Solução do problema 35
Vou considerar que o zero não é natural.
Proposição: Todo quadrado perfeito apenas deixa resto 0 ou 1 na divisão por 3.
Demonstração:
Disso sai que: [tex3]2^m+3^n \equiv (-1)^m \mod(3)[/tex3]
, m é par, [tex3]m = 2k [/tex3]
Proposição: Todo quadrado perfeito apenas deixa resto 0 ou 1 na divisão por 4.
Demonstração:
Disso sai que: [tex3]4^k+3^n \equiv (-1)^n \mod(4)[/tex3]
, n é par, [tex3]n = 2a [/tex3]
Portanto a equação é uma terna pitagórica da forma [tex3](2^k)^2+(3^a)^2 = x^2 [/tex3]
, ainda por cima uma terna primitiva já que [tex3]mdc(2^k,3^a)=1 [/tex3]
. Sendo assim, pela teoria de ternas pitagóricas, existem inteiros u e v, com u par e v ímpar, tais que:
[tex3]\begin{cases}
3^a=u^2-v^2\\
2^k=2uv \\
x=u^2+v^2
\end{cases}[/tex3]
Da segunda equação tem-se que: [tex3]\begin{cases}
u = 2^{k-1} \\
v=1
\end{cases}[/tex3]
, substituindo na primeira:
[tex3]3^a = 2^{2k-2}-1 = (2^{k-1}-1)(2^{k-1}+1)[/tex3]
Como [tex3]mdc(2^{k-1}-1,2^{k-1}+1) = mdc(2^{k-1}-1+2^{k-1}+1,2^{k-1}+1) = mdc(2^k,2^{k-1}+1) = 1 [/tex3]
, temos que:
[tex3]2^{k-1}-1=1[/tex3]
[tex3]2^{k-1} = 2[/tex3]
[tex3]k-1=1[/tex3]
[tex3]k = 2[/tex3]
Portanto: [tex3]m=4 [/tex3]
e [tex3]n=2 [/tex3]
é a única solução.
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Problema 36
(Brasil - 2001) São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como 11,121,411,etc....). A soma de todos estes números é:
a)6882 b)5994 c)4668 d)7224 e)3448
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
)
