1º) x e y são quadrados perfeitos [tex3]x=m^2[/tex3] e [tex3]y=n^2[/tex3]
dai [tex3]\sqrt{x}+\sqrt{y}=1980[/tex3]
[tex3]m+n=1980[/tex3] n tenho experiencia com equações diofantinas mas vou tentar deixar de um jeito interessante [tex3]m = t[/tex3] , dai [tex3]t+n=1980\iff n=1980-t[/tex3]
então vamos ter soluções do tipo [tex3](x, y) = (t^2, (1980-t)^2)[/tex3] com t inteiro maior que 1 e menor que 1980
2º) suponha por absurdo que [tex3]\sqrt{x}[/tex3] e [tex3]\sqrt{y}[/tex3] são números irracionais, um não pode ser irracional enquanto outro é racional se não teríamos a soma de um irracional com um racional que nos da um irracional e 1980 é inteiro
[tex3]\sqrt{x}+\sqrt{y}=1980[/tex3]
[tex3]\sqrt{x}=1980-\sqrt{y}[/tex3] elevando tudo ao quadrado
[tex3]x=1980^2-2\cdot 1980\sqrt{y}+y[/tex3]
[tex3]x-y-1980^2=2\cdot 1980\sqrt{y}[/tex3] enquanto o lado esquerdo é inteiro o lado direito é irracional pois um racional não nulo vezes um irracional é um irracional, oq nos leva a um absurdo
seja [tex3]{a\over b}[/tex3] com a e b inteiros não nulos e [tex3]i[/tex3] um número irracional.
Suponha por absurdo que [tex3]{a\over b}\cdot i={m\over n}[/tex3] com m e n inteiros
dai [tex3]{a\over b}\cdot{b\over a }\cdot i = {m\over n}\cdot{b\over a}[/tex3] então
[tex3]i={mb\over na}[/tex3] mas como o conjunto dos inteiros é fechado para multiplicação o denominador e o numerador são inteiros e portanto i pode ser escrito como uma fração com numerador e denominador inteiros que é uma contradição já que [tex3]i[/tex3] é irracional
mas então [tex3]x={m^2\over n^2}[/tex3] e então [tex3]n^2|m^2[/tex3]
como [tex3]n| n^2 [/tex3] por transitividade [tex3]n|m^2[/tex3] e pela seguinte proposição.
Proposição: Sejam a, b e c inteiros positivos com [tex3]a | bc[/tex3] e [tex3]mdc(a, b) = 1[/tex3] . Então, [tex3]a | c[/tex3] .
Prova da proposição.
pelo teorema de bezout existem x e y inteiros tais que [tex3]ax+by=1[/tex3] multiplicando por c
[tex3]acx+byc=c[/tex3] como a divide a, então [tex3]a|acx[/tex3] e como a divide bc por hipótese
então a divide a soma ou seja [tex3]a|acx+byc=c[/tex3]
mas [tex3]mdc(nk, n) = 1[/tex3] e pelo lema de euclides [tex3]mdc(kn-kn, n) = 1[/tex3]
[tex3]mdc(0, n) = 1[/tex3] e portanto temos [tex3]n = 1[/tex3] que contraria a hipótese, caso n fosse 1 entraríamos no primeiro caso
logo as únicas soluções são [tex3](x, y) = (t^2, (1980-t)^2)[/tex3] com [tex3]0< t<1980[/tex3] e t um nuúmero inteiro
Problema 11
(Brasil - 2009) Entre os inteiros positivos [tex3]n + 4018[/tex3] , [tex3]n =1,2,...,2009^2[/tex3] , quantos são quadrados perfeitos?
A) 1945 B) 1946 C) 1947 D) 1948 E) 1949