Solução do problema 164
No instante em que perde o contato com o anteparo, o corpo sofre a atuaçãode uma força resultante
F dada por:
[tex3]F=P*\sen (\alpha)-F_{elastica}\,\,\rightarrow \,\,\,x_1=\frac{m[g\sen (\alpha)-a]}{k}[/tex3]
E sua velocidade
V é dada por:
[tex3]V^2=2ax_1=\frac{2\,a\,m[g\sen (\alpha)-a]}{k}[/tex3]
Usando o índice
1 para indicar a posição do corpo logo após a perda do contato com o anteparo, e
2 para indicar a posição em que a velocidade do corpo é igual a zero, temos:
[tex3]E_{elastica \,1}+E_{gravitacional\,1}+E_{cinetica\,1}=E_{elastica \,2}+\cancelto{0}{E_{gravitacional \,2}}+\cancelto{0}{E_{cinetica\,2}}\\\\\frac{k\,x_2^2}{2}=\frac{kx_1^2}{2}+\frac{mV^2}{2}+mg(x_2-x_1)\sen (\alpha)\\\\\frac{k\,x_2^2}{2}-mg\sen (\alpha)x^2=\frac{km^2[g\sen (\alpha)-a]^2}{2\,k^2}+\frac{2\,a\,m^2[g\sen (\alpha)-a]}{2k}\\\\k\,x_2^2-2mg\sen (\alpha)x^2=\frac{m^2[g\sen (\alpha)-a]^2}{\,k}+\frac{2\,a\,m^2[g\sen (\alpha)-a]}{k}[/tex3]
Simplificando e resolvendo a equação, chegaremos em dois possíveis resultados para [tex3]x_2[/tex3]
:
[tex3]\frac{mg\sen (\alpha)+m\sqrt{a(2g\sen (\alpha)-a)}}{k}[/tex3]
ou [tex3]\frac{mg\sen (\alpha)-m\sqrt{a(2g\sen (\alpha)-a)}}{k}[/tex3]
Como pede-se o maior valor de [tex3]x_2[/tex3]
, devemos escolher [tex3]\frac{mg\sen (\alpha)+m\sqrt{a(2g\sen (\alpha)-a)}}{k}[/tex3]
.
Alternativa C.
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Problema 165
Suponha um cenário de ficção científica em que a Terra é atingida por um imenso meteoro. Em consequência do impacto, somente o módulo da velocidade da Terra é alterado, sendo [tex3]V_0[/tex3]
seu valor imediatamente após o impacto, como mostra a figura adiante. O meteoro colide com a Terra exatamente na posição onde a distância entre a Terra e o Sol é mínima (distância
OA = R na figura). Considere a atração gravitacional exercida pelo Sol, tido como referencial inercial, como única força de interação que atua sobre a Terra após a colisão, e designe por
M a massa do Sol e por
G a constante da gravitação universal. Considere ainda que o momento angular da Terra seja conservado, isto é, a quantidade de módulo [tex3]m\,|r|\,|V|\,\sen (\alpha )[/tex3]
permanece constante ao longo da nova trajetória elíptica da Terra em torno do Sol (nessa expressão,
m é a massa da Terra,
r é o módulo do vetor posição da Terra em relação ao Sol,
|V| o módulo da velocidade da Terra e [tex3]\alpha[/tex3]
o ângulo entre
r e
V). A distância (
OB), do apogeu ao centro do Sol, da trajetória que a Terra passa a percorrer após o choque com o meteoro, é dada pela relação:
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a) [tex3]\frac{R^2V_0^2}{2GM-RV_0^2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{R^2V_0^2}{2GM+RV_0^2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{R^2V_0^2\,\sen ^2(\alpha)}{2GM+RV_0^2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{R^2V_0^2}{2GM+RV_0^2\,\sen ^2(\alpha )}[/tex3]
e) [tex3]\Re[/tex3]
)
