/2 ) = 15/2
{ f'( x ) = - 20x → f'( 1/2 ) = - 10

Assim, y - ( 15/2 ) = - 10.[ x - ( 1/2 ) ] → y = - 10x + ( 25/2 ) é a equação da reta tangente a f(x) em ( 1/2 , f( 1/2 ) ).


Já a equação da reta tangente a f(x) no ponto ( - 1/2 , f( - 1/2 ) ) é y = 10x + ( 25/2 ).




Excelente estudo!




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