Concursos Públicos ⇒ (FGV-2021) Geometria Plana Tópico resolvido

[Berredo]

Considere um triângulo ABC. Seja M o ponto médio do lado AC. Sejam P e Q os pontos que dividem o lado BC em três partes iguais, sendo P mais próximo de do B que de C. A área do triângulo PQM é 4. A área do quadrilátero ABPM é
(A) 24.
(B) 20.
(C) 16.
(D) 12.
(E) 8.

Resposta

---

C

[rodBR]

Solução:

Figura.png (15.3 KiB) Exibido 3197 vezes

De [tex3]BP=PQ=QC\implies[BMP]=[PMQ]=[QMC]=4\iff\boxed{[BMC]=3\cdot4=12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BP=PQ=QC\implies[BMP]=[PMQ]=[QMC]=4\iff\boxed{[BMC]=3\cdot4=12}[/tex3]

De [tex3]M[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M[/tex3]

ser ponto médio de [tex3]AC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AC[/tex3]

, segue que [tex3][ABM]=[CBM]=12[/tex3]

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[tex3][ABM]=[CBM]=12[/tex3]

Portanto,

[tex3][ABPM]=[ABM]+[BMP]\\
[ABPM]=12+4\ \therefore \ \boxed{\boxed{[ABPM]=16 \ u.a}}\implies \text{Alternativa C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][ABPM]=[ABM]+[BMP]\\
[ABPM]=12+4\ \therefore \ \boxed{\boxed{[ABPM]=16 \ u.a}}\implies \text{Alternativa C}[/tex3]

att>>rodBR

[Berredo]

Porque BMP=PMQ=QMC? não consigo ver relação

[rodBR]

fig.png (27.52 KiB) Exibido 3192 vezes

A primeira propriedade de área de triângulos que usei é análoga a essa...Basta perceber que as bases são iguais e a altura é a mesma para os três triângulos.

[Berredo]

Égua mestre RodBR, tu é o cara. Tu supera todos os grandes matemáticos...
Kkk...
Valeu.

[rodBR]

Porque BMP=PMQ=QMC?

fig.png (14.64 KiB) Exibido 3187 vezes

A altura destacada em vermelho é a mesma para os três triângulo ([tex3]\Delta BMP, \ \Delta PMQ, \ \Delta QMC[/tex3]

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[tex3]\Delta BMP, \ \Delta PMQ, \ \Delta QMC[/tex3]

) e como as bases são iguais ([tex3]BP=PQ=QC[/tex3]

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[tex3]BP=PQ=QC[/tex3]

), segue que as áreas são equivalentes.