Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Enviado: Sex 23 Out, 2020 01:16
Solução do problema 49
Fazendo [tex3]mdc(a,b) = d\rightarrow \begin{cases}
a=dx \\
b= dy
\end{cases}
[/tex3] , com [tex3]mdc(x,y) = 1 [/tex3] e sabendo que [tex3]mmc(a,b) \cdot mdc(a,b) = ab [/tex3]
[tex3]mmc(a,b)+mdc(a,b)=k(a+b)[/tex3]
[tex3]dxy+d=kd(x+y)[/tex3]
[tex3]\frac{4xy+4}{x+y}=4k[/tex3]
Busca-se que:
[tex3]a+b = d(x+y) \geq x+y \overbrace\geq^{?} 4k = \frac{4xy+4}{x+y} [/tex3]
[tex3]x+y \overbrace\geq^{?} \frac{4xy+4}{x+y} [/tex3]
[tex3]x^2+y^2+2xy \overbrace\geq^{?} 4xy+4 [/tex3]
[tex3](x-y)^2 \overbrace\geq^{?} 4 [/tex3]
[tex3]|x-y| \overbrace\geq^{?} 2 [/tex3]
Se isso não for verdade, então:
Caso 1:
Se [tex3]|x-y| = 0\rightarrow x = y [/tex3] , mas como [tex3]mdc(x,y) = 1 [/tex3] então [tex3]x = y = 1 [/tex3] , mas então teríamos [tex3]k=1 [/tex3] .
Caso 2:
Se [tex3]|x-y| = 1\rightarrow x = y+1 [/tex3] , teríamos:
[tex3]\frac{y^2+y+1}{2y+1}=k[/tex3]
Mas então:
[tex3]2y+1 |y^2+y+1 [/tex3]
[tex3]2y+1 |2\cdot (y^2+y+1) - y \cdot (2y+1) [/tex3]
[tex3]2y+1 |y+2 [/tex3]
[tex3]2y+1 |2\cdot (y+2) - (2y+1) [/tex3]
[tex3]2y+1 |3 [/tex3]
[tex3]y = 1\rightarrow x = 2 \rightarrow k = 1 [/tex3]
Portanto a desigualdade é verdadeira.
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Problema 50
(Estados Unidos - 1989) Calcule [tex3]\sqrt{31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28+1}[/tex3]
Fazendo [tex3]mdc(a,b) = d\rightarrow \begin{cases}
a=dx \\
b= dy
\end{cases}
[/tex3] , com [tex3]mdc(x,y) = 1 [/tex3] e sabendo que [tex3]mmc(a,b) \cdot mdc(a,b) = ab [/tex3]
[tex3]mmc(a,b)+mdc(a,b)=k(a+b)[/tex3]
[tex3]dxy+d=kd(x+y)[/tex3]
[tex3]\frac{4xy+4}{x+y}=4k[/tex3]
Busca-se que:
[tex3]a+b = d(x+y) \geq x+y \overbrace\geq^{?} 4k = \frac{4xy+4}{x+y} [/tex3]
[tex3]x+y \overbrace\geq^{?} \frac{4xy+4}{x+y} [/tex3]
[tex3]x^2+y^2+2xy \overbrace\geq^{?} 4xy+4 [/tex3]
[tex3](x-y)^2 \overbrace\geq^{?} 4 [/tex3]
[tex3]|x-y| \overbrace\geq^{?} 2 [/tex3]
Se isso não for verdade, então:
Caso 1:
Se [tex3]|x-y| = 0\rightarrow x = y [/tex3] , mas como [tex3]mdc(x,y) = 1 [/tex3] então [tex3]x = y = 1 [/tex3] , mas então teríamos [tex3]k=1 [/tex3] .
Caso 2:
Se [tex3]|x-y| = 1\rightarrow x = y+1 [/tex3] , teríamos:
[tex3]\frac{y^2+y+1}{2y+1}=k[/tex3]
Mas então:
[tex3]2y+1 |y^2+y+1 [/tex3]
[tex3]2y+1 |2\cdot (y^2+y+1) - y \cdot (2y+1) [/tex3]
[tex3]2y+1 |y+2 [/tex3]
[tex3]2y+1 |2\cdot (y+2) - (2y+1) [/tex3]
[tex3]2y+1 |3 [/tex3]
[tex3]y = 1\rightarrow x = 2 \rightarrow k = 1 [/tex3]
Portanto a desigualdade é verdadeira.
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Problema 50
(Estados Unidos - 1989) Calcule [tex3]\sqrt{31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28+1}[/tex3]