Maratonas de FísicaV Maratona de Física IME/ITA

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LPavaNNN
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Jun 2016 16 22:26

Re: V Maratona de Física IME/ITA

Mensagem não lida por LPavaNNN » Qui 16 Jun, 2016 22:26

Solução do problema 10:

a) Derivando nos três eixos :

[tex3]\frac{dx}{dt}=V[/tex3]

[tex3]V(x)=k\cdot \cos(w_1t)-k\cos(w_2t)[/tex3]

[tex3]V(y)=-k\cdot \operatorname{sin}(w_1\cdot t)-k\operatorname{sin}(w_2\cdot t)[/tex3]

[tex3]V(z)=2k\cdot \cos\left(\frac{w_1+w_2}{2}t\right)[/tex3]

[tex3]V^2=V(x)^2+V(y)^2+V(z)^2[/tex3]

[tex3]V^2=k^2\left[\cos^2(w_1t)-2\cos(w_1t)\cdot \cos(w_2t)+\cos^2(w_2t)+\operatorname{sin}^2(w_1t)+2\operatorname{sin}(w_1t)\cdot \operatorname{sin}(w_2t)+\operatorname{sin}^2(w_2t)+4\cdot \cos^2\left(\frac{w_1+w_2}{2}r\right)\right][/tex3]

[tex3]V^2=K^2\left\{1+1+2[1+\cos(w_1+w_2)]-2[\cos(w_1t\cdot \cos(w_2t)-\operatorname{sin}(w_1t)\cdot \operatorname{sin}(w_2t)]\right\}[/tex3]

[tex3]V^2=k^2[2+2+2\cos(w_1t+w_2t)-2\cos(w_1t+w_2t)][/tex3]

[tex3]V^2=4k^2[/tex3]

[tex3]V=2k[/tex3]

b) O enunciado nos da a informação, que existe campo elétrico apenas no eixo [tex3]z[/tex3] , para que a velocidade esteja se movimentando ortogonalmente à [tex3]E[/tex3] , basta que a partícula não tenha movimento no eixo [tex3]z[/tex3] :

[tex3]V(z)=0[/tex3]

[tex3]\cos\left(\frac{w_1+w_2}{2}t\right)=0[/tex3]

[tex3]\frac{w_1+w_2}{2}\cdot t=\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{2}[/tex3]

[tex3]t=\frac{\pi+2k\pi}{w_1+w_2}[/tex3]

c) A aceleração pode ser adquirida, com a segunda derivada :

[tex3]\frac{dv}{dt}=a[/tex3]

[tex3]a(x)=-kw_1\cdot \operatorname{sin}(w_1t)+kw_2\cdot \operatorname{sin}(w_2t)[/tex3]

[tex3]a(y)=-kw_1\cdot \cos(w_1t)-kw_2\cos(w_2t)[/tex3]

[tex3]a(z)=-k\cdot (w_1+w_2)\cdot \operatorname{sin}\left(\frac{w_1+w_2}{2}t\right)[/tex3]

[tex3]a_t=\left(a(x),a(y),a(z)\right)[/tex3]

d) Somando as funções em [tex3]V(x)[/tex3] e [tex3]V(y)[/tex3] , temos:

[tex3]V(x)=k\cdot \left[-2\cdot \operatorname{sin}\left(\frac{w_1+w_2}{2}t\right)\cdot \operatorname{sin}\left(\frac{w_1-w_2}{2}t\right)\right][/tex3] se [tex3]t=\frac{2\pi}{w_1+w_2}[/tex3]

então [tex3]V(x)=0[/tex3]

[tex3]V(y)=-k\left[2\cdot \operatorname{sin}\left(\frac{w_1+w_2}{2}t\right)\cdot \cos\left(\frac{w_1-w_2}{2}t\right)\right][/tex3] portanto, em [tex3]t=\frac{2\pi}{w_1+w_2}[/tex3]

[tex3]V(y)=0[/tex3]

em [tex3]V(z)[/tex3] , basta substituir:

[tex3]V(z)=-2k[/tex3]

como só existe campo elétrico no eixo [tex3]z[/tex3] , não haverá aceleração normal e a aceleração tangencial, é aquela causada pelo força elétrica, no eixo [tex3]z[/tex3] :

[tex3]a=\frac{Eq}{m}[/tex3]

[tex3]a_n=0[/tex3]

[tex3]a_t=\left(0,0,\frac{EQ}{m}\right)[/tex3]

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 11:

(IME-2014) Dois músicos com seus respectivos violões afinados, participam de um dueto. No início do concerto é ligado um aparelho de ar condicionado próximo à um deles e, após alguns minutos percebe-se uma frequência de batimento [tex3]f_{bat}[/tex3], produzia pela quinta corda dos violões no modo fundamental, considere que ambas cordas permaneçam com o comprimento inicial [tex3]L_0[/tex3] , determine a variação de temperatura sofrida pela corda do violão próximo ao ar condicionado.

Dados

- constante elástica da corda=[tex3]k[/tex3]
- massa específica linear da corda=[tex3]\mu[/tex3]
- coeficiente de dilatação linear=[tex3]\alpha[/tex3]
- frequência da quinta corda no violão afinado=[tex3]f[/tex3]
Resposta

[tex3]\Delta\theta=-\frac{4L_ou}{\alpha}\cdot \left(\frac{2f\cdot f_{bat}+f_{bat}^2}{k-4L_ouf^2}\right)[/tex3]

Última edição: LPavaNNN (Qui 16 Jun, 2016 22:26). Total de 3 vezes.


Lucas Pavan

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Jun 2016 18 17:50

Re: V Maratona de Física IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Sáb 18 Jun, 2016 17:50

Resolução do Problema 11:

Equação de Taylor: [tex3]v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}[/tex3]
Força Elastica: [tex3]F_{el}=k \cdot x[/tex3]

A corda está sujeita a uma deformação [tex3]\Delta L[/tex3] , que gera uma tração [tex3]k \cdot \Delta L = T[/tex3]
Primeiro harmônico:

[tex3]\frac{\lambda}{2}=L_{0}= \lambda=2L_{0} \rightarrow v=\lambda f = 2{L_{0}}f= \sqrt{\frac{T}{\mu}} \rightarrow 2L_{0}f=\sqrt{\frac{k \Delta L}{\mu}} \rightarrow \boxed{\Delta L =\frac{4L_{0}^2f^2\mu}{k}}[/tex3]

Como o comprimento da corda é preservado a deformação aumenta para [tex3]\Delta L'[/tex3]

[tex3]\Delta L'=\Delta L+L_{0}\cdot \alpha \Delta \theta = \Delta L \left(1+\frac{\alpha \Delta \theta k }{4 \mu L_{0} f^2}\right)[/tex3]

A densidade linear da corda permananece inaltera. Relação entre as frequências:
[tex3]\frac{f'}{f}=\frac{2L_{0}f'}{2L_{0}f}=\frac{\lambda f'}{\lambda f}= \sqrt{\frac{T'}{T}}=\sqrt{\frac{k \Delta L'}{k \Delta L}}=\sqrt{1+\frac{\alpha \Delta \theta k}{4 \mu L_{0}f^2}} \\ \\ \\

f_{bat}=|f'-f| \rightarrow \boxed{\Delta \theta = \frac{4 \mu L_{0}f_{bat}}{ak}\left(2+\frac{f_{bat}}{f}\right)}[/tex3]

___________________________________________________________________

Problema 12:

(ITA 1991) Em uma região onde existe um campo elétrico uniforme [tex3]E[/tex3] , dois pêndulos simples de masas [tex3]m=0,20 kg[/tex3] e comprimento [tex3]l[/tex3] são postos a oscilar. A massa do primeiro pêndulo está carregada com [tex3]q_{1}=+0,2 C[/tex3] e a massa do segundo pêndulo com [tex3]q_{2}=-0,2 C[/tex3] . São dados que a aceleração da gravidade local é [tex3]g=10 m/s^2[/tex3] , que o campo elétrico tem mesmas direção e sentido que [tex3]g[/tex3] e sua intensidade é [tex3]E= 6 V/m.[/tex3] A razão [tex3]\left(\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}\right)[/tex3] , entre os perídos [tex3]\rho_{1}[/tex3] e [tex3]\rho_{2}[/tex3] dos pêndulos 1 e 2, é:

a) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
c) [tex3]1[/tex3]
d) [tex3]2[/tex3]
e) [tex3]4[/tex3]
Resposta

Letra B

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Jun 2016 22 14:29

Re: V Maratona de Física IME/ITA

Mensagem não lida por jrneliodias » Qua 22 Jun, 2016 14:29

Resolução do Problema 12:

A partir dos eixos radial e tangencial a trajetória, temos que para a carga 1

[tex3]F_R=(P+F_e)\,\sin \theta[/tex3]

Tomando um ângulo muito pequeno, podemos dizer que [tex3]\sin \theta \approx \frac{x}{l}[/tex3] no qual [tex3]x[/tex3] é o arco que a esfera descreve.

[tex3]\frac{(mg+qE)\,x}{\ell}= m\,\omega^2x[/tex3]

[tex3]\rho_1\,=\,2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g+\frac{qE}{m}}}[/tex3]

Analogamente, como [tex3]q_2[/tex3] Tem mesmo módulo, a força elétrica mudará apenas o sentido, logo

[tex3]\rho_2 \,=\,2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g-\frac{qE}{m}}}[/tex3]

Portanto,

[tex3]\frac{\rho _1}{\rho_2}=\sqrt{\frac{mg-qE}{mg+qE}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{1}{2}}[/tex3]

____________________________________________________________________________________________

Problema 13:

(ITA - 2015) Enquanto em repouso relativo a uma estrela, um astronauta vê a luz dela como predominantemente vermelha, de comprimento de onda próximo a [tex3]600 nm[/tex3] . Acelerando sua nave na direção da estrela, a luz será vista como predominantemente violeta, de comprimento de onda próximo a [tex3]400 nm[/tex3] , ocasião em que a razão da velocidade da nave em relação à da luz será de

A) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] .
B) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] .
C) [tex3]\frac{4}{9}[/tex3] .
D) [tex3]\frac{5}{9}[/tex3] .
E) [tex3]\frac{5}{13}[/tex3] .
Resposta

Letra E
Última edição: jrneliodias (Qua 22 Jun, 2016 14:29). Total de 2 vezes.


Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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Jun 2016 23 09:48

Re: V Maratona de Física IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Qui 23 Jun, 2016 09:48

Resolução do Problema 13:

Efeito Doppler Relativístico:

[tex3]\frac{1}{\lambda_{obs}}=\sqrt{\frac{1\pm \beta}{1 \mp \beta} \cdot} \frac{1}{\lambda_{fonte}}[/tex3]

Onde [tex3]\beta[/tex3] é a razão entre do observador [tex3]v[/tex3] e da luz [tex3]c[/tex3]


[tex3]\frac{1}{400}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \cdot \frac{1}{600} \\ \\
9-9\beta=4+4\beta \\
5=13\beta \\ \\
\boxed{\beta=\frac{5}{13}}[/tex3]

______________________________________________________________________________________

(Problema 14)

(ITA) Um "bungee jumper" de [tex3]2m[/tex3] de altura e [tex3]100 kg[/tex3] de massa pula de uma ponte usando uma 'bungee cord", de [tex3]18 m[/tex3] de comprimento quando não alongada, constante elástica de [tex3]200 N/ m[/tex3] e massa desprezível, amarrada aos seus pés. Na sua descida, a partir da superfície da ponte, a corda atinge a extensão máxima sem que ele toque nas rochas embaixo. Das opções abaixo, a menor distância entre a superfície da ponte e as rochas é:
a)[tex3]26 m[/tex3]
b)[tex3]31 m[/tex3]
c)[tex3]36 m[/tex3]
d)[tex3]41 m[/tex3]
e)[tex3]46 m[/tex3]
Resposta

Letra D
Última edição: brunoafa (Qui 23 Jun, 2016 09:48). Total de 2 vezes.


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Jun 2016 30 11:37

Re: V Maratona de Física IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Qui 30 Jun, 2016 11:37

Resolução do Problema 14:
Screenshot from 2016-06-30 10-45-26.png
Screenshot from 2016-06-30 10-45-26.png (10.79 KiB) Exibido 1872 vezes
Considerando que o centro de gravidade do sujeito está a um metro de altura (metade do comprimento dele), temos:

[tex3]\Delta E_{m}= 0 \\ \\
mgh= \frac{k\Delta x^2}{2} \\ \\
100 \cdot 10 \cdot (20+x)=\frac{200 x^2}{2} \\ \\
x^2-10x-200= 0 \\ \\
\boxed{x=20m}[/tex3]

Portando a soma de todos os comprimentos é [tex3]40 m[/tex3] , mas a altura miníma para ele não bater a cabeça e morrer de traumatismo craniano é [tex3]41 m[/tex3] .


_____________________________________________________________________________________________________________________


Problema 15:

(IME 84) Suponha um cometa em órbita elíptica em torno do Sol, com um semi-eixo mair [tex3]a[/tex3] e um semi-eixo menor [tex3]b[/tex3] . Determinar a razão entre as velocidades [tex3]v_{2}[/tex3] e [tex3]v_{1}[/tex3] , [tex3](v_{2}/v_{1})[/tex3] em função da excentricidade e da elipse.
Screen Shot 2016-07-01 at 18.04.52.png
Screen Shot 2016-07-01 at 18.04.52.png (22.03 KiB) Exibido 1871 vezes
Tive que fazer o desenho no Geogebra, espero que tenha dado para entender. Aquela bola ali é o Sol, o semi eixo horizontal é o [tex3]a[/tex3] e o vertical [tex3]b[/tex3] .
Resposta

[tex3]v_{2}/v{1}=\frac{(1-e)}{1+e)}[/tex3]
Última edição: brunoafa (Qui 30 Jun, 2016 11:37). Total de 2 vezes.


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Jul 2016 03 15:40

Re: V Maratona de Física IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Dom 03 Jul, 2016 15:40

Solução do Problema 15:
Screen Shot 2016-07-04 at 18.21.48.png
Screen Shot 2016-07-04 at 18.21.48.png (39.75 KiB) Exibido 1867 vezes
Tentei fazer uma figura um pouco melhor agora. O sol está em um dos focos da elipse. Portando a distância do Sol até o centro é "[tex3]c[/tex3] " (metade da distância entre os focos). A distância do centro aos "vértices" horizontais é [tex3]a[/tex3] .

No movimento dos corpos podemos escrever que a força de gravitação é igual a resultante centrípeta, portanto:

[tex3]F_{g}=F_{cp} \\ \\ \\
\frac{G \cdot M \cdot m}{d^2}=\frac{m \cdot v^2}{R} \\ \\ (g=\frac{GM}{R^2} \rightarrow \boxed{GM=gR^2}) \\ \\

\boxed{v^2=\frac{gR^3}{d^2}}[/tex3]

No ponto [tex3]1[/tex3] a distância até o Sol é [tex3](a-c)[/tex3] e no ponto [tex3]2[/tex3] é [tex3](a+c)[/tex3] .

[tex3]V_{1}^2= \frac{gR^3}{(a-c)^2} \\ \\
V_{2}^2= \frac{gR^3}{(a+c)^2} \\ \\ \\

\frac{V_{2}}{V_{1}}= \sqrt{\frac{(a-c)^2}{(a+c)^2}}= \frac{V_{2}}{V_{1}}= \frac{(a-c)}{(a+c)} = \frac{1-\frac{c}{a}}{1+\frac{c}{a}}= \rightarrow \boxed{\boxed{\frac{1-e}{1+e}}}[/tex3]

Lembrando que [tex3]e=\frac{c}{a}[/tex3] .


___________________________________________________________________________________________________________

Problema 16:

(ITA 67) A vista de uma pessoa normal é capaz de focalizar um objeto que esteja no mínimo a uma distância de [tex3]24[/tex3] cm. Coloca-se junto do olho de uma pessoa normal uma lente delgada convergente de distância focal igual a [tex3]5[/tex3] cm. Nesse caso, para que um objeto seja visto claramente pela pesoa, é suficiente que o mesmo esteja a uma disandia [tex3]d[/tex3] do olho tal que

a)[tex3]2[/tex3] cm [tex3]< d < 10[/tex3] cm
b)[tex3]d<4[/tex3] cm
c)[tex3]2[/tex3] cm[tex3]<d<5[/tex3] cm
d)[tex3]2[/tex3] cm[tex3]<d<24[/tex3] cm
e)[tex3]5[/tex3] cm [tex3]<d>4,5[/tex3] cm
Resposta

Letra E
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Dez 2016 20 15:21

Re: V Maratona de Física IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Ter 20 Dez, 2016 15:21

Solução do Problema 16:

A imagem da lente convergente é virtual e o foco é real.

Portando, usando a fórmula [tex3]\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}[/tex3]
Chegamos em:
[tex3]\frac{1}{5}=\frac{1}{d}-\frac{1}{24} \rightarrow \boxed{d=4,13}[/tex3]

_____________________________________________________________________________________

Problema 17:

(ITA 96) O valor do módulo da indução magnética no interior de uma bobina em forma de tubo cilíndrico e dado,
aproximadamente, por [tex3]B = \mu \cdot n \cdot i[/tex3] onde [tex3]\mu[/tex3] é a permeabilidade do meio, [tex3]n[/tex3] o número de espiras por unidade de comprimento e [tex3]i[/tex3] é a corrente elétrica. Uma bobina deste tipo é construída com um fio fino metálico de raio [tex3]r[/tex3] , resistividade [tex3]\rho[/tex3] e comprimento [tex3]L[/tex3] . O fio é enrolado em torno de uma forma de raio [tex3]R[/tex3] obtendo-se assim uma bobina cilíndrica de uma única camada, com as espiras uma ao lado da outra. A bobina é ligada aos terminais de uma bateria ideal de força eletromotriz igual a [tex3]V[/tex3] . Neste caso pode-se afirmar que o valor de B dentro da bobina é:

a) [tex3]\frac{(\mu \cdot \pi \cdot r \cdot V)}{(2 \cdot \rho \cdot L)}[/tex3]
b) [tex3]\frac{(\mu \cdot \pi \cdot R \cdot V)}{(2 \cdot \rho \cdot L)}[/tex3]
c) [tex3]\frac{(\mu \cdot \pi \cdot r^2 \cdot V \cdot L)}{(2 \cdot \rho )}[/tex3]
d) [tex3]\frac{(\mu \cdot \pi \cdot r \cdot V)}{(2 \cdot R^2 \cdot L)}[/tex3]
e) [tex3]\frac{(\pi \cdot r^2 \cdot V)}{(2 \cdot R^2 \cdot L)}[/tex3]

SEM GABARITO
Última edição: brunoafa (Ter 20 Dez, 2016 15:21). Total de 2 vezes.


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undefinied3
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Dez 2016 20 16:26

Re: V Maratona de Física IME/ITA

Mensagem não lida por undefinied3 » Ter 20 Dez, 2016 16:26

Solução do Problema 17:

Vamos calcular a corrente primeiramente.
[tex3]V=R.i=\frac{\rho L}{\pi r^2}.i[/tex3]
[tex3]\therefore i=\frac{\pi r^2 V}{\rho L}[/tex3]
Agora vamos calcular o fator "número de espiras por unidade de comprimento".
Ao todo, o fio tem comprimento L. A forma utilizada tem raio R, então cada volta corresponde a [tex3]2\pi R[/tex3] de L, ao todo são dadas [tex3]\frac{L}{2\pi R}[/tex3] voltas. Agora considere o tamanho dessa bobina. Se considerarmos que as voltas dadas com o fio estão justas, então o tamanho do solenoide corresponderá ao diâmetro do fio vezes o número de voltas, ou seja, [tex3]2r.\frac{L}{2\pi R}=\frac{Lr}{\pi R}[/tex3] .
A razão número de voltas por unidade de comprimento será: [tex3]\frac{L}{2\pi R}.\frac{\pi R}{Lr}=\frac{1}{2r}[/tex3]
Substituindo os valores: [tex3]B=\mu n i =\mu \frac{\pi r^2 V}{\rho L} \frac{1}{2r}=\frac{\mu \pi r V}{2\rho L}[/tex3]

Letra A

____________________________________________________________________________

Problema 18:

(IME) Um feixe de laser sofre difração após ter atravessado normalmente uma fenda numa placa. Sabendo que, ao variar a temperatura na placa, altera-se a figura de difração num anteparo, determine a variação de temperatura na placa de forma que o primeiro mínimo de difração passe a ocupar a posição do terceiro mínimo.
Dado: coeficiente de dilatação linear da placa: [tex3]3.10^{-3} C^{-1}[/tex3]
Última edição: undefinied3 (Ter 20 Dez, 2016 16:26). Total de 2 vezes.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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Re: V Maratona de Física IME/ITA

Mensagem não lida por Helo » Qui 19 Jan, 2017 13:42

Solução do Problema 18:

Veja a imagem:
Sem título.png
Sem título.png (10.76 KiB) Exibido 1510 vezes

1° mínimo antes da dilatação:

[tex3]d_{0}~sen\theta _{1}=\lambda~~ (1)[/tex3]

1° mínimo depois da dilatação:

[tex3]d_{0}~(1+\alpha \Delta \theta )~sen\theta _{2}=\lambda[/tex3]

O enunciado forneceu que:

[tex3]y_{1}=x~~e~~y_{2}=3x[/tex3]


[tex3]tg\theta _{1}=\frac{x}{L}~~~~e~~~~tg\theta _{2}=\frac{3x}{L}[/tex3]


[tex3]\frac{tg\theta _{1}}{tg\theta _{2}}=\frac{1}{3}[/tex3]

Como L>x, tem-se que [tex3]\frac{sen\theta _{1}}{sen\theta _{2}}=\frac{tg\theta _{1}}{tg\theta _{2}}[/tex3]


Dividindo (1) por (2):

[tex3]\frac{1}{1+\alpha \Delta \theta }*\frac{1}{3}=1 ~~\Rightarrow~~3+3\alpha \Delta \theta =1[/tex3]

[tex3]3\alpha \Delta \theta =-2~~\Rightarrow ~~\Delta \theta =\frac{-2}{3*3*10^{-3}}~~\therefore ~~\boxed {\Delta \theta =\frac{-2}{9}*10^{3}~~°C}[/tex3]

-------------------------------------------------------------------------

Problema 19:


(IME-85) Os dois blocos da figura deslizam sobre o plano horizontal sem atrito. Sabendo-se que os pesos dos blocos A e B são, respectivamente, 250 N e 375 N, determinar a aceleração relativa entre os blocos e a tensão no cabo. Adotar g=10 m/s².
IMG_20170119_133311020.jpg
IMG_20170119_133311020.jpg (38.72 KiB) Exibido 1510 vezes
Última edição: Helo (Qui 19 Jan, 2017 13:42). Total de 3 vezes.



Auto Excluído (ID:17092)
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Jan 2017 27 18:55

Re: V Maratona de Física IME/ITA

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17092) » Sex 27 Jan, 2017 18:55

Solução do Problema 19:
Podemos dividir o comprimento [tex3]L[/tex3] do cabo em 5 partes em relação ao pino e as polias:
1A.jpg
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Note que:
[tex3]L = L_1 + L_2 + L_3 + L_4 + L_5[/tex3]
Vejamos agora uma outra situação:
1A - Copia.jpg
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Supondo que o bloco A puxe um comprimento x em relação ao pino no chão e o bloco B perca um comprimento y também em relação ao pino, nós teríamos que:
[tex3]L= (L_1 + x) + (L_2 + x) + (L_3 - y) + (L_4 - y) + (L_5 - y)[/tex3] => [tex3]L= L + 2x - 3y[/tex3] => [tex3]2x = 3y[/tex3]
Sabendo que [tex3]\alpha = \frac{d^2s}{dt^2}[/tex3] :
[tex3]2|\vec{a}_A| = 3|\vec{a}_B|[/tex3] => [tex3]|\vec{a}_A| = \frac{3|\vec{a}_B|}{2}[/tex3]
Além disso, o diagrama de corpo livre fornece que:
[tex3]\begin{cases}100 - 2|\vec{T}| = m_A|\vec{a}_A|\\
3|\vec{T}| = m_B|\vec{a}_B|\end{cases}[/tex3]
Sendo [tex3]m_A[/tex3] e [tex3]m_B[/tex3] respectivamente 25 kg e 37,5kg (obtidas pela fórmula da força peso):
[tex3]\begin{cases}100 - 2|\vec{T}| = 25|\vec{a}_A|\\
3|\vec{T}| = 37,5|\vec{a}_B|\end{cases}[/tex3]
Como [tex3]|\vec{a}_A| = \frac{3|\vec{a}_B|}{2}[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}100 - 2|\vec{T}| = 25\frac{3|\vec{a}_B|}{2}\\
3|\vec{T}| = 37,5|\vec{a}_B|\end{cases}[/tex3]
Somando o triplo da primeira equação com o dobro da segunda:
[tex3]300 = 25\frac{9|\vec{a}_2|}{2} + 75|\vec{a}_B|[/tex3] => [tex3]|\vec{a}_B| = \frac{600}{375} = \frac{8}{5} \ ms^{-2}[/tex3]
Como [tex3]|\vec{a}_A| = \frac{3|\vec{a}_B|}{2}[/tex3] , nós encontramos o valor da aceleração no bloco A vale:
[tex3]|\vec{a}_A| =\frac{12}{5} \ ms^{-2}[/tex3]
Sendo a aceleração relativa entre os blocos:
[tex3]\vec{a} = \vec{a}_A + \vec{a}_B[/tex3]
[tex3]|\vec{a}| = |\vec{a}_A| -|\vec{a}_B|[/tex3] => [tex3]|\vec{a}| = \frac{12}{5} - \frac{8}{5}[/tex3] => [tex3]|\vec{a}| = \frac{4}{5} \ ms^{-2}[/tex3]
Substituindo [tex3]|\vec{a}_A|[/tex3] na primeira equação, nós encontramos o módulo da tração no cabo:
[tex3]100 - 2|\vec{T}| = 25\frac{12}{5}[/tex3] => [tex3]100 - 2|\vec{T}| = 60[/tex3] => [tex3]2|\vec{T}| = 100 - 60[/tex3] => [tex3]|\vec{T}| = \frac{40}{2}[/tex3] => [tex3]|\vec{T}| = 20 \ N[/tex3]
Portanto:
[tex3]|\vec{T}| = 20 \ N[/tex3] (Tração no cabo)
[tex3]|\vec{a}| = \frac{4}{5} \ ms^{-2}[/tex3] (Aceleração relativa entre os blocos)
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Problema 20 (IME 2013/2014)
maxresdefault.jpg
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Considere um túnel retilíneo que atravesse um planeta esférico ao longo do seu diâmetro. O tempo que
um ponto material abandonado sobre uma das extremidades do túnel leva para atingir a outra
extremidade é
Dados:
• constante de gravitação universal: G;
• massa específica do planeta: ρ.
Consideração:
• Para efeito de cálculo do campo gravitacional, desconsidere a presença do túnel.
(A) [tex3]\sqrt{\frac{3}{\pi \rho G}}[/tex3]
(B) [tex3]\sqrt{\frac{3\pi}{4\rho G}}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{2\pi}{\sqrt{\rho G}}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{2\pi}{\sqrt{\pi \rho G}}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{2\pi}{\sqrt{3 \rho G}}[/tex3]
Resposta

Alternativa B

Última edição: Auto Excluído (ID:17092) (Sex 27 Jan, 2017 18:55). Total de 6 vezes.



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