Maratonas de Matemátical Maratona Olímpica de Teoria dos Números

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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 69

O polinômio característico dessa recorrência é [tex3]x^2 =1996x+1997 [/tex3] , o qual tem raízes [tex3]-1[/tex3] e [tex3]1997 [/tex3] .
Então:
[tex3]\begin{cases}
1=x\cdot (-1)^2 + y\cdot (1997)^2 \\
3993= x\cdot (-1)^3+y\cdot (1997)^3
\end{cases}[/tex3]
Somando as 2:
[tex3]\frac{3994}{(1997)^3+(1997)^2} = y[/tex3]
[tex3]\frac{2}{(1997)^2+(1997)} = y[/tex3]
[tex3]\frac{1}{1997 \cdot 999} = y[/tex3]
[tex3]-\frac{998}{ 999} = x[/tex3]

Assim:
[tex3]x_{1997} = -\frac{998}{999} \cdot (-1)^{1997} + \frac{(1997)^{1997}}{1997 \cdot 999}[/tex3]
[tex3]x_{1997} = \frac{998+(1997)^{1996}}{ 999}[/tex3]
[tex3]x_{1997} = 1+\frac{(1997)^{1996}-1}{ 999}[/tex3]
[tex3]x_{1997} = 1+\frac{((1997)^{499})^{4}-1}{ 999}[/tex3]
[tex3]x_{1997} = 1+\frac{((1997)^{499}-1)((1997)^{499}+1)((1997)^{998}+1)}{ 999}[/tex3]
[tex3]x_{1997} = 1+\frac{((1997)^{499}-1)(1998)(1997^{498}-1997^{497}+1997^{496}-1997^{495}+....-1997+1)((1997)^{998}+1)}{ 999}[/tex3]
[tex3]x_{1997} = 1+2\cdot ((1997)^{499}-1)(1997^{498}-1997^{497}+1997^{496}-1997^{495}+....-1997+1)((1997)^{998}+1)[/tex3]
[tex3]x_{1997} \equiv 1+2\cdot ((-1)^{499}-1)((-1)^{498}-(-1)^{497}+(-1)^{496}-(-1)^{495}+....+1+1)((-1)^{998}+1)\mod(3)[/tex3]
[tex3]x_{1997} \equiv 1+2\cdot (-2)\cdot (499)\cdot (2)\mod(3)[/tex3]
[tex3]x_{1997} \equiv 1-8\mod(3)[/tex3]
[tex3]\boxed{x_{1997} \equiv 2\mod(3)}[/tex3]

________________________________________________________________________________________________________

Problema 70
(Kosovo - 2013) Encontre todos os inteiros n tais que [tex3]\frac{n^2+n-27}{n-5}[/tex3] é um número inteiro.
Resposta

2,4,6,8

Última edição: Ittalo25 (Seg 04 Jan, 2021 15:27). Total de 2 vezes.


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BotoCorDeRosa
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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por BotoCorDeRosa »

Solução do problema 70

Usando o denominador:
[tex3]n - 5\equiv 0 \mod(n - 5)[/tex3]
[tex3]n\equiv 5 \mod(n - 5)[/tex3]
[tex3]n^2\equiv 5^2 \mod(n - 5)[/tex3]
[tex3]n^2 + n \equiv25 + 5\mod(n - 5)[/tex3]
[tex3]n^2 + n - 27 \equiv 30 - 27 \mod(n - 5)[/tex3]
[tex3]n^2 + n - 27 \equiv 3 \mod(n - 5)[/tex3]

Então, [tex3](n - 5)|3[/tex3] , divisores inteiros de 3: - 1, - 3, 1, 3

[tex3]n - 5 = - 1[/tex3]
[tex3]n = 5 - 1[/tex3]
[tex3]n = 4[/tex3]

[tex3]n - 5 = - 3[/tex3]
[tex3]n = 5 - 3[/tex3]
[tex3]n = 2[/tex3]

[tex3]n - 5 = 1[/tex3]
[tex3]n = 5 + 1[/tex3]
[tex3]n = 6[/tex3]

[tex3]n - 5 = 3[/tex3]
[tex3]n = 5 + 3[/tex3]
[tex3]n = 8[/tex3]

Problema 71
(Finlândia - 2001) Determine [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3] tais que [tex3]n^2 + 2[/tex3] divida [tex3]2 + 2001n[/tex3] .

Última edição: BotoCorDeRosa (Seg 04 Jan, 2021 22:21). Total de 1 vez.



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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 71

[tex3]n^2+2 | 2+2001n [/tex3]
[tex3]n^2+2 | n\cdot (2+2001n) - 2001 \cdot (n^2+2) [/tex3]
[tex3]n^2+2 | 2n-4002[/tex3]
[tex3]n^2+2 | 2001\cdot (2n-4002) - 2\cdot (2+2001n)[/tex3]
[tex3]n^2+2 | 2\cdot (2001^2 +2)[/tex3]
[tex3]n^2+2 | 2\cdot 19 \cdot 83 \cdot 2539[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
n^2+2 = 2\rightarrow \boxed{n = 0} \\
n^2+2 = 2\cdot 19 \rightarrow \boxed{n=6} \\
n^2+2 = 2\cdot 19 \cdot 83\rightarrow n = \sqrt
{3152} \\
n^2+2 = 2\cdot 19 \cdot 83 \cdot 2539 = \sqrt{8008004} \\
n^2+2 = 19\rightarrow n = \sqrt{17} \\
n^2+2 = 19 \cdot 83\rightarrow n=\sqrt{1575} \\
n^2+2 = 19\cdot 83 \cdot 2539\rightarrow \boxed{n = 2001} \\
n^2+2 = 83\rightarrow \boxed{n=9} \\
n^2+2 = 83 \cdot 2539\rightarrow n=210735 \\
n^2+2=2539\rightarrow n=\sqrt{2537} \\
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\boxed{ n\in \{0,6,9,2001\}} [/tex3]

___________________________________________________________________________________________________________

Problema 72
(México - 1988) Sejam a e b inteiros positivos. Se 19 divide [tex3]11a+2b [/tex3] , então prove que 19 também divide [tex3]18a+5b [/tex3]


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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por BotoCorDeRosa »

Solução do problema 72

[tex3]11a + 2b \equiv 0 \mod(19)[/tex3]
[tex3]11a \equiv - 2b \mod(19)[/tex3]

[tex3]11 \equiv (- 8) \mod(19)[/tex3]
[tex3]11a \equiv (- 8)a \mod(19)[/tex3]

Então:
[tex3](- 8)a \equiv -2b \mod(19)[/tex3]
[tex3]2 \times(4a) \equiv 2 \times (b) \mod(19)[/tex3] , como [tex3]19 \nmid 2[/tex3] :
[tex3]4a \equiv b \mod(19)[/tex3]

[tex3]18a + 5b \equiv x \mod(19)[/tex3]
[tex3]18a + 5(4a) \equiv x \mod(19)[/tex3]
[tex3]18a + 20a \equiv x \mod(19)[/tex3]
[tex3]38a \equiv x \mod(19)[/tex3]
[tex3]19(2a) \equiv x \mod(19)\therefore \boxed {x=0}[/tex3]

Problema 73
(Estônia - 2002) Um número natural de 10 algarismos distintos é dito mágico se ele for múltiplo de 99999. Quantos números mágicos não começados por zero existem?



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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 73

Seja o número mágico: [tex3]\overline{x_1x_2x_3x_4x_5....x_{10}}[/tex3] , então:

[tex3]\overline{x_1x_2x_3x_4x_5....x_{10}} = 10^5\cdot \overline{x_1x_2x_3x_4x_5}+ \overline{x_6x_7x_8x_9x_{10}}[/tex3]
[tex3]\overline{x_1x_2x_3x_4x_5....x_{10}} = 99999\cdot \overline{{x_1x_2x_3x_4x_5}}+ \overline{{x_1x_2x_3x_4x_5}}+ \overline{{x_6x_7x_8x_9x_{10}}}[/tex3]

Então 99999 divide [tex3] \overline{{x_1x_2x_3x_4x_5}}+ \overline{{x_6x_7x_8x_9x_{10}}}[/tex3]
Mas [tex3]x_i\neq x_j [/tex3] para [tex3]i\neq j[/tex3] (A questão diz isso)
Consequência disso é que [tex3] \overline{{x_1x_2x_3x_4x_5}}<99999[/tex3] e também [tex3]\overline{{x_6x_7x_8x_9x_{10}}}<99999[/tex3] .
Sendo assim: [tex3] \overline{{x_1x_2x_3x_4x_5}}+ \overline{{x_6x_7x_8x_9x_{10}}} = 99999[/tex3]
Portanto: [tex3]x_1+x_6 = x_2+x_7=x_3+x_8=x_4+x_9 = x_5+x_{10}=9 [/tex3]

Para [tex3]x_1+x_6 [/tex3] : [tex3](x_1\neq 0)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
9+0 \\
8+1 \\
7+2 \\
6+3 \\
5+4\\
4+5 \\
3+6 \\
2+7 \\
1+8
\end{cases}[/tex3]
9 possibilidades.

Para [tex3]x_2+x_7 [/tex3] :
Aqui vai adicionar 1 caso já que não existe restrição para [tex3]x_2,x_7\neq 0[/tex3]
Vai retirar 1 caso que já foi escolhido anteriormente e também o caso simétrico. Por exemplo: Se [tex3]x_1 = 8 [/tex3] , [tex3]x_6=1 [/tex3] , não é possível ter [tex3]x_2=1 [/tex3] e [tex3]x_7=8 [/tex3] nem [tex3]x_2=8 [/tex3] e [tex3]x_7=1 [/tex3]
8 possibilidades

Para [tex3]x_3+x_8 [/tex3] :
Aqui retira-se o caso escolhido anteriormente e seu simétrico.
6 possibilidades

Para [tex3]x_4+x_9 [/tex3] :
Aqui retira-se o caso escolhido anteriormente e seu simétrico.
4 possibilidades

Para [tex3]x_5+x_{10} [/tex3] :
Aqui retira-se o caso escolhido anteriormente e seu simétrico.
2 possibilidades

Então pelo princípio multiplicativo, o número total de números mágicos é: [tex3]\boxed{9\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2=3456} [/tex3]

____________________________________________________________________________________________________________

Problema 74
(México - 1997) Encontre todos os primos p tais que [tex3]8p^{4}-3003[/tex3] é um número primo positivo.
Resposta

p=5


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null
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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por null »

Solução Problema 74
devido ao expoente ser [tex3]4 = 5-1[/tex3] talvez seja uma boa ideia olhar módulo 5 para poder usar o teorema de euler, fazendo isso temos o seguinte.
[tex3]8p^4-3003\equiv3p^4-3\equiv3(p^4-1)(\mod5)[/tex3]
se [tex3](p,5)=1[/tex3] o número do enunciado sera divisível por 5, vamos testar isso então.
[tex3]8p^4-3003=5[/tex3]
[tex3]8p^4=3008[/tex3]
[tex3]p^4=376=2^3\cdot47[/tex3] então [tex3]2|p^4[/tex3] como 2 é primo e divide um produto [tex3]2|p\implies p = 2[/tex3] mas
[tex3]2^4\neq2^3\cdot47[/tex3]
como [tex3](p, 5) = 1 \text{ ou }5[/tex3] dependendo se [tex3]5\nmid p[/tex3] ou [tex3]5|p [/tex3] respectivamente
só falta testar [tex3]5|p[/tex3] e pelo fato de p ser primo, p = 5
[tex3]8\cdot5^4-3003=1997[/tex3] que é primo, lembre-se que só precisamos dividir 1997 por primos até [tex3]\sqrt{1997}[/tex3] devido ao seguinte teorema.
Resposta

Se n inteiro positivo não é primo, então n possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a [tex3]\sqrt{n}[/tex3]
demonstração: [tex3]n=n_1n_2[/tex3] , suponha sem perda de generalidade [tex3]n_1\leq n_2[/tex3] , então [tex3]n_1\leq \sqrt{n}[/tex3] caso contrário [tex3]n = n_1n_2>\sqrt{n}\sqrt{n}=n[/tex3] , absurdo, como [tex3]n_1[/tex3] deve ter um fator primo e se [tex3]p[/tex3] for fator primo de [tex3] n_1[/tex3] tbm sera fator primo de [tex3]n[/tex3] , a prova está completa.

Problema 75
(APMO - 1997) Encontre um [tex3]n[/tex3] no conjunto [tex3]\{100, 101, ..., 1997\}[/tex3] tal que [tex3]n[/tex3] divide [tex3]2^n+2[/tex3]
Última edição: null (Qui 11 Mar, 2021 13:59). Total de 1 vez.


μια φράση στα ελληνικά, γιατί ο μεταφραστής google είναι τρομερό στα λατινικά

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iammaribrg
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Abr 2021 06 00:46

Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por iammaribrg »

Solução Problema 75

Temos que encontrar n = 2[tex3]\cdot [/tex3] p[tex3]\cdot [/tex3] q, p, q primos ímpares distintos. Devemos ter [tex3]2^{2pq-1}[/tex3] −1 + 1 ≡ 0 (mod p) ⇐⇒[tex3]2^{2q-1}[/tex3] ≡ −1 (mod p). Veja que [tex3](2^{\frac{p-1}{2}})^{2}[/tex3] ≡ 1 (mod p) ⇐⇒ (p−1)/2 ≡ ±1 (mod p). Se [tex3]2^{\frac{p-1}{2}}[/tex3] ≡ −1 (mod p), podemos tentar 2q − 1 = (p − 1)/2 ⇐⇒ p = 4q − 1. Analogamente, 2[tex3]^{2p-1}[/tex3] ≡ −1 (mod q) ⇐⇒ 2[tex3]^{8q-3}[/tex3] ≡ −1 (mod q) ⇐⇒ 2[tex3]^{5}[/tex3] ≡ −1 (mod q) ⇐⇒ q = 3 ou q = 11. No primeiro caso, p = 11 e n = 66; no segundo caso, p = 43 e n = 946. De fato, uma busca no computador mostra que n = 946 é a única possibilidade

Problema 76
(Marrocos - 2021) Sejam a e b números reais positivos, tais que: [tex3]\begin{cases}
ab=2 \\
\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+a^2} = \frac{7}{8}
\end{cases}[/tex3] , encontre o valor de [tex3]a^6+b^6[/tex3]

Última edição: Ittalo25 (Qua 07 Abr, 2021 20:08). Total de 4 vezes.


O fogo arderá continuamente sobre o altar; não se apagará.
Levítico 6:13

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