Maratonas de Física

Solução do Problema 10

: IME_73-74_q5_s.jpg.png (37.94 KiB) Exibido 3636 vezes

Da figura tiramos,
[tex3]d_1=\frac{4r}{3\pi}\cdot \sen \alpha[/tex3]
[tex3]d_2=r-r\sen\alpha[/tex3]

Calculando o momento em relação a [tex3]A[/tex3] .
[tex3]P\cdot d_1=F\sen \alpha \cdot d_2[/tex3]
[tex3]P\cdot \frac{4r}{3\pi}\cdot \sen \alpha=Fr(1-\sen\alpha)[/tex3]
[tex3](P\cdot \frac{4}{3\pi}+F)\sen\alpha=F[/tex3]
[tex3]\alpha=\arcsen\left(\frac{F}{P\cdot \frac{4}{3\pi}+F}\right)[/tex3]

No equilíbrio temos,
Na vertical: [tex3]P=N[/tex3]
Na Horizontal: [tex3]F=f_{at}=\mu N=\mu P[/tex3]

[tex3]\alpha=\arcsen\left(\frac{\mu P}{P\cdot \frac{4}{3\pi}+\mu P}\right)[/tex3]
[tex3]\alpha=\arcsen\left(\frac{\mu }{\frac{4}{3\pi}+\mu}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{\alpha=\arcsen\left(\frac{3\pi\mu }{4+3\pi\mu}\right)}[/tex3]

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Problema 11

(IME - 1963/1964) Um carrinho [tex3]A[/tex3] , apresenta a superfície superior plana e horizontal, sendo a sua massa igual a [tex3]100kg[/tex3] . Sobre essa superfície superior colocamos um bloco [tex3]B[/tex3] , de [tex3]10kg[/tex3] , em uma das extremidades. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície superior do carrinho é de [tex3]0,1[/tex3] . Calcular o tempo que leva, o bloco [tex3]B[/tex3] , para atingir a outra extremidade do carrinho [tex3]A[/tex3] , e a distância percorrida pelo carrinho durante esse tempo, quando se exerce, sobre o carrinho, uma força horizontal constante de [tex3]507,8 N[/tex3] , que começa a atuar à partir do repouso.
Suponha [tex3]g = 9,8 m/s^2[/tex3] e que não existam outras forças resistentes atuando no sistema.

Resposta

[tex3]t=1,5\,s[/tex3] e [tex3]x_a= 5,6\,m[/tex3]

Solução do Problema 11

OBS.: Faltou um dado, a distância entre os extremos é [tex3]4,5\,m[/tex3] .

Diagrama de corpo livre.

: IME_63-64_sol.png (11.28 KiB) Exibido 3604 vezes

Para o bloco B
[tex3]f_{at}=m_B\cdot a_A[/tex3]
[tex3]N_B=m_Bg[/tex3]

Assim temos,
[tex3]a_A=\mu g=0,1\cdot 9,8=0.98\,m/s^2[/tex3]

Para o bloco A
[tex3]F-f_{at}=m_A\cdot a_A[/tex3]

[tex3]F-\mu m_Bg=m_A\cdot a_A[/tex3]
[tex3]507,8-0,1\cdot 10\cdot9,8=100a_A[/tex3]
[tex3]a_A=\frac{498}{100}=4,98\,m/s^2[/tex3]

A aceleração relativa vale
[tex3]a_r=4,98-0,98=4\,m/s^2[/tex3]

Assim temos,
[tex3]s=\frac{a_rt^2}{2}[/tex3]
[tex3]t=\sqrt{\frac{2s}{a_r}}=\sqrt{\frac{9}{4}}[/tex3]
[tex3]\boxed{t=1,5\,s}[/tex3]

E também temos,
[tex3]s=\frac{a_At^2}{2}[/tex3]
[tex3]s=\frac{4,98\cdot(1,5)^2}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{s=5,6\,m}[/tex3]

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Problema 12

(ITA - 1967) Um calorímetro de alumínio que pesa [tex3]20\,g[/tex3] , contém [tex3]120\,g[/tex3] de água a [tex3]96^{\circ}C[/tex3] . Quantas gramas de alumínio a [tex3]10^{\circ}C[/tex3] devem ser introduzindas no calorímetro para resfriar a água a [tex3]90^{\circ}C[/tex3] ?
Dado: Calor específico do alumínio: [tex3]0,22\,cal/g^{\circ}C[/tex3]

[tex3]a)56\,g[/tex3]
[tex3]b)28\,g[/tex3]
[tex3]c)56\,g[/tex3]
[tex3]d)112\,g[/tex3]
[tex3]e)41\,g[/tex3]

Gabarito

Letra A

Solução do Problema 12

Obs: O correto sera um calorímetro de [tex3]200g[/tex3]

A energia total do sistema (calorímetro + água) deve ser conservada. Assim, todo o calor perdido deve ser recebido por outro corpo do sistema (se o considerarmos isolado).

[tex3]\delta Q=0 \Leftrightarrow Q_{\text{recebido}}=-Q_{\text{perdido}}[/tex3]

[tex3]Q=mc\Delta \theta[/tex3]

[tex3]m\cdot 0,22\cdot (90-10)=200\cdot 0,22 \cdot (90-96) + 120\cdot 1 \cdot (90-96)[/tex3]

[tex3]17,6m=264+720 \therefore m=55,9g[/tex3]

Logo, Letra A

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Problema 13

(ITA - 2007) Aplica-se instantaneamente uma força a um corpo de massa [tex3]m = 3,3 kg[/tex3] preso a uma mola, e
verifica-se que este passa a oscilar livremente com a freqüência angular [tex3]w = 10 rad/s[/tex3] . Agora, sobre esse mesmo corpo preso à mola, mas em repouso, faz-se incidir um feixe de luz monocromática de freqüência [tex3]f = 500 \cdot 10^{12} Hz[/tex3] , de modo que toda a energia seja absorvida pelo corpo, o que acarreta uma distensão de [tex3]1 mm[/tex3] da sua posição de equilíbrio. Determine o número de fótons contido no feixe de luz. Considere a constante de Planck [tex3]h = 6,6 \cdot 10^{-34} J s[/tex3] .

Gabarito:

[tex3]5,0 \cdot 10^{14}[/tex3] fótons.

Solução do Problema 13

Oscilar livremente quer dizer sem a interferência de um agente externo.

A energia total transmitida deve ser igual a energia para a mola se distorcer [tex3]10^{-3}\,m[/tex3] .

Achando a constante elástica:
[tex3]\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}[/tex3]
[tex3]k=10^2\cdot 3,3[/tex3]
[tex3]k=330\,N/m[/tex3]

[tex3]E_{foton}=\tau_{fel}[/tex3]
[tex3]n\hbar f=\frac{kx^2}{2}[/tex3]
[tex3]n=\frac{(330)\cdot (10^{-3})^2}{2\cdot (6,6\cdot 10^{-34})\cdot (500\cdot 10^{12})}[/tex3]
[tex3]n=\frac{330}{2\cdot 6,6\cdot 500}\cdot 10^{16}[/tex3]
[tex3]n=0,05\cdot 10^{16}[/tex3]
[tex3]\boxed{n=5\cdot 10^{14}\,\text{fótons}}[/tex3]

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Problema 14

(ITA - 1974) No circuito a seguir carrega-se o capacitor [tex3]C[/tex3] com uma diferença de potencial [tex3]E[/tex3] , estando a chave [tex3]k[/tex3] aberta. Em seguida, afasta-se a bateria e liga-se a chave [tex3]k[/tex3] . Após estabelecido o equilíbrio no circuito verifica-se que [tex3]50\%[/tex3] da energia armazenada inicialmente em [tex3]C[/tex3] é dissipada em [tex3]R[/tex3] . Conclui-se que a diferença de potencial nos terminais dos capacitores é:

: ita_1974_fis.png (3.85 KiB) Exibido 3596 vezes

A) [tex3]\frac{\sqrt{3}E}{3}[/tex3]
B) [tex3]\frac{E}{4}[/tex3]
C) [tex3]2E[/tex3]
D) [tex3]\frac{\sqrt{2}E}{2}[/tex3]
E) [tex3]\frac{E}{2}[/tex3]

Resposta

E)

Solução do Problema 14

Do enunciado tiramos,

[tex3]E_f=0,5E_i[/tex3]
[tex3]\frac{CE_f^2}{2}=\frac{CE_i^2}{4}[/tex3]
[tex3]\boxed{E_f=\frac{E}{2}}[/tex3] . Letra E

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Problema 15

(ITA-1975) Considere o circuito a seguir:

: ITA_75.png (12.72 KiB) Exibido 3586 vezes

a) a carga do capacitor CA é [tex3]6\mu C[/tex3] .
b) a carga total nos dois capacitores é [tex3]6\mu C[/tex3] .
c) a carga em CA é nula.
d) a carga em CA é [tex3]9\mu C[/tex3] .
e) nenhuma das anteriores

Resposta

Letra A

Solução do Problema 15

No regime estacionário, os capacitores já estarão carregados e por eles não passará corrente.

Assim, como os resistores são iguais, as tensões em seus terminais também serão iguais. Está também será a tensão nos terminais dos capacitores, pois os pontos entre os quais está o resistor à direita no circuito são os mesmos entre os quais estão os capacitores.

[tex3]V_a-V_b=3U_{capacitores} \Leftrightarrow Q_A=C_A\cdot \frac{V_a-V_b}{3}=0,20\mu \cdot \frac{90}{3}\therefore Q_A=6\mu \text{C}[/tex3]

Letra A

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Problema 16

(ITA-2004) A pressão exercida pela água no fundo de um recipiente aberto que a contém é igual a [tex3]Patm + 10 \cdot 10^3 Pa[/tex3] . Colocado o recipiente num elevador hipotético em movimento, verifica-se que a pressão no seu fundo passa a ser de [tex3]P_{atm} + 4,0 \cdot 10^3 Pa[/tex3] . Considerando que [tex3]P_{atm}[/tex3] é a pressão atmosférica, que a massa específica da água é de [tex3]1,0 g/cm^3[/tex3] e que o sistema de referência tem seu eixo vertical apontado para cima, conclui-se que a aceleração do elevador é de:

a) [tex3]-14 m/s^2[/tex3]
b) [tex3]10 m/s^2[/tex3]
c) [tex3]-6 m/s^2[/tex3]
d) [tex3]6 m/s^2[/tex3]
e) [tex3]14 m/s^2[/tex3]

Resposta

Letra C

Solução do Problema 16

[tex3]P=\rho gh[/tex3]

A densidade e a altura de água são constantes, logo o que vai alterar é a aceleração gravitacional.

A aceleração gravitacional diminuiu em [tex3]6\,m/s^2[/tex3] . Isso quer dizer que a força inercial [tex3]ma[/tex3] no recipiente tem sentido (para cima) contrário a gravidade normal. Sabendo, pelo Princípio da Equivalência que a força inercial é contrário ao movimento do elevador, a aceleração do elevador deve ser para baixo de valor [tex3]\boxed{-6\,m/s^2}[/tex3] (sinal negativo em relação ao sistema de referência).

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Problema 17

(IME - 2004) Um tanque de guerra de massa [tex3]M[/tex3] se desloca com velocidade [tex3]v_0[/tex3] . Um atirador dispara um foguete frontalmente contra o veículo quando a distância entre eles é [tex3]D[/tex3] . O foguete de massa [tex3]m[/tex3] e velocidade constante [tex3]v_f[/tex3] colide com o tanque, alojando-se em seu interior. Neste instante o motorista freia com uma aceleração de módulo [tex3]a[/tex3] . Determine:

[tex3]1)[/tex3] O tempo [tex3]t[/tex3] transcorrido entre o instante em que o motorista pisa no freio e o instante em que o veículo para;
[tex3]2)[/tex3] A distância [tex3]d[/tex3] a que, ao parar, o veículo estará do local de onde o foguete foi disparado.

Resposta

[tex3]1)\,t=\frac{Mv_0-mv_f}{a\cdot (M+m)}[/tex3]
[tex3]2)\,d=\frac{Dv_f}{ (v_f+v_0)}-\frac{1}{2a}\cdot \left(\frac{Mv_0-mv_f}{M+m}\right)^2[/tex3]

Solução do Problema 17

a) Da conservação do momentum linear:

[tex3]Mv_0-mv_f=(M+m)v \, \, \therefore \, \, v=\frac{Mv_0-mv_f}{(M+m)}[/tex3]

Essa será a velocidade do sistema no exato instante posterior à colisão. Assim, o tempo necessário para que o sistema entre em repouso em relação à terra:

[tex3]-a=\frac{v_f'-v}{t} \, \, \Leftrightarrow \, \, t=\frac{Mv_0-mv_f}{a\cdot (M+m)}[/tex3]

b) Primeiro vamos calcular a que distância do disparo estarão no instante anterior à colisão:

(Assumindo a origem do sistema de coordenadas no local em que estava o tanque de guerra antes do disparo).

[tex3]x_1=x_2 \Leftrightarrow 0+v_0t=D-v_ft \Leftrightarrow t'=\frac{D}{(v_0+v_f)}[/tex3]

Dessa maneira, o tanque de guerra estará a uma distância [tex3]d[/tex3] do tanque, tal que:

[tex3]d=D-x_1 \Leftrightarrow d=D-\frac{Dv_0}{(v_0+v_f)}[/tex3]

Para os instantes posteriores à colisão:

[tex3]v^2=v_0^2-2a\Delta S \Leftrightarrow 2a\cdot \left(S-\frac{Dv_f}{(v_0+v_f)}\right)=\left(\frac{Mv_0-mv_f}{(M+m)}\right)^2[/tex3]

[tex3]2aS=\left(\frac{Mv_0-mv_f}{(M+m)}\right)^2+\frac{2aDv_f}{(v_0+v_f)}[/tex3]

[tex3]S=\left(\frac{Dv_f}{(v_0+v_f)}\right)+\frac{1}{2a}\cdot \left(\frac{Mv_0-mv_f}{(M+m)}\right)^2[/tex3]

[tex3]d=D-S[/tex3]

[tex3]d=D-\left[\left(\frac{Dv_f}{(v_f+v_f)}\right)+\frac{1}{2a}\cdot \left(\frac{Mv_0-mv_f}{(M+m)}\right)^2\right][/tex3]

[tex3]\therefore \, \, d=\frac{Dv_f}{ (v_f+v_0)}-\frac{1}{2a}\cdot \left(\frac{Mv_0-mv_f}{M+m}\right)^2[/tex3]

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Problema 18

(IME - 2012)

As componentes da velocidade em função do tempo [tex3](t)[/tex3] de um corpo em MCU de velocidade angular [tex3]2 rad/s[/tex3] são:
[tex3]v_x=3 \cos 2t[/tex3] ;
[tex3]v_y =3 \sen 2t[/tex3] .
Considere as seguintes afirmações:
I) O vetor momento linear é constante.
II) A aceleração é nula, pois o momento da força que atua sobre o corpo em relação ao ponto (0, 0) é nulo.
III) O trabalho da força que atua no corpo é nulo.
É correto APENAS o que se afirma em

[tex3](A) \, \, II[/tex3]
[tex3](B) \, \, III[/tex3]
[tex3](C) \, \, I \, \, \text{e} \, \, II[/tex3]
[tex3](D) \, \, I \, \, \text{e} \, \, III[/tex3]
[tex3](E) \, \, II \, \, \text{e} \, \,III[/tex3]

Solução do Problema 18

[tex3](I)[/tex3] Falso,
No MCU a velocidade em cada instante terá uma direção diferente. Assim, o momento linear não será constante.

[tex3](II)[/tex3] Falso,
No MCU sempre teremos uma aceleração centrípeta.

[tex3](III)[/tex3] Verdadeiro,
[tex3]W=\Delta E=\frac{m(v_f^2-v_i^2)}{2}[/tex3] , mas [tex3]v_f=v_i=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=3[/tex3]

Assim temos,
[tex3]W=0[/tex3]

Portanto, o trabalho da força que atua no corpo é nulo. Letra B

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Problema 19

(IME-1994) Uma corda, presa, nas duas extremidades, possui um corpo fixo de massa [tex3]m[/tex3] , localizado no meio do seu comprimento. Ao ser distendida, como mostra a figura, fica sujeita a a uma força de tração [tex3]F[/tex3] . Determine a frequência das pequenas oscilações do corpo fixo, quando se libera a corda. Despreze a massa da corda e a ação da gravidade.

: IME94_Q7.png (2.25 KiB) Exibido 3503 vezes

Resposta

[tex3]f=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{F}{mL}}[/tex3]

Solução do Problema 19

Considerando a força de tração [tex3]F[/tex3] atuando nas duas partes da corda, como na figura, e para pequenas oscilações temos um MHS.

: ime1994_MHS.png (4.85 KiB) Exibido 3483 vezes

A força restauradora será a soma das componentes verticais de [tex3]F[/tex3] :
[tex3]F_r=-2F\sin \theta[/tex3]

Mas,
[tex3]F_r=-kx[/tex3] . Sendo [tex3]x=\frac{L}{2}\tan \theta[/tex3] :

[tex3]-k\cdot \frac{L}{2}\tan \theta=-2F \sin \theta[/tex3] . Para ângulos pequenos podemos considerar [tex3]\sin \theta \approx\,\,\tan \theta[/tex3] . Assim:

[tex3]k=\frac{4F}{L}[/tex3]

No MHS temos:

[tex3]T=2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}[/tex3] e [tex3]f=\frac{1}{T}[/tex3] ^

Portanto,
[tex3]f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4F}{ML}}[/tex3]
[tex3]\boxed{f=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{F}{ML}}}[/tex3]

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Problema 20

(IME - 2004) A figura mostra um esquema de um gerador fotovoltaico alimentado um circuito elétrico com [tex3]18\,V[/tex3] . Sabendo que a potência solicitada na entrada do gerador (potência luminosa) é de [tex3]100\,W[/tex3] , determine o rendimento do gerador na situação em que a razão dos valores numérico da tensão e da corrente medidos, respectivamente pelo voltímetro [tex3]V[/tex3] (em volts) e pelo amperímetro [tex3]A[/tex3] em ampères) seja igual a [tex3]2[/tex3] (dois).

: ime2004.png (11.92 KiB) Exibido 3483 vezes

Resposta

[tex3]72\%[/tex3]

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