Concursos PúblicosAnálise Combinatória - primeiro lema de Kaplansky Tópico resolvido

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marcello10
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Jan 2019 10 22:58

Análise Combinatória - primeiro lema de Kaplansky

Mensagem não lida por marcello10 » Qui 10 Jan, 2019 22:58

De acordo com o primeiro lema de Kaplansky, a quantidade de subconjuntos de {1, 2, 3,..., n} com p elementos, em que não há números consecutivos, é dada pela fórmula seguinte: [tex3]\frac{(n-p+1)!}{p!(n-2p+1)!} [/tex3] .
Uma breve explicação sobre tal lema:
Uma das aplicações desse lema é a contagem do número de maneiras de se sentar quatro
meninas e seis meninos em uma fila de dez cadeiras, de modo que duas meninas não
fiquem em posições adjacentes. A estratégia para se realizar essa contagem compreende
quatro passos. Em primeiro lugar, deve-se contar o número de maneiras de se escolher
quatro cadeiras sem que haja cadeiras consecutivas; esse procedimento deve ser feito
utilizando-se o lema de Kaplansky. Em seguida, deve-se contar o número de maneiras de
organizar as meninas nessas cadeiras. O próximo passo consiste em contar o número de
maneiras de se distribuir os meninos nas cadeiras restantes. Por fim, deve-se usar o
princípio multiplicativo.

(Cespe – UnB – TRE-ES – 2011) Diante dos dados acima, é correto afirmar que o
número de maneiras de se sentar quatro meninas e seis meninos em uma fila de dez
cadeiras, de modo que não fiquem duas meninas em posições adjacentes, é superior a
600 mil.
Resposta

Certo




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MateusQqMD
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Jan 2019 11 10:51

Re: Análise Combinatória - primeiro lema de Kaplansky

Mensagem não lida por MateusQqMD » Sex 11 Jan, 2019 10:51

O número de modos de organizarmos os 6 meninos em fila é [tex3]P_6 = 6![/tex3] . Por exemplo, uma dessas configurações é


[tex3]\begin{array}{ccccccccc}
\underline{} & \text{M}_1 & \underline{} & \text{M}_2 & \underline{} & \text{M}_3 & \underline{} & \text{M}_4 & \underline{} & \text{M}_5 & \underline{}& \text{M}_6 & \underline{}\\
1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & & 6 & & 7 \\

\end{array}[/tex3]

Note, agora, que todos os espaços assinalados correspondem a espaços não consecutivos. Portanto, devemos arrumar as 4 meninas nesses espaços. Como em cada lugar só pode entrar uma menina, basta escolhermos 4 espaços entre os 7 disponíveis, [tex3]C_7^4 = \frac{7!}{4!3!}[/tex3] . Em seguida, devemos colocar as 4 meninas nos 4 lugares selecionados, o que pode ser feito de [tex3]4![/tex3] modos

A resposta é [tex3]6! \cdot C_7^4 \cdot 4! = 604800[/tex3]

Se você quiser eu posso resolver usando Kaplansky, sai até mais rápido, mas eu considero essa resolução mais intuitiva.




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Jan 2019 11 10:58

Re: Análise Combinatória - primeiro lema de Kaplansky

Mensagem não lida por marcello10 » Sex 11 Jan, 2019 10:58

Cara, muito obrigado, quando eu tentei fazer, não pensei em distribuir os meninos e meninas, obrigado mesmo.




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