Concursos Públicos ⇒ Números Complexos

[brnzera]

Considere as afirmações sobre as soluções da equação z² – z(conjugado) =
0, com z ∈ C:
I. Possui exatamente duas soluções.
II. A soma de todas as soluções é igual a 1.
III. O módulo de todas as soluções é menor ou igual a 1.
É(são) verdadeira(s) a(s) afirmação(ões):

a) I.
b) III.
c) I, II.
d) II, III.
e) I, II, III.

Resposta

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B

[LostWalker]

Forma Algébrica

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Nesses casos que só temos uma conta, em geral vale a pena o uso da forma algébrica, já que apenas com uma equação teremos o dois sistemas lineares para duas variáveis. Enfim, vamos seguir que:

[tex3]z=a+bi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=a+bi[/tex3]

Ou seja:

[tex3]z^2-\bar z=0\\z^2=\bar z\\(a+bi)^2=(a-bi)\\a^2+2abi-b^2=a-bi\\{\color{PineGreen}a^2-b^2}+{\color{Purple}2abi}={\color{PineGreen}a}-{\color{Purple}bi}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z^2-\bar z=0\\z^2=\bar z\\(a+bi)^2=(a-bi)\\a^2+2abi-b^2=a-bi\\{\color{PineGreen}a^2-b^2}+{\color{Purple}2abi}={\color{PineGreen}a}-{\color{Purple}bi}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}a^2-b^2=a\\2ab=-b\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}a^2-b^2=a\\2ab=-b\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o Sistema

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Olhe primeiro a segunda equação:

[tex3]2ab=-b\\2ab+b=0\\b(2a+1)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2ab=-b\\2ab+b=0\\b(2a+1)=0[/tex3]

De acordo com o bom senso, tomamos que, ou [tex3]\boxed{b=0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{b=0}[/tex3]

ou [tex3]\boxed{2a+1=0~~\therefore~~a=-\frac12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{2a+1=0~~\therefore~~a=-\frac12}[/tex3]

. Vamos tomar a primeira solução e substituir na primeira:

[tex3]a^2-{\color{PineGreen}b^2}=a\\a^2-{\color{PineGreen}0^2}=a\\a^2=a\\\boxed{a=1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2-{\color{PineGreen}b^2}=a\\a^2-{\color{PineGreen}0^2}=a\\a^2=a\\\boxed{a=1}[/tex3]

Temos a primeira solução:

[tex3]\boxed{\boxed{z=1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{z=1}}[/tex3]

Agora, vamos usar a segunda solução, substituindo na primeira equação:

[tex3]{\color{PineGreen}a^2}-b^2={\color{PineGreen}a}\\{\color{PineGreen}\(-\frac12\)^2}-b^2={\color{PineGreen}-\frac12}\\-b^2=-\frac12-\frac14\\b^2=\frac34[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\color{PineGreen}a^2}-b^2={\color{PineGreen}a}\\{\color{PineGreen}\(-\frac12\)^2}-b^2={\color{PineGreen}-\frac12}\\-b^2=-\frac12-\frac14\\b^2=\frac34[/tex3]

Com isso temos:

[tex3]b=\pm\frac{\sqrt3}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=\pm\frac{\sqrt3}2[/tex3]

Ou seja, mais duas solução:

[tex3]\boxed{\boxed{z=-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\\z=-\frac12-\frac{\sqrt3}2i}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{z=-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\\z=-\frac12-\frac{\sqrt3}2i}}[/tex3]

Testando as Afirmações

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I. Possui exatamente duas soluções - Falso

Visto que encontramos 3 soluções.



II. A soma de todas as soluções é igual a 1 - Falso

Somando temos:

[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}1}}-{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac12}}+{\color{Blue}\cancel{\color{Black}\frac{\sqrt3}2i}}-{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac12}}-{\color{Blue}\cancel{\color{Black}\frac{\sqrt3}2i}}=\boxed{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}1}}-{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac12}}+{\color{Blue}\cancel{\color{Black}\frac{\sqrt3}2i}}-{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac12}}-{\color{Blue}\cancel{\color{Black}\frac{\sqrt3}2i}}=\boxed{0}[/tex3]

III. O módulo de todas as soluções é menor ou igual a 1 - Verdadeiro

[tex3]|1|=1~~\checkmark[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|1|=1~~\checkmark[/tex3]

[tex3]\left|-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\right|=\left|-\frac12-\frac{\sqrt3}2i\right|=\(\frac12\)^2+\(\frac{\sqrt3}2\)^2=\frac14+\frac34=\boxed{1}~~\checkmark[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left|-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\right|=\left|-\frac12-\frac{\sqrt3}2i\right|=\(\frac12\)^2+\(\frac{\sqrt3}2\)^2=\frac14+\frac34=\boxed{1}~~\checkmark[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa B}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa B}[/tex3]