)
a) Derivando nos três eixos :
[tex3]\frac{dx}{dt}=V[/tex3]
[tex3]V(x)=k\cdot \cos(w_1t)-k\cos(w_2t)[/tex3]
[tex3]V(y)=-k\cdot \operatorname{sin}(w_1\cdot t)-k\operatorname{sin}(w_2\cdot t)[/tex3]
[tex3]V(z)=2k\cdot \cos\left(\frac{w_1+w_2}{2}t\right)[/tex3]
[tex3]V^2=V(x)^2+V(y)^2+V(z)^2[/tex3]
[tex3]V^2=k^2\left[\cos^2(w_1t)-2\cos(w_1t)\cdot \cos(w_2t)+\cos^2(w_2t)+\operatorname{sin}^2(w_1t)+2\operatorname{sin}(w_1t)\cdot \operatorname{sin}(w_2t)+\operatorname{sin}^2(w_2t)+4\cdot \cos^2\left(\frac{w_1+w_2}{2}r\right)\right][/tex3]
[tex3]V^2=K^2\left\{1+1+2[1+\cos(w_1+w_2)]-2[\cos(w_1t\cdot \cos(w_2t)-\operatorname{sin}(w_1t)\cdot \operatorname{sin}(w_2t)]\right\}[/tex3]
[tex3]V^2=k^2[2+2+2\cos(w_1t+w_2t)-2\cos(w_1t+w_2t)][/tex3]
[tex3]V^2=4k^2[/tex3]
[tex3]V=2k[/tex3]
b) O enunciado nos da a informação, que existe campo elétrico apenas no eixo [tex3]z[/tex3] , para que a velocidade esteja se movimentando ortogonalmente à [tex3]E[/tex3] , basta que a partícula não tenha movimento no eixo [tex3]z[/tex3] :
[tex3]V(z)=0[/tex3]
[tex3]\cos\left(\frac{w_1+w_2}{2}t\right)=0[/tex3]
[tex3]\frac{w_1+w_2}{2}\cdot t=\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{2}[/tex3]
[tex3]t=\frac{\pi+2k\pi}{w_1+w_2}[/tex3]
c) A aceleração pode ser adquirida, com a segunda derivada :
[tex3]\frac{dv}{dt}=a[/tex3]
[tex3]a(x)=-kw_1\cdot \operatorname{sin}(w_1t)+kw_2\cdot \operatorname{sin}(w_2t)[/tex3]
[tex3]a(y)=-kw_1\cdot \cos(w_1t)-kw_2\cos(w_2t)[/tex3]
[tex3]a(z)=-k\cdot (w_1+w_2)\cdot \operatorname{sin}\left(\frac{w_1+w_2}{2}t\right)[/tex3]
[tex3]a_t=\left(a(x),a(y),a(z)\right)[/tex3]
d) Somando as funções em [tex3]V(x)[/tex3] e [tex3]V(y)[/tex3] , temos:
[tex3]V(x)=k\cdot \left[-2\cdot \operatorname{sin}\left(\frac{w_1+w_2}{2}t\right)\cdot \operatorname{sin}\left(\frac{w_1-w_2}{2}t\right)\right][/tex3] se [tex3]t=\frac{2\pi}{w_1+w_2}[/tex3]
então [tex3]V(x)=0[/tex3]
[tex3]V(y)=-k\left[2\cdot \operatorname{sin}\left(\frac{w_1+w_2}{2}t\right)\cdot \cos\left(\frac{w_1-w_2}{2}t\right)\right][/tex3] portanto, em [tex3]t=\frac{2\pi}{w_1+w_2}[/tex3]
[tex3]V(y)=0[/tex3]
em [tex3]V(z)[/tex3] , basta substituir:
[tex3]V(z)=-2k[/tex3]
como só existe campo elétrico no eixo [tex3]z[/tex3] , não haverá aceleração normal e a aceleração tangencial, é aquela causada pelo força elétrica, no eixo [tex3]z[/tex3] :
[tex3]a=\frac{Eq}{m}[/tex3]
[tex3]a_n=0[/tex3]
[tex3]a_t=\left(0,0,\frac{EQ}{m}\right)[/tex3]
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Problema 11:
(IME-2014) Dois músicos com seus respectivos violões afinados, participam de um dueto. No início do concerto é ligado um aparelho de ar condicionado próximo à um deles e, após alguns minutos percebe-se uma frequência de batimento [tex3]f_{bat}[/tex3], produzia pela quinta corda dos violões no modo fundamental, considere que ambas cordas permaneçam com o comprimento inicial [tex3]L_0[/tex3] , determine a variação de temperatura sofrida pela corda do violão próximo ao ar condicionado.
Dados
- constante elástica da corda=[tex3]k[/tex3]
- massa específica linear da corda=[tex3]\mu[/tex3]
- coeficiente de dilatação linear=[tex3]\alpha[/tex3]
- frequência da quinta corda no violão afinado=[tex3]f[/tex3]
Resposta
[tex3]\Delta\theta=-\frac{4L_ou}{\alpha}\cdot \left(\frac{2f\cdot f_{bat}+f_{bat}^2}{k-4L_ouf^2}\right)[/tex3]
