Solução do problema 39
Seja [tex3]k> 1 [/tex3]
e [tex3]\frac{x^2+y}{xy+1} = k\rightarrow y = \frac{x^2-k}{kx-1} \space \space \space \space (I)[/tex3]
y é um inteiro positivo, portanto: [tex3]\frac{x^2-k}{kx-1} \geq 1\rightarrow x\leq \frac{k-1}{x-k}[/tex3]
. Disso sai que [tex3]\boxed{x>k} [/tex3]
.
Também:
[tex3]kx-1|x^2-k [/tex3]
[tex3]kx-1|k^2 \cdot (x^2-k)-(kx-1) [/tex3]
[tex3]kx-1|k^2x^2-k^3-kx+1 [/tex3]
[tex3]kx-1|kx(kx-1) -k^3+1 [/tex3]
[tex3]kx-1|k^3-1 [/tex3]
Portanto:
[tex3]kx-1 = \frac{k^3-1}{a} \space \space \space \space (II)[/tex3]
[tex3]xa = \frac{k^3-1+a}{k}[/tex3]
Como [tex3]k|k^3 [/tex3]
, então [tex3]k|a-1 [/tex3]
. sendo assim: [tex3]a-1 \geq k \rightarrow a \geq k+1[/tex3]
ou [tex3]a=1 [/tex3]
No primeiro caso:
[tex3]kx-1 = \frac{k^3-1}{a}[/tex3]
[tex3]kx-1 = \frac{k^3-1}{a} \leq \frac{k^3-1}{k+1}[/tex3]
[tex3]x\leq \frac{k^2+1}{k+1} < k[/tex3]
Contradição.
Então o único jeito é [tex3]a=1 [/tex3]
, substituindo em (II): [tex3]x = k^2 [/tex3]
, substituindo em (I) [tex3]y= k [/tex3]
.
Agora falta o caso [tex3]k=1 [/tex3]
:
[tex3]\frac{x^2+y}{xy+1} = 1[/tex3]
[tex3]x^2-xy+y-1 = 0[/tex3]
[tex3]x = \frac{y \pm \sqrt{y^2-4(y-1)}}{2} [/tex3]
[tex3]x = \frac{y + |y-2|}{2} [/tex3]
[tex3]x = \frac{y + y-2}{2} \rightarrow (x,y) = (y-1,y) [/tex3]
ou [tex3]x = \frac{y - y+2}{2} \rightarrow (x,y) = (1,y) [/tex3]
Então existem infinitas formas de representar [tex3]k = 1[/tex3]
, portanto não servem.
A solução é: [tex3](x,y) = (k^2,k) [/tex3]
para qualquer inteiro positivo [tex3]k> 1[/tex3]
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problema 40
(Brasil - 2000) Quantos são os números inteiros de 2 algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus algarismos?
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Maratonas de Matemática ⇒ l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
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Out 2020
08
19:01
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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goncalves3718
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Out 2020
08
20:52
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 40
Seja [tex3]xy[/tex3] o número de dois algarismos.
Queremos:
[tex3]10x+y = 2xy \implies 2xy-10x-y = 0 \implies x(2y-10) - y = 0 \implies x(2y-10)=y[/tex3]
Como [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são algarismos segue que:
[tex3]x,y \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/tex3]
-Para [tex3]y=0[/tex3] :
[tex3]-10x = 0 \implies x = 0[/tex3] (NÃO SERVE)
-Para [tex3]y=1[/tex3] :
[tex3]-8x= 1 \implies x=-\dfrac{1}{8}[/tex3] (NÃO SERVE)
-Para [tex3]y=2[/tex3] ;
[tex3]-6x= 2 \implies x = -\dfrac{1}{3}[/tex3] (NÃO SERVE)
-Para [tex3]y=4[/tex3] :
[tex3]-2x= 4 \implies x = -2[/tex3] (NÃO SERVE)
-Para [tex3]y=5[/tex3]
[tex3]0x = 5 \implies x = \dfrac{5}{0}[/tex3] (IMPOSSÍVEL)
-Para [tex3]y=6[/tex3]
[tex3]2x=6 \implies x=3[/tex3] (SERVE)
-Para [tex3]y=7[/tex3]
[tex3]4x=7 \implies x = \dfrac{7}{4}[/tex3] (NÃO SERVE)
-Para [tex3]y=8[/tex3]
[tex3]6x = 8 \implies x = \dfrac{4}{3}[/tex3] (NÃO SERVE)
-Para [tex3]y=9[/tex3]
[tex3]8x=9 \implies x = \dfrac{8}{9}[/tex3] (NÃO SERVE)
Única solução [tex3](x,y) = (3,6)[/tex3] e o número em questão é [tex3]36[/tex3] !
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problema 41
(Rússia-2001) Encontre todos os primos [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] tais que [tex3]p+q = (p-q)^3[/tex3] .
Seja [tex3]xy[/tex3] o número de dois algarismos.
Queremos:
[tex3]10x+y = 2xy \implies 2xy-10x-y = 0 \implies x(2y-10) - y = 0 \implies x(2y-10)=y[/tex3]
Como [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são algarismos segue que:
[tex3]x,y \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/tex3]
-Para [tex3]y=0[/tex3] :
[tex3]-10x = 0 \implies x = 0[/tex3] (NÃO SERVE)
-Para [tex3]y=1[/tex3] :
[tex3]-8x= 1 \implies x=-\dfrac{1}{8}[/tex3] (NÃO SERVE)
-Para [tex3]y=2[/tex3] ;
[tex3]-6x= 2 \implies x = -\dfrac{1}{3}[/tex3] (NÃO SERVE)
-Para [tex3]y=4[/tex3] :
[tex3]-2x= 4 \implies x = -2[/tex3] (NÃO SERVE)
-Para [tex3]y=5[/tex3]
[tex3]0x = 5 \implies x = \dfrac{5}{0}[/tex3] (IMPOSSÍVEL)
-Para [tex3]y=6[/tex3]
[tex3]2x=6 \implies x=3[/tex3] (SERVE)
-Para [tex3]y=7[/tex3]
[tex3]4x=7 \implies x = \dfrac{7}{4}[/tex3] (NÃO SERVE)
-Para [tex3]y=8[/tex3]
[tex3]6x = 8 \implies x = \dfrac{4}{3}[/tex3] (NÃO SERVE)
-Para [tex3]y=9[/tex3]
[tex3]8x=9 \implies x = \dfrac{8}{9}[/tex3] (NÃO SERVE)
Única solução [tex3](x,y) = (3,6)[/tex3] e o número em questão é [tex3]36[/tex3] !
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Problema 41
(Rússia-2001) Encontre todos os primos [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] tais que [tex3]p+q = (p-q)^3[/tex3] .
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09
11:39
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 41
Um par óbvio é [tex3]p=5[/tex3] e [tex3]q=3[/tex3] , testando algumas possibilidades também achamos [tex3]p=-5[/tex3] e [tex3]q=-3[/tex3] .
Seja [tex3]p+q=(p-q)^3=k[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
p+q=k \\
p-q=\sqrt[3]{k}
\end{cases}[/tex3]
[tex3]2p=k+\sqrt[3]{k}[/tex3]
[tex3]p=\frac{k+\sqrt[3]{k}}{2}[/tex3]
Para que [tex3]p[/tex3] seja natural, necessariamente, [tex3]k[/tex3] é um cubo perfeito.
Agora, [tex3]\sqrt[3]{k}=t[/tex3] e sabemos que [tex3]t|k[/tex3] . Ou seja:
[tex3]p=\frac{k+t}{2}=\frac{t(\frac{k}{t}+1)}{2}[/tex3] , se [tex3]t[/tex3] for par e maior que 2, [tex3]p[/tex3] não é primo, se [tex3]t[/tex3] for múltiplo e maior que 3, [tex3]p[/tex3] também não é primo. E mesmo que [tex3]t[/tex3] seja primo, [tex3]2|\left(\frac{k}{t}+1\right)[/tex3] . Portanto, [tex3]p[/tex3] não é primo para nenhum outro valor do que os apresentados. Todas essas considerações também servem para valores negativos.
[tex3]S=(5,3),(-5,-3)[/tex3]
Problema 42
(Eslovênia-2001) Para os inteiros positivos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] é verdadeira a igualdade [tex3]3x^2+x=4y^2+y[/tex3] . Mostre que [tex3]x-y[/tex3] é um quadrado perfeito.
Um par óbvio é [tex3]p=5[/tex3] e [tex3]q=3[/tex3] , testando algumas possibilidades também achamos [tex3]p=-5[/tex3] e [tex3]q=-3[/tex3] .
Seja [tex3]p+q=(p-q)^3=k[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
p+q=k \\
p-q=\sqrt[3]{k}
\end{cases}[/tex3]
[tex3]2p=k+\sqrt[3]{k}[/tex3]
[tex3]p=\frac{k+\sqrt[3]{k}}{2}[/tex3]
Para que [tex3]p[/tex3] seja natural, necessariamente, [tex3]k[/tex3] é um cubo perfeito.
Agora, [tex3]\sqrt[3]{k}=t[/tex3] e sabemos que [tex3]t|k[/tex3] . Ou seja:
[tex3]p=\frac{k+t}{2}=\frac{t(\frac{k}{t}+1)}{2}[/tex3] , se [tex3]t[/tex3] for par e maior que 2, [tex3]p[/tex3] não é primo, se [tex3]t[/tex3] for múltiplo e maior que 3, [tex3]p[/tex3] também não é primo. E mesmo que [tex3]t[/tex3] seja primo, [tex3]2|\left(\frac{k}{t}+1\right)[/tex3] . Portanto, [tex3]p[/tex3] não é primo para nenhum outro valor do que os apresentados. Todas essas considerações também servem para valores negativos.
[tex3]S=(5,3),(-5,-3)[/tex3]
Problema 42
(Eslovênia-2001) Para os inteiros positivos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] é verdadeira a igualdade [tex3]3x^2+x=4y^2+y[/tex3] . Mostre que [tex3]x-y[/tex3] é um quadrado perfeito.
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Out 2020
12
22:34
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do problema 42
[tex3]3x^2-3y^2+x-y=y^2[/tex3]
[tex3](x-y)\cdot (3x+3y+1)=y^2[/tex3]
Pelo Lema de Euclides:
[tex3]mdc(x-y,3x+3y+1) = [/tex3]
[tex3]mdc(x-y,3x+3y+1-3x+3y) = [/tex3]
[tex3]mdc(x-y,6y+1) = [/tex3]
[tex3]mdc(x-y-6yx-x,6y+1 ) = [/tex3]
[tex3]mdc(y+6yx,6y+1 ) = [/tex3]
[tex3]mdc(1+6x,6y+1 ) = [/tex3]
[tex3]mdc(1+6x,6(y-x) ) = \boxed{1} [/tex3]
Portanto [tex3](x-y)[/tex3] e [tex3](3x+3y+1)[/tex3] são ambos quadrados perfeitos.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problema 43
(Suécia - 1991) Determine todos os inteiros positivos m e n tais que: [tex3]\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{mn} = \frac{2}{5}[/tex3]
[tex3]3x^2-3y^2+x-y=y^2[/tex3]
[tex3](x-y)\cdot (3x+3y+1)=y^2[/tex3]
Pelo Lema de Euclides:
[tex3]mdc(x-y,3x+3y+1) = [/tex3]
[tex3]mdc(x-y,3x+3y+1-3x+3y) = [/tex3]
[tex3]mdc(x-y,6y+1) = [/tex3]
[tex3]mdc(x-y-6yx-x,6y+1 ) = [/tex3]
[tex3]mdc(y+6yx,6y+1 ) = [/tex3]
[tex3]mdc(1+6x,6y+1 ) = [/tex3]
[tex3]mdc(1+6x,6(y-x) ) = \boxed{1} [/tex3]
Portanto [tex3](x-y)[/tex3] e [tex3](3x+3y+1)[/tex3] são ambos quadrados perfeitos.
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Problema 43
(Suécia - 1991) Determine todos os inteiros positivos m e n tais que: [tex3]\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{mn} = \frac{2}{5}[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Out 2020
13
13:20
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 43
Multiplicando ambos os lados da equação por [tex3]mn[/tex3] :
[tex3]n+m-1={2\over5}mn[/tex3]
[tex3]5n+5m-5={2}mn[/tex3]
[tex3]5n+5m-2mn=5[/tex3]
[tex3]5n+5m-2mn-{25\over2}=5-{25\over2}[/tex3]
[tex3]\(m-{5\over2}\)\(-2n+5\)=-{15\over2}[/tex3]
[tex3]\(2m-{5}\)\({2}n-5\)=15[/tex3]
Pelo Princípio Fundamental da Aritmética, há apenas duas formas de fatorar o 15: [tex3]3\times 5[/tex3] ou [tex3]15\times 1[/tex3] . Assim, podemos montar os seguintes sistemas:
[tex3]\begin{cases}
2m-5=15 \\
2n-5=1
\end{cases}\implies \begin{cases}
m=10 \\
n=3
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2m-5=1 \\
2n-5=15
\end{cases}\implies \begin{cases}
m=3\\
n=10
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2m-5=5 \\
2n-5=3
\end{cases}\implies \begin{cases}
m=5\\
n=4
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
10k-5=3 \\
2n-5=5
\end{cases}\implies \begin{cases}
m=4\\
n=5
\end{cases}[/tex3]
Assim chegamos nos pares [tex3](m,n)\in\{(5,4),(4,5),(10,3),(3,10)\}[/tex3] .
Problema 44
(Suécia-2002) Encontre todos os naturais [tex3]n[/tex3] , tal que [tex3]n^{1\over n-7}[/tex3] é um inteiro.
Multiplicando ambos os lados da equação por [tex3]mn[/tex3] :
[tex3]n+m-1={2\over5}mn[/tex3]
[tex3]5n+5m-5={2}mn[/tex3]
[tex3]5n+5m-2mn=5[/tex3]
[tex3]5n+5m-2mn-{25\over2}=5-{25\over2}[/tex3]
[tex3]\(m-{5\over2}\)\(-2n+5\)=-{15\over2}[/tex3]
[tex3]\(2m-{5}\)\({2}n-5\)=15[/tex3]
Pelo Princípio Fundamental da Aritmética, há apenas duas formas de fatorar o 15: [tex3]3\times 5[/tex3] ou [tex3]15\times 1[/tex3] . Assim, podemos montar os seguintes sistemas:
[tex3]\begin{cases}
2m-5=15 \\
2n-5=1
\end{cases}\implies \begin{cases}
m=10 \\
n=3
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2m-5=1 \\
2n-5=15
\end{cases}\implies \begin{cases}
m=3\\
n=10
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2m-5=5 \\
2n-5=3
\end{cases}\implies \begin{cases}
m=5\\
n=4
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
10k-5=3 \\
2n-5=5
\end{cases}\implies \begin{cases}
m=4\\
n=5
\end{cases}[/tex3]
Assim chegamos nos pares [tex3](m,n)\in\{(5,4),(4,5),(10,3),(3,10)\}[/tex3] .
Problema 44
(Suécia-2002) Encontre todos os naturais [tex3]n[/tex3] , tal que [tex3]n^{1\over n-7}[/tex3] é um inteiro.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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Ittalo25
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Out 2020
13
21:34
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do problema 44
Sendo k inteiro, então: [tex3]n^{1\over n-7} = k\rightarrow n = k^{n-7}[/tex3]
Obviamente [tex3]n \geq 8[/tex3]
Para [tex3]n = 8[/tex3] , [tex3]k = n[/tex3]
Para [tex3]n = 9[/tex3] , [tex3]k^2 = 9\rightarrow k = 3[/tex3]
Para [tex3]n = 10[/tex3] , [tex3]k^3 = 10\rightarrow k \approx 2,15[/tex3]
Para [tex3]n = 11[/tex3] , [tex3]k^4 = 11\rightarrow k \approx 1,82[/tex3]
E obviamente:
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n-7}} =\lim_{a \rightarrow 0} (7+\frac{1}{a})^{a}=e^{\lim_{a \rightarrow 0} \frac{ln(7+\frac{1}{a})}{\frac{1}{a}}}[/tex3]
L'Hopital:
[tex3]e^{\lim_{a \rightarrow 0} \frac{a}{7a+1}}= e^0 = 1[/tex3]
O k vai tender para 1, então para [tex3]n \geq 10 [/tex3] , os valores inteiros possíveis para k são 1 ou 2.
Só que:
[tex3]k = n^{\frac{1}{n-7}}> 1[/tex3] , como [tex3]n \geq 10[/tex3] , [tex3]n> 1^{n-7} = 1[/tex3] , o que é verdade.
Também facilmente por indução:
[tex3]2> n^{\frac{1}{n-7}} = k[/tex3]
[tex3]2^{n-7}> n[/tex3]
[tex3]2^{n-6} > 2n > n+1[/tex3] , o que é verdade.
Então não tem jeito, as únicas soluções são: [tex3]\boxed{n \in \{8,9\}}[/tex3]
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problema 45
(Bangladesh - 2018) Encontre todos os pares de inteiros (m,n) tais que: [tex3]3\cdot (m^2+n^2) - 7 \cdot (m+n) = -4[/tex3]
Sendo k inteiro, então: [tex3]n^{1\over n-7} = k\rightarrow n = k^{n-7}[/tex3]
Obviamente [tex3]n \geq 8[/tex3]
Para [tex3]n = 8[/tex3] , [tex3]k = n[/tex3]
Para [tex3]n = 9[/tex3] , [tex3]k^2 = 9\rightarrow k = 3[/tex3]
Para [tex3]n = 10[/tex3] , [tex3]k^3 = 10\rightarrow k \approx 2,15[/tex3]
Para [tex3]n = 11[/tex3] , [tex3]k^4 = 11\rightarrow k \approx 1,82[/tex3]
E obviamente:
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n-7}} =\lim_{a \rightarrow 0} (7+\frac{1}{a})^{a}=e^{\lim_{a \rightarrow 0} \frac{ln(7+\frac{1}{a})}{\frac{1}{a}}}[/tex3]
L'Hopital:
[tex3]e^{\lim_{a \rightarrow 0} \frac{a}{7a+1}}= e^0 = 1[/tex3]
O k vai tender para 1, então para [tex3]n \geq 10 [/tex3] , os valores inteiros possíveis para k são 1 ou 2.
Só que:
[tex3]k = n^{\frac{1}{n-7}}> 1[/tex3] , como [tex3]n \geq 10[/tex3] , [tex3]n> 1^{n-7} = 1[/tex3] , o que é verdade.
Também facilmente por indução:
[tex3]2> n^{\frac{1}{n-7}} = k[/tex3]
[tex3]2^{n-7}> n[/tex3]
[tex3]2^{n-6} > 2n > n+1[/tex3] , o que é verdade.
Então não tem jeito, as únicas soluções são: [tex3]\boxed{n \in \{8,9\}}[/tex3]
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problema 45
(Bangladesh - 2018) Encontre todos os pares de inteiros (m,n) tais que: [tex3]3\cdot (m^2+n^2) - 7 \cdot (m+n) = -4[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Out 2020
19
09:51
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 45
[tex3]3m^2+3n^2-7m-7n=-4[/tex3]
[tex3]3m^2-7m+3n^2-7n=-4[/tex3]
[tex3]m^2-{7\over3}m+n^2-{7\over3}n=-{4\over3}[/tex3]
[tex3]m^2-{7\over3}m+{49\over36}+n^2-{7\over3}n+{49\over36}=-{4\over3}+2\cdot{49\over36}[/tex3]
[tex3]\(m-{7\over6}\)^2+\(n-{7\over6}\)^2={50\over36}[/tex3]
[tex3]36\(m-{7\over6}\)^2+36\(n-{7\over6}\)^2=50[/tex3]
[tex3]\(6m-7\)^2+\(6n-7\)^2=50~~~~~(I)[/tex3]
[tex3]\(6m-7\)^2=50-\(6n-7\)^2[/tex3]
Como um quadrado é sempre maior ou igual que 0, o valor máximo de [tex3](6m-7)^2[/tex3] é [tex3]50[/tex3] e o valor mínimo é 0. Logo:
[tex3](6m-7)^2\leq50[/tex3]
[tex3]|6m-7|\leq\sqrt{50}[/tex3]
[tex3]-\sqrt{50}\leq 6m-7 \leq\sqrt{50}[/tex3]
Como estamos considerando apenas valores inteiros, podemos dizer que:
[tex3]-\sqrt{50}\leq-\sqrt{49}\leq 6m-7\leq49 \leq\sqrt{50}[/tex3]
[tex3]-7\leq 6m-7\leq7[/tex3]
[tex3]0\leq 6m\leq14[/tex3]
[tex3]0\leq m\leq{14\over6}[/tex3]
[tex3]0\leq m\leq2[/tex3]
Substituindo os possíveis resultados na equação [tex3](I)[/tex3] :
Problema 46
(Irlanda-2009) Encontre todos os naturais [tex3]a,b[/tex3] tais que [tex3](ab)^2-4(a+b)[/tex3] seja um quadrado perfeito.
[tex3]3m^2+3n^2-7m-7n=-4[/tex3]
[tex3]3m^2-7m+3n^2-7n=-4[/tex3]
[tex3]m^2-{7\over3}m+n^2-{7\over3}n=-{4\over3}[/tex3]
[tex3]m^2-{7\over3}m+{49\over36}+n^2-{7\over3}n+{49\over36}=-{4\over3}+2\cdot{49\over36}[/tex3]
[tex3]\(m-{7\over6}\)^2+\(n-{7\over6}\)^2={50\over36}[/tex3]
[tex3]36\(m-{7\over6}\)^2+36\(n-{7\over6}\)^2=50[/tex3]
[tex3]\(6m-7\)^2+\(6n-7\)^2=50~~~~~(I)[/tex3]
[tex3]\(6m-7\)^2=50-\(6n-7\)^2[/tex3]
Como um quadrado é sempre maior ou igual que 0, o valor máximo de [tex3](6m-7)^2[/tex3] é [tex3]50[/tex3] e o valor mínimo é 0. Logo:
[tex3](6m-7)^2\leq50[/tex3]
[tex3]|6m-7|\leq\sqrt{50}[/tex3]
[tex3]-\sqrt{50}\leq 6m-7 \leq\sqrt{50}[/tex3]
Como estamos considerando apenas valores inteiros, podemos dizer que:
[tex3]-\sqrt{50}\leq-\sqrt{49}\leq 6m-7\leq49 \leq\sqrt{50}[/tex3]
[tex3]-7\leq 6m-7\leq7[/tex3]
[tex3]0\leq 6m\leq14[/tex3]
[tex3]0\leq m\leq{14\over6}[/tex3]
[tex3]0\leq m\leq2[/tex3]
Substituindo os possíveis resultados na equação [tex3](I)[/tex3] :
- [tex3]m=0[/tex3]
:
[tex3]\(6\cdot0-7\)^2+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
[tex3]\(-7\)^2+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
[tex3]49+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
[tex3]\(6n-7\)^2=1[/tex3]
[tex3]6n-7=\pm1[/tex3]
[tex3]n={8\over6}[/tex3] ou [tex3]n=1[/tex3]
Assim, só temos o par [tex3](0,1)[/tex3] .
- [tex3]m=1[/tex3]
:
[tex3]\(6\cdot1-7\)^2+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
[tex3]\(-1\)^2+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
[tex3]1+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
[tex3]\(6n-7\)^2=49[/tex3]
[tex3]6n-7=\pm7[/tex3]
[tex3]n={14\over6}[/tex3] ou [tex3]n=0[/tex3]
Assim, só temos o par [tex3](1,0)[/tex3] .
- [tex3]m=2[/tex3]
:
[tex3]\(6\cdot2-7\)^2+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
[tex3]\(5\)^2+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
[tex3]25+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
[tex3]\(6n-7\)^2=25[/tex3]
[tex3]6n-7=\pm5[/tex3]
[tex3]n=2[/tex3] ou [tex3]n={2\over6}[/tex3]
Assim, só temos o par [tex3](2,2)[/tex3] .
Problema 46
(Irlanda-2009) Encontre todos os naturais [tex3]a,b[/tex3] tais que [tex3](ab)^2-4(a+b)[/tex3] seja um quadrado perfeito.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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Ittalo25
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Out 2020
19
22:13
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do problema 46
[tex3](ab)^2 - 4(a+b) = x^2 [/tex3]
Então:
[tex3](ab)^2 > x^2 [/tex3]
[tex3]ab-1 \geq x[/tex3]
[tex3](ab-1)^2 \geq (ab)^2 - 4(a+b)[/tex3]
[tex3]ab\leq 2a+2b[/tex3]
Supondo [tex3]b \geq a [/tex3]
[tex3]ab\leq 2a+2b \leq 4b[/tex3]
Assim: [tex3]a \leq 4 [/tex3]
Se [tex3]a = 4 [/tex3] , então:
[tex3]ab\leq 2a+2b[/tex3]
[tex3]b\leq 4[/tex3]
Não há soluções.
Se [tex3]a = 3 [/tex3] , então:
[tex3]ab\leq 2a+2b[/tex3]
[tex3]b\leq 6[/tex3]
Testando: [tex3](3,2)[/tex3]
Se [tex3]a = 2 [/tex3] , então:
[tex3]4b^2 - 4 \cdot (2+b) = x^2[/tex3]
[tex3](2b-1-x)(2b-1+x)= 9[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2b-1+x=9 \\
2b-1-x=1
\end{cases}\rightarrow b = 3 \space \space \space \space \space \begin{cases}
2b-1+x=3 \\
2b-1-x=3
\end{cases}\rightarrow b = 2[/tex3]
Se [tex3]a = 1 [/tex3] , então:
[tex3]b^2 - 4 \cdot (1+b) = x^2[/tex3]
[tex3](b-2-x)(b-2+x)= 8[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
b-2+x=8 \\
b-2-x=1
\end{cases}\rightarrow b \notin \mathbb{N} \space \space \space \space \space \begin{cases}
b-2+x=4 \\
b-2-x=2
\end{cases}\rightarrow b = 5[/tex3]
Então as soluções são: [tex3]\boxed {(2,3), (2,2), (1,5)} [/tex3]
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problema 47
(Grécia - 2003) Encontre todos os inteiros positivos n tais que [tex3]n^3-n^2+n-1 [/tex3] é um número primo.
[tex3](ab)^2 - 4(a+b) = x^2 [/tex3]
Então:
[tex3](ab)^2 > x^2 [/tex3]
[tex3]ab-1 \geq x[/tex3]
[tex3](ab-1)^2 \geq (ab)^2 - 4(a+b)[/tex3]
[tex3]ab\leq 2a+2b[/tex3]
Supondo [tex3]b \geq a [/tex3]
[tex3]ab\leq 2a+2b \leq 4b[/tex3]
Assim: [tex3]a \leq 4 [/tex3]
Se [tex3]a = 4 [/tex3] , então:
[tex3]ab\leq 2a+2b[/tex3]
[tex3]b\leq 4[/tex3]
Não há soluções.
Se [tex3]a = 3 [/tex3] , então:
[tex3]ab\leq 2a+2b[/tex3]
[tex3]b\leq 6[/tex3]
Testando: [tex3](3,2)[/tex3]
Se [tex3]a = 2 [/tex3] , então:
[tex3]4b^2 - 4 \cdot (2+b) = x^2[/tex3]
[tex3](2b-1-x)(2b-1+x)= 9[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2b-1+x=9 \\
2b-1-x=1
\end{cases}\rightarrow b = 3 \space \space \space \space \space \begin{cases}
2b-1+x=3 \\
2b-1-x=3
\end{cases}\rightarrow b = 2[/tex3]
Se [tex3]a = 1 [/tex3] , então:
[tex3]b^2 - 4 \cdot (1+b) = x^2[/tex3]
[tex3](b-2-x)(b-2+x)= 8[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
b-2+x=8 \\
b-2-x=1
\end{cases}\rightarrow b \notin \mathbb{N} \space \space \space \space \space \begin{cases}
b-2+x=4 \\
b-2-x=2
\end{cases}\rightarrow b = 5[/tex3]
Então as soluções são: [tex3]\boxed {(2,3), (2,2), (1,5)} [/tex3]
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problema 47
(Grécia - 2003) Encontre todos os inteiros positivos n tais que [tex3]n^3-n^2+n-1 [/tex3] é um número primo.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
-
AnthonyC
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Out 2020
20
01:41
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 47:
[tex3]K=n^3-n^2+n-1[/tex3]
[tex3]K=n^2(n-1)+n-1[/tex3]
[tex3]K=(n^2+1)(n-1)[/tex3]
Para que um número [tex3]p[/tex3] seja primo, a única possível fatoração para este é [tex3]p=1\cdot p[/tex3] . Assim, temos duas opções para [tex3]K[/tex3] :
[tex3][/tex3]
Problema 48
(Inglaterra-2009) Encontre todos os números inteiros não negativos [tex3]a,b[/tex3] tais que [tex3]\sqrt a+\sqrt b=\sqrt{2009}[/tex3] .
[tex3]K=n^3-n^2+n-1[/tex3]
[tex3]K=n^2(n-1)+n-1[/tex3]
[tex3]K=(n^2+1)(n-1)[/tex3]
Para que um número [tex3]p[/tex3] seja primo, a única possível fatoração para este é [tex3]p=1\cdot p[/tex3] . Assim, temos duas opções para [tex3]K[/tex3] :
- [tex3]n^2+1=p[/tex3]
e [tex3]n-1=1[/tex3]
:
[tex3]n-1=1[/tex3]
[tex3]n=2[/tex3]
[tex3]n^2+1=p[/tex3]
[tex3]2^2+1=p[/tex3]
[tex3]5=p[/tex3]
[tex3][/tex3]
- [tex3]n^2+1=1[/tex3]
e [tex3]n-1=p[/tex3]
:
[tex3]n^2+1=1\implies n^2=0\implies n=0[/tex3]
Como estamos interessados apenas em inteiros positivos, então não há soluções neste caso.
Problema 48
(Inglaterra-2009) Encontre todos os números inteiros não negativos [tex3]a,b[/tex3] tais que [tex3]\sqrt a+\sqrt b=\sqrt{2009}[/tex3] .
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
-
Babi123
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Out 2020
21
05:04
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 48
[tex3]\sqrt a+\sqrt b=7\sqrt{41}\\
[/tex3]
Fazendo [tex3]\begin{cases}\sqrt a=A\sqrt{41}\\\sqrt b=B\sqrt{41}\end{cases}[/tex3] , assim segue que:
[tex3]A\sqrt{41}+B\sqrt{41}=7\sqrt{41}\\
A+B=7\\
A=7-B \implies \begin{cases}A\leq7\\B\leq7\end{cases}[/tex3]
Então,
[tex3]\sqrt a=0\cdot\sqrt{41}\implies a=0\implies b=7^2\cdot41\\
\sqrt a=1\cdot\sqrt{41}\implies a=41\implies b=6^2\cdot41\\
\sqrt{a}=2\cdot\sqrt{41}\implies a=2^2\cdot41\implies b=5^2\cdot41\\
\sqrt a=3\cdot\sqrt{41}\implies a= 3^2\cdot41\implies b=4^2\cdot41\\
\sqrt a=4\cdot\sqrt{41}\implies a=4^2\cdot41\implies b=3^2\cdot41\\
\sqrt a=5\cdot\sqrt{41}\implies a=5^2\cdot41\implies b=2^2\cdot41\\
\sqrt a=6\cdot\sqrt{41}\implies a=6^2\cdot41\implies b=41\\
\sqrt a=7\cdot\sqrt{41}\implies a=7^2\cdot41\implies b=0
[/tex3]
Portanto, as soluções são:
[tex3]\boxed{S=\{(0,7^2\cdot41),(41,6^2\cdot41),(2^2\cdot41,5^2\cdot41),(3^2\cdot41,4^2\cdot41)\\(4^2\cdot41,3^2\cdot41),(5^2\cdot41,2^2\cdot41),(6^2\cdot41,41),(7^2\cdot41,0)\}}[/tex3]
Problema 49
(Brasil - 2019) sejam [tex3]a, b \ e \ k [/tex3] com [tex3]k>1[/tex3] , tais que o [tex3]mmc(a,b)+mdc(a,b)=k(a+b)[/tex3] . prove que [tex3]a+b\geq4k[/tex3] .
[tex3]\sqrt a+\sqrt b=7\sqrt{41}\\
[/tex3]
Fazendo [tex3]\begin{cases}\sqrt a=A\sqrt{41}\\\sqrt b=B\sqrt{41}\end{cases}[/tex3] , assim segue que:
[tex3]A\sqrt{41}+B\sqrt{41}=7\sqrt{41}\\
A+B=7\\
A=7-B \implies \begin{cases}A\leq7\\B\leq7\end{cases}[/tex3]
Então,
[tex3]\sqrt a=0\cdot\sqrt{41}\implies a=0\implies b=7^2\cdot41\\
\sqrt a=1\cdot\sqrt{41}\implies a=41\implies b=6^2\cdot41\\
\sqrt{a}=2\cdot\sqrt{41}\implies a=2^2\cdot41\implies b=5^2\cdot41\\
\sqrt a=3\cdot\sqrt{41}\implies a= 3^2\cdot41\implies b=4^2\cdot41\\
\sqrt a=4\cdot\sqrt{41}\implies a=4^2\cdot41\implies b=3^2\cdot41\\
\sqrt a=5\cdot\sqrt{41}\implies a=5^2\cdot41\implies b=2^2\cdot41\\
\sqrt a=6\cdot\sqrt{41}\implies a=6^2\cdot41\implies b=41\\
\sqrt a=7\cdot\sqrt{41}\implies a=7^2\cdot41\implies b=0
[/tex3]
Portanto, as soluções são:
[tex3]\boxed{S=\{(0,7^2\cdot41),(41,6^2\cdot41),(2^2\cdot41,5^2\cdot41),(3^2\cdot41,4^2\cdot41)\\(4^2\cdot41,3^2\cdot41),(5^2\cdot41,2^2\cdot41),(6^2\cdot41,41),(7^2\cdot41,0)\}}[/tex3]
Problema 49
(Brasil - 2019) sejam [tex3]a, b \ e \ k [/tex3] com [tex3]k>1[/tex3] , tais que o [tex3]mmc(a,b)+mdc(a,b)=k(a+b)[/tex3] . prove que [tex3]a+b\geq4k[/tex3] .
Editado pela última vez por Babi123 em 21 Out 2020, 05:18, em um total de 3 vezes.
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