Re: V Maratona de Matemática IME/ITA
Enviado: Ter 04 Out, 2016 15:07
Solução Problema 60
Fatorando a segunda:
[tex3](xy)^2\cdot (x-y)-2xy\cdot (x-y)=6[/tex3]
[tex3](x-y)\cdot [(xy)^2-2xy]=6[/tex3]
Substituindo a primeira:
[tex3](5-xy)\cdot [(xy)^2-2xy]=6[/tex3]
Fazendo [tex3]xy=k:[/tex3]
[tex3]k^3-7k^2+10k+6=0[/tex3]
Se [tex3]x,y\,\in\,\,\mathbb{Z}\,\therefore\,\,k\,\in\,\, \mathbb{Z}[/tex3]
De acordo como teorema das raízes racionais a possíveis raízes serão: [tex3]\pm1,\pm 2,\pm 3,\pm 6[/tex3]
Testando as raízes apenas [tex3]k=3[/tex3] satisfaz.
Logo,
[tex3]\begin{cases}x-y=2\\xy=3\end{cases}[/tex3]
[tex3](x,y)=(3,1);(-1,-3)[/tex3]
Substituindo os pares:
[tex3]\boxed{x^3+y^2+x+y=38\,\,\text{ou}\,\,6}[/tex3]
Letra E
Problema 61
(IME-2014) Descreva o lugar geométrico do número complexo z que atende à equação
[tex3]\arg(z-z_{1})- \arg(z-z_{2})-\arg(z-z_{3})=k\pi ,[/tex3]
em que [tex3]z_{1}[/tex3] é real , [tex3]z_{2}[/tex3] e [tex3]z_{3}[/tex3] são complexos conjugados com parte imaginária não nula e k é um número inteiro.
Obs: arg(z) é o argumento do número complexo z
União da circunferência descrita com o eixo real.
Fatorando a segunda:
[tex3](xy)^2\cdot (x-y)-2xy\cdot (x-y)=6[/tex3]
[tex3](x-y)\cdot [(xy)^2-2xy]=6[/tex3]
Substituindo a primeira:
[tex3](5-xy)\cdot [(xy)^2-2xy]=6[/tex3]
Fazendo [tex3]xy=k:[/tex3]
[tex3]k^3-7k^2+10k+6=0[/tex3]
Se [tex3]x,y\,\in\,\,\mathbb{Z}\,\therefore\,\,k\,\in\,\, \mathbb{Z}[/tex3]
De acordo como teorema das raízes racionais a possíveis raízes serão: [tex3]\pm1,\pm 2,\pm 3,\pm 6[/tex3]
Testando as raízes apenas [tex3]k=3[/tex3] satisfaz.
Logo,
[tex3]\begin{cases}x-y=2\\xy=3\end{cases}[/tex3]
[tex3](x,y)=(3,1);(-1,-3)[/tex3]
Substituindo os pares:
[tex3]\boxed{x^3+y^2+x+y=38\,\,\text{ou}\,\,6}[/tex3]
Letra E
Problema 61
(IME-2014) Descreva o lugar geométrico do número complexo z que atende à equação
[tex3]\arg(z-z_{1})- \arg(z-z_{2})-\arg(z-z_{3})=k\pi ,[/tex3]
em que [tex3]z_{1}[/tex3] é real , [tex3]z_{2}[/tex3] e [tex3]z_{3}[/tex3] são complexos conjugados com parte imaginária não nula e k é um número inteiro.
Obs: arg(z) é o argumento do número complexo z
Resposta
União da circunferência descrita com o eixo real.