Maratonas de MatemáticaII Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
joaopcarv
3 - Destaque
Mensagens: 359
Registrado em: Ter 18 Out, 2016 21:11
Última visita: 02-11-19
Agradeceu: 534
Agradeceram: 346
Mar 2018 18 16:36

II Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP

Mensagem não lida por joaopcarv » Dom 18 Mar, 2018 16:36

Autorizado pelo Proj Caju, está sendo anunciada a Segunda Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP aqui no TutorBrasil.

Existem claras regras, já enunciadas em outras Maratonas, e que serão aplicadas nessa Maratona :

1 ) O funcionamento é o seguinte : A Maratona inicia-se com o iniciador (no caso, eu), repostando as regras para que fiquem bem claras. Após isso, eu posto a primeira pergunta (inédita, como as subsequentes que serão postadas, no fórum do TTB) seguindo um modelo (a ser explicado). Assim que o Prof Caju determinar, ele tranca o tópico, dando-se assim fim à maratona;

2 ) Cada usuário que responder deve responder a pergunta anterior e em seguida postar uma pergunta nova, dos exames FUVEST / UNICAMP, da matéria de matemática e que seja inédita no fórum do TTB. Deve-se juntamente postar o gabarito da questão na Tag de Spoiler. Ou seja, responda a anterior e poste uma nova questão dentro do escopo da maratona, inédita, e com a tag Spoiler contendo o seu gabarito;

3 ) Poste a questão com o respectivo exame e ano de aplicação. Exemplos : (FUVEST - 2005), (UNICAMP - 2004), etc;

4 ) Deverá ser seguida uma ordem crescente na enumeração das questões, usando a seguinte nomenclatura : Problema n, Problema n+1, etc;

5 ) Use o Latex para postar as questões e as respostar (pode-se ainda estilizar usando o comando \mathsf{}, por exemplo, mas isso fica a gosto);

6 ) Poste a resolução formalmente e unicamente, como se estivesse entregando uma prova à banca da UNICAMP e /ou da FUVEST;

7 ) Não esqueça de pesquisar o seu problema a ser postado antes no fórum, verificando assim se ele já foi postado aqui;

8 ) Para manter o fluxo da Maratona, só poste um problema após responder ao último problema postado. Se no período de [tex3]\mathsf{36}[/tex3] horas, a última postada não for respondida, será movida ao fórum de Pré-Vestibular, continuando assim a Maratona.

A Maratona está constantemente sendo monitorada, por isso, qualquer descumprimento dessas regras básicas levará à exclusão do usuário da mesma.

Exemplo de postagem!

Problema 1

(FUVEST / UNICAMP - Ano da aplicação do problema) Enunciado do problema

Código: Selecionar todos

[spoiler]Gabarito do problema[spoiler]
Para a resolução!

Solução do Problema 1

Desenvolvimento formal do problema 1

Problema 2

(FUVEST / UNICAMP - Ano da aplicação do problema) Enunciado do problema

Código: Selecionar todos

[spoiler]Gabarito do problema[spoiler]
Segue o link da I Maratona FUVEST / UNICAMP de Matemática, iniciada por PedroCunha, para servir de exemplo :

viewtopic.php?f=45&t=39649

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 1

(FUVEST - 2018) Em um torneio de xadrez, há [tex3]\mathsf{2\cdot n}[/tex3] participantes.

a) Na primeira rodada, há [tex3]\mathsf{n}[/tex3] jogos. Calcule, em função de [tex3]\mathsf{n}[/tex3] , o número de possibilidades para se fazer o emparceiramento da primeira rodada, sem levar em conta a cor das peças.

b) Suponha que [tex3]\mathsf{12}[/tex3] jogadores participem do torneio, dos quais [tex3]\mathsf{6}[/tex3] sejam homens e [tex3]\mathsf{6}[/tex3] sejam mulheres. Qual é a probabilidade de que, na primeira rodada, só haja confrontos entre jogadores do mesmo sexo?
Resposta

[tex3]\mathsf{a) \ \dfrac{(2 \cdot n)!}{2^n \ \cdot n!}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{b) \ \dfrac{5}{231}}[/tex3]

Última edição: joaopcarv (Sex 14 Set, 2018 19:23). Total de 6 vezes.


"That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all."
Poli-USP
04/10/2017 Jn S2

Avatar do usuário
Autor do Tópico
joaopcarv
3 - Destaque
Mensagens: 359
Registrado em: Ter 18 Out, 2016 21:11
Última visita: 02-11-19
Agradeceu: 534
Agradeceram: 346
Mar 2018 21 23:46

Re: II Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP

Mensagem não lida por joaopcarv » Qua 21 Mar, 2018 23:46

Eu andei conversando com algumas pessoas, parece que esse Problema 1 foi realmente um problema :lol: eu vou decidir responder por mim mesmo ao invés de deslocar o tópico para a área de Pré-Vestibular... pois afinal, foi uma questão que eu já tinha conseguido fazer :lol:

Solução do Problema 1

[tex3]\mathsf{a)}[/tex3] No xadrez, separamos os jogadores em jogos de [tex3]\mathsf{2}[/tex3] em [tex3]\mathsf{2}[/tex3] . ou seja, temos [tex3]\mathsf{\dfrac{2 \ \cdot \ n}{2} \ = \ n}[/tex3] jogos a serem disputados.

Temos duas formas de pensar em separar esses [tex3]\mathsf{2 \ \cdot \ n}[/tex3] jogadores em duplas...

Primeira forma [tex3]\rightarrow[/tex3]

Vamos combinando os jogadores de [tex3]\mathsf{2}[/tex3] em [tex3]\mathsf{2}[/tex3] , porque a ordem das duplas não nos importa ([tex3]\mathsf{A \ \times \ B \ = \ B \ \times \ A}[/tex3] , etc), até que nos sobrem apenas os [tex3]\mathsf{2}[/tex3] últimos para formarem a última dupla. Só que tem um adendo, os deslocamentos das duplas não nos interessa!!

Por exemplo : [tex3]\mathsf{A \ \times \ B, \ C \ \times \ D, \ E \ \times \ F, \ G \ \times \ H}[/tex3] é a mesma que [tex3]\mathsf{A \ \times \ B, \ E \ \times \ F, \ G \ \times \ H, \ C \ \times \ D}[/tex3] , etc.

Ou seja, temos que "despermutar" os [tex3]\mathsf{n}[/tex3] jogos / duplas, multiplicando tudo por [tex3]\mathsf{\dfrac{1}{n!}} \ \Rrightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{\underbrace{\dfrac{1}{n!}}_{"despermuta"} \ \cdot \ \underbrace{C_{(2\cdot \ n, \ 2)} \ \cdot \ C_{(2\cdot \ n \ - \ 2, \ 2)} \ \cdot \ C_{(2\cdot \ n \ - \ 4, \ 2)} \ \cdot \ \dots \ \cdot \ \overbrace{C_{(2,2)}}^{última \ dupla}}_{formação \ das \ duplas}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{1}{n!} \ \cdot \ \dfrac{(2 \ \cdot \ n)!}{2! \ \cdot \ \cancel{(2 \ \cdot \ n \ - \ 2)!}} \ \cdot \ \dfrac{\cancel{(2 \ \cdot \ n \ - \ 2)!}}{2! \ \cdot \ \cancel{(2 \ \cdot \ n \ - \ 4)!}} \ \cdot \ \dfrac{\cancel{(2 \ \cdot \ n \ - \ 4)!}}{2! \ \cdot \ \cancel{(2 \ \cdot \ n \ - \ 6)!}} \ \cdot \ \dots \cdot \dfrac{\cancel{4!}}{2! \ \cdot \ \cancel{2!}} \ \cdot \ \dfrac{\cancel{2!}}{2! \ \cdot \ 0!}} \ \rightarrow[/tex3]

Perceba que cada jogo "deixa" [tex3]\mathsf{2!}[/tex3] e como são [tex3]\mathsf{n}[/tex3] jogos...

[tex3]\mathsf{\dfrac{(2\ \cdot \ n)!}{(2!)^n \ \cdot n!} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{(2 \ \cdot \ n)!}{2^n \ \cdot \ n!}}}}[/tex3]

Mas daí que vem a segunda existe existe aí... podemos também pensar em permutar livremente os [tex3]\mathsf{2 \ \cdot \ n}[/tex3] jogadores... mas mas sabemos que nem as [tex3]\mathsf{2!}[/tex3] permutas em cada uma das [tex3]\mathsf{n}[/tex3] duplas e nem as [tex3]\mathsf{n!}[/tex3] entre as duplas nos interessam, então vamos "despermutar" [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{(2\ \cdot \ n)!}{(2!)^n \ \cdot n!} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{(2 \ \cdot \ n)!}{2^n \ \cdot \ n!}}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{b)}[/tex3]

Possibilidades totais [tex3]\mathsf{T}[/tex3] : Formadas livremente pelos [tex3]\mathsf{2 \ \cdot \ n \ = \ 12}[/tex3] jogadores ([tex3]\mathsf{n \ = \ 6}[/tex3] ), seguindo a nossa fórmula [tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3]\mathsf{T \ = \ \dfrac{12!}{2^6 \ \cdot \ 6!} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{T \ = \ \dfrac{12 \ \cdot \ 11 \ \cdot \ 10 \ \cdot \ 9 \ \cdot \ 8 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ \cancel{6!}}{2^6 \ \cdot \ \cancel{6!} } \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{T \ = \ 3 \ \cdot \ 11 \ \cdot \ 5 \ \cdot \ 9 \ \cdot \ 7 \ possibilidades \ totais}}[/tex3]

Possibilidades favoráveis [tex3]\mathsf{f}[/tex3] : Vamos livremente usar [tex3]\mathsf{2 \ \cdot \ n \ = \ 6}[/tex3] meninos ([tex3]\mathsf{n \ = \ 3}[/tex3] ) na nossa fórmula E também usar [tex3]\mathsf{2 \ \cdot \ n \ = \ 6}[/tex3] meninas ([tex3]\mathsf{n \ = \ 3}[/tex3] ) [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{f \ = \ \underbrace{\dfrac{6!}{2^3 \ \cdot \ 3!}}_{meninos} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{\dfrac{6!}{2^3 \ \cdot \ 3!}}_{meninas}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{f \ = \ \dfrac{6 \ \cdot \ 5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ \cancel{3!}\ \cdot \ 6 \ \cdot \ 5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ \cancel{3!}}{\cancel{3! \ \cdot \ 3!} \ \cdot \ 2^6} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{3 \ \cdot \ 5 \ \cdot \ 3\ \cdot \ 5 \ possibilidades \ favoráveis}}[/tex3]

Logo, a probabilidade [tex3]\mathsf{p}[/tex3] é [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{p \ = \ \dfrac{f}{T} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{p \ = \ \dfrac{\cancel{3} \ \cdot \ \cancel{5} \ \cdot \ \cancel{3} \ \cdot \ 5}{3 \ \cdot \ 11 \ \cdot \cancel{5} \ \cdot \ \cancel{9} \ \cdot \ 7}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{p \ = \ \dfrac{5}{231}}}}[/tex3]

Problema 2 (FUVEST - 2018)
Dois atletas correm com velocidades constantes em uma pista retilínea, partindo simultaneamente de extremos opostos, [tex3]\mathsf{A}[/tex3] e [tex3]\mathsf{B}[/tex3] . Um dos corredores parte de [tex3]\mathsf{A}[/tex3] , chega a [tex3]\mathsf{B}[/tex3] e volta para [tex3]\mathsf{A}[/tex3] . O outro corredor parte de [tex3]\mathsf{B}[/tex3] , chega a [tex3]\mathsf{A}[/tex3] e volta para [tex3]\mathsf{B}[/tex3] . Os corredores cruzam-se [tex3]\mathsf{2}[/tex3] vezes, a primeira vez a [tex3]\mathsf{800}[/tex3] metros de A e a segunda vez a [tex3]\mathsf{500}[/tex3] metros de [tex3]\mathsf{B}[/tex3] . O comprimento da pista, em metros, é :

[tex3]\mathsf{a) \ 1000;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{b) \ 1300;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{c) \ 1600;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{d) \ 1900;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{e) \ 2100.}[/tex3]
Resposta

[tex3]\mathsf{d) \ 1900 \ metros}[/tex3]
(OFF : Espero que essa seja uma mais "tranquila" :D )

Última edição: joaopcarv (Qui 12 Abr, 2018 12:55). Total de 2 vezes.


"That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all."
Poli-USP
04/10/2017 Jn S2

Avatar do usuário
leomaxwell
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 564
Registrado em: Ter 11 Jul, 2017 07:30
Última visita: 09-03-19
Agradeceu: 437
Agradeceram: 324
Mar 2018 22 09:10

Re: II Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP

Mensagem não lida por leomaxwell » Qui 22 Mar, 2018 09:10

Solução do Problema 2
Screenshot_226.png
Screenshot_226.png (1.15 KiB) Exibido 1363 vezes
Sejam [tex3]d=[/tex3] distância total da pista
[tex3]a=[/tex3] corredor que parte de A
[tex3]b=[/tex3] corredor que parte de B

No primeiro encontro, [tex3]t_a=t_b\rightarrow \frac{800}{v_a}=\frac{500+d-1300}{v_b}\rightarrow \frac{v_a}{v_b}=\frac{800}{d-800}[/tex3] (i)
No segundo encontro, [tex3]t_{a}'=t_{b}'\rightarrow \frac{d+500}{v_a}=\frac{d+800+(d-1300)}{v_b}\rightarrow \frac{v_a}{v_b}=\frac{d+500}{2d-500}[/tex3] (ii)

De (i) e (ii), vem:

[tex3]\frac{800}{d-800}=\frac{d+500}{2d-500}[/tex3]

Daí, [tex3]d^2-1900d=0\Leftrightarrow d=0 [/tex3] (não convém) ou [tex3]d=1900[/tex3]

Resposta: letra d) 1900m

Problema 3 (Unicamp - 2018)
Sendo [tex3]c[/tex3] um número real, considere a função afim [tex3]f(x)=2x+c[/tex3] , definida para todo número real [tex3]x[/tex3] .
a) Encontre todas as soluções da equação [tex3][f(x)]^3=f(x^3)[/tex3] , para [tex3]c=1[/tex3] .
b) Determine todos os valores de [tex3]c[/tex3] para os quais a função [tex3]g(x)=\log(xf(x)+c)[/tex3] esteja definida para todo número real [tex3]x[/tex3] .
Resposta

a) [tex3]x=0[/tex3] ou [tex3]x=-1[/tex3]
b) [tex3]0< c < 8[/tex3]
Última edição: joaopcarv (Qui 12 Abr, 2018 12:57). Total de 1 vez.
Razão: adicionar barra horizontal


All you touch and all you see is all your life will ever be...

Avatar do usuário
Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 1788
Registrado em: Seg 18 Nov, 2013 22:11
Última visita: 13-11-19
Agradeceu: 354
Agradeceram: 1364
Mar 2018 22 14:17

Re: II Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP

Mensagem não lida por Ittalo25 » Qui 22 Mar, 2018 14:17

solução do problema 3

a)
[tex3][f(x)]^3=f(x^3)[/tex3]
[tex3](2x+1)^3=2x^3+1[/tex3]
[tex3]8x^3+1+12x^2+6x=2x^3+1[/tex3]
[tex3]x^3+2x^2+x=0[/tex3]
[tex3]x\cdot (x+1)^2 =0[/tex3]
[tex3]x \in \{-1,0\}[/tex3]

b)
[tex3]g(x)=\log(xf(x)+c)[/tex3]
Condição de existência:
[tex3]xf(x)+c> 0[/tex3]
[tex3]x\cdot (2x+c)+c> 0[/tex3]
[tex3]2x^2+xc +c> 0[/tex3]

Sendo assim a ordenada do vértice deve ser positiva:

[tex3]-\frac{\Delta }{4\cdot 2} >0[/tex3]
[tex3]-\frac{(c^2-4\cdot 2 \cdot c) }{4\cdot 2} >0[/tex3]
[tex3]c^2-8 c <0[/tex3]
[tex3]0<c <8[/tex3]

Problema 4 (Unicamp - 2018)

Lançando-se determinada moeda tendenciosa, a probabilidade de sair cara é o dobro da probabilidade de sair coroa. Em dois lançamentos dessa moeda, a probabilidade de sair o mesmo resultado é igual a:

a) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{5}{9}[/tex3]
c) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{3}{5}[/tex3]
Resposta

b)
Última edição: joaopcarv (Qui 12 Abr, 2018 12:57). Total de 1 vez.
Razão: adicionar barra horizontal


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Avatar do usuário
Optmistic
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 410
Registrado em: Qua 19 Out, 2016 11:51
Última visita: 26-02-19
Agradeceu: 177
Agradeceram: 220
Mar 2018 22 16:05

Re: II Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP

Mensagem não lida por Optmistic » Qui 22 Mar, 2018 16:05

Olá!

Solução problema 4


Se a moeda é tendenciosa, vamos calcular as probabilidades ...

o total possível é 100 %

vamos colocar em fração do tipo :

100 % = 3/3

assim temos que a probabilidade de sair cara é de 2/3 e de sair coroa é 1/3 .

Então podemos ter que saia 2 caras ou 2 coroas

Para as caras ...

2/3 . 2/3 = 4/9 de possibilidades

Para as coroas ...

1/3 . 1/3 = 1/9 de possibilidades

como temos cara "ou" coroa, significa que devemos somar ...

Assim :

4/9 + 1/9 = 5/9 é a probabilidade.

Letra b)


Problema 5 (Unicamp 2018)

Seja x um número real tal que sen x + cos x = 0,2.

Logo, | sen x − cos x| é igual a:

a) 0,5.
b) 0,8.
c) 1,1.
d) 1,4.
Resposta

D


" A dúvida é o sinônimo do saber ! " :wink:

Avatar do usuário
leomaxwell
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 564
Registrado em: Ter 11 Jul, 2017 07:30
Última visita: 09-03-19
Agradeceu: 437
Agradeceram: 324
Mar 2018 22 20:29

Re: II Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP

Mensagem não lida por leomaxwell » Qui 22 Mar, 2018 20:29

Solução do problema 5
[tex3]\sen x + \cos x =0,2\Rightarrow (\sen x+\cos x)^2=\left(\frac{2}{10}\right)^2=[/tex3]
[tex3]=\underbrace{\sen ^2x+\cos^2 x}_{1}+2\sen x \cos x =\frac{4}{100}\Rightarrow -2\sen x \cos x =\frac{96}{100}[/tex3] (i)

[tex3]|\sen x - \cos x|=\sqrt{(\sen x-\cos x)^2}=\sqrt{\underbrace{\sen ^2x+\cos^2 x}_{1}-2\sen x\cos x }[/tex3] , mas de (i), vem que:
[tex3]|\sen x - \cos x|=\sqrt{1+\frac{96}{100}}=\sqrt{\frac{196}{100}}=\frac{14}{10}\Rightarrow \boxed{|\sen x - \cos x|= 1,4}[/tex3]

Problema 6 (Unicamp 2018)
Seja a função [tex3]h(x)[/tex3] definida para todo número real [tex3]x[/tex3] por
[tex3]h(x)=\begin{cases}
2^{x+1} \ \ \mathsf{se} \ x\leq 1\\
\sqrt{x-1}\ \ \mathsf{se}\ x >1
\end{cases}[/tex3]
Então, [tex3]h(h(h(0)))[/tex3] é igual a:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 8
Resposta

letra c)
Última edição: joaopcarv (Qui 12 Abr, 2018 12:59). Total de 3 vezes.
Razão: adicionar barra horizontal


All you touch and all you see is all your life will ever be...

Avatar do usuário
Autor do Tópico
joaopcarv
3 - Destaque
Mensagens: 359
Registrado em: Ter 18 Out, 2016 21:11
Última visita: 02-11-19
Agradeceu: 534
Agradeceram: 346
Mar 2018 27 11:55

Re: II Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP

Mensagem não lida por joaopcarv » Ter 27 Mar, 2018 11:55

Solução do problema 6

Apenas consideremos as raízes positivas!

Seja [tex3]\mathsf{g \ = \ h(0) \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{g \ = \ \underbrace{2^{(0 \ + \ 1)}}_{x \ \leq \ 1} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{g \ = \ 2}}[/tex3]

Seja [tex3]\mathsf{f \ = \ h(g) \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{f \ = \ \underbrace{\sqrt{2 \ - \ 1}}_{x \ \geq \ 1} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{f \ = \ 1}}[/tex3]

Seja [tex3]\mathsf{e \ = \ h(f) \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{e \ = \ \underbrace{2^{(1 \ + \ 1)}}_{x \ \leq \ 1} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{e \ = \ 4}}} \ \Rrightarrow \ \mathsf{e \ = \ h(h(h(0)))}[/tex3]

Problema 7 (FUVEST - 2004)

Uma matriz [tex3]\mathsf{A}[/tex3] é ortogonal se [tex3]\mathsf{A \ \cdot \ A^t \ = \ \mathbb{I}}[/tex3] , onde [tex3]\mathbb{I}[/tex3] indica a matriz identidade e [tex3]\mathsf{A^t}[/tex3] indica a transposta de [tex3]\mathsf{A.}[/tex3] Se [tex3] \left[\begin{array}{cc}\mathsf{\dfrac{1}{2}}&\mathsf{x}\\\mathsf{y}&\mathsf{z}\\\end{array}\right][/tex3] é ortogonal, então [tex3]\mathsf{x^2 \ + \ y^2}[/tex3] é igual a :

[tex3]\mathsf{a) \ \dfrac{1}{4}; \\
\\
\\
b) \ \dfrac{\sqrt{3}}{4}; \\
\\
\\
c) \ \dfrac{1}{2}; \\
\\
\\
d) \ \dfrac{\sqrt{3}}{2}; \\
\\
\\
e) \ \dfrac{3}{2}}
[/tex3]
Resposta

[tex3]\mathsf{e) \ \dfrac{3}{2}}[/tex3]
Última edição: joaopcarv (Qui 12 Abr, 2018 13:01). Total de 1 vez.
Razão: adicionar barra horizontal


"That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all."
Poli-USP
04/10/2017 Jn S2

Avatar do usuário
Optmistic
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 410
Registrado em: Qua 19 Out, 2016 11:51
Última visita: 26-02-19
Agradeceu: 177
Agradeceram: 220
Mar 2018 27 14:33

Re: II Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP

Mensagem não lida por Optmistic » Ter 27 Mar, 2018 14:33

Solução do problema 7

Olá !

Teremos então :

Se [tex3]\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & x \\
y & z \\
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & y \\
x & z \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Assim temos que :

1/2.1/2 + x.x = 1 ------>1/4 + x² = 1

1/2 .y + x.z = 0 -----> y/2 + xz = 0

y.y + z.z = 1 ------> y² + z² = 1



x² = 1 - 1/4 -----> x² = 3/4

y/2 = - xz -----> y = - xz.2 -------> y = - 2xz

y² + z² = 1 -----> (-2xz)² + z² = 1 -----> 4x²z² + z² = 1 ----->4.(3/4)z² + z² = 1 -----> 3z² + z² = 1 ----> z² = 1/4

y² + z² = 1 ------> y² + 1/4 = 1 -----> y² = 1 - 1/4 -----> y² = 3/4


Agora basta somar ...

x² + y²

3/4 + 3/4 = 6/4 = 3/2

:D

Problema 8 (Unicamp - 2018)

Sejam a e b números reais não nulos. Se o número complexo z = a + bi é uma raiz da equação quadrática

x² + bx + a = 0

então:

a) | Z | = [tex3]\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3] .

b) | Z | = [tex3]\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex3] .

c) | Z | = [tex3]\sqrt{3}[/tex3] .

d) | Z | = [tex3]\sqrt{5}[/tex3] .

Resposta

b
Última edição: joaopcarv (Qui 12 Abr, 2018 13:02). Total de 1 vez.
Razão: adicionar barra horizontal


" A dúvida é o sinônimo do saber ! " :wink:

Avatar do usuário
Autor do Tópico
joaopcarv
3 - Destaque
Mensagens: 359
Registrado em: Ter 18 Out, 2016 21:11
Última visita: 02-11-19
Agradeceu: 534
Agradeceram: 346
Mar 2018 28 10:23

Re: II Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP

Mensagem não lida por joaopcarv » Qua 28 Mar, 2018 10:23

Solução do Problema 8

[tex3]\mathsf{x^2 \ + \ b\cdot x \ + a \ = \ 0}[/tex3] admite raiz [tex3]\mathsf{Z \ = \ a \ + \ b\cdot i}[/tex3] , logo admite como segunda raiz [tex3]\mathsf{\overline{Z} \ = \ a \ - \ b\cdot i}[/tex3] .

Pelas relações de Girard, [tex3]\mathsf{Z \ + \ \overline{Z} \ = \ \dfrac{-b}{\underbrace{1}_{1\cdot x^2}} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{a \ \cancel{+ \ b\cdot i \ - \ b\cdot i} \ + \ a \ = \ -b \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2\cdot a \ = \ - b \ \therefore \ \boxed{\mathsf{b \ = \ - 2\cdot a}}}[/tex3]

Pela relação do produto [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{\underbrace{Z \ \cdot \overline{Z}}_{produto \ notável} \ = \ \dfrac{a}{1} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{(a \ + \ b\cdot i) \ \cdot \ (a \ - \ b\cdot i) \ = \ a \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\underbrace{a^2 \ + \ b^2}_{|Z|^2} \ = \ a \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{a^2 \ + \ (-2 \ \cdot a)^2 \ = \ a \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{a^2 \ + \ 4\cdot a^2 \ = \ a \ \rightarrow \ a \neq \ 0 \ \therefore}[/tex3]

[tex3]\mathsf{5 \ \cdot a^{\cancel{2}} \ = \ \cancel{a} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{a \ = \ \dfrac{1}{5}}}}[/tex3]

Vemos que [tex3]\mathsf{a \ = \ |Z|^2 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\sqrt{a} \ = \ \sqrt{|Z|^2} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{|Z| \ = \ \dfrac{1}{\sqrt{5}}}}}[/tex3]

(Podemos também calcular que [tex3]\mathsf{b \ = \ \dfrac{-2}{5}}[/tex3] e então [tex3]\mathsf{|Z| = \ \sqrt{\bigg(\frac{1}{5}\bigg)^2 \ + \ \bigg(\frac{-2}{5}\bigg)^2} \ \therefore \ \boxed{\boxed{\mathsf{|Z| \ = \ \dfrac{1}{\sqrt{5}}}}}}[/tex3] )

Problema 9

(UNICAMP - 2013) Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de [tex3]\mathsf{740^\circ C.}[/tex3] Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a [tex3]\mathsf{40^\circ C.}[/tex3] Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função

[tex3]\mathsf{T_{(t)} \ = \ (T_0 \ - \ T_{(ar)}) \ \cdot \ 10^{^{\big(\frac{-t}{12}\big)}} + \ T_{(ar)}}[/tex3]

sendo [tex3]\mathsf{t}[/tex3] o tempo em minutos, [tex3]\mathsf{T_0}[/tex3] a temperatura inicial e [tex3]\mathsf{T_{(ar)}}[/tex3] a temperatura do ar. Com essa função, concluímos que o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja [tex3]\mathsf{140^\circ C}[/tex3] é dado pela seguinte expressão, com o [tex3]\mathsf{\log}[/tex3] na base [tex3]\mathsf{10 \ :}[/tex3]

[tex3]\mathsf{a) \ 12 \cdot ( \log \ 7 \ - \ 1) \ min;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{b) \ 12 \cdot (1 \ - \ \log 7) \ min;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{c) \ 12 \cdot \log \ 7 \ \ min;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{d) \dfrac{1 \ - \ \log 7}{12} \ min;}[/tex3]
Resposta

[tex3]\mathsf{Alternativa \ c)}[/tex3]
Última edição: joaopcarv (Qui 12 Abr, 2018 13:03). Total de 1 vez.
Razão: adicionar barra horizontal


"That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all."
Poli-USP
04/10/2017 Jn S2

Avatar do usuário
Optmistic
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 410
Registrado em: Qua 19 Out, 2016 11:51
Última visita: 26-02-19
Agradeceu: 177
Agradeceram: 220
Mar 2018 28 11:14

Re: II Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP

Mensagem não lida por Optmistic » Qua 28 Mar, 2018 11:14

Solução do problema 9

Olá !

Vamos colocar todos estes valores na nossa função :

[tex3]T_{t}=(740 - 40).10^{\frac{-t}{12}}+40[/tex3]

[tex3]T_{t}=700.10^{\frac{-t}{12}}+40[/tex3]

substituindo ...

[tex3]140=700.10^{\frac{-t}{12}}+40[/tex3]

[tex3]140-40=700.10^{\frac{-t}{12}}[/tex3]

[tex3]100 = 700.10^{\frac{-t}{12}}[/tex3]

[tex3]\frac{100}{700}=10^{-t/12}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{7}=10^{-t/12}[/tex3]

[tex3]log\frac{1}{7}=log10^{-t/12}[/tex3]

[tex3]log\frac{1}{7}=-\frac{t}{12}.log10[/tex3]

[tex3]log7^{-1}=-\frac{t}{12}.log10[/tex3]

[tex3]-log7=-\frac{t}{12}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .(-1)[/tex3]

[tex3]log7=\frac{t}{12}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{t=12.log7}}[/tex3]

:D


Problema 10 (Unicamp - 2018)

Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes reais.

Dividindo-se p(x) por q(x), obtêm-se quociente e resto iguais a x² + 1.

Nessas condições, é correto afirmar que:

a) o grau de p(x) é menor que 5.

b) o grau de q(x) é menor que 3.

c) p(x) tem raízes complexas.

d) q(x) tem raízes reais.


Resposta

c)

Última edição: joaopcarv (Qui 12 Abr, 2018 13:05). Total de 2 vezes.


" A dúvida é o sinônimo do saber ! " :wink:

Trancado
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Maratonas de Matemática”