Maratonas de MatemáticaV Maratona de Matemática IME/ITA

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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos » Sáb 02 Jul, 2016 11:57

Resolução do Problema 50

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Numa urna são depositadas [tex3]145[/tex3] etiquetas numeradas de [tex3]1 \ a \ 145[/tex3] [tex3]\Rightarrow \ (1,2,3,4,.....,143,144,145)[/tex3] .

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Três etiquetas são sorteadas, sem reposição:

Total de possibilidades:[tex3]\boxed{145.144.143}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Números sorteados serem consecutivos:

[tex3]\boxed{1^o})\rightarrow \ (\boxed{1},2,3)[/tex3]
[tex3]\boxed{2^o})\rightarrow \ (\boxed{2},3,4)[/tex3]
[tex3]\boxed{3^o})\rightarrow \ (\boxed{3},4,5)[/tex3]
[tex3]\boxed{4^o})\rightarrow \ (\boxed{4},5,6)[/tex3]
[tex3]\boxed{5^o})\rightarrow \ (\boxed{5},6,7)[/tex3]
[tex3]6^o)\rightarrow \ (6,7,8)[/tex3]
[tex3]........................[/tex3]
[tex3]139^o)\rightarrow \ (139,140,141)[/tex3]
[tex3]140^o)\rightarrow \ (140,141,142)[/tex3]
[tex3]141^o)\rightarrow \ (141,142,143)[/tex3]
[tex3]142^o)\rightarrow \ (142,143,144)[/tex3]
[tex3]143^o)\rightarrow \ (143,144,145) \Rightarrow \boxed{143 \ casos}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] A probabilidade de os números sorteados serem consecutivos é:

[tex3]P=\frac{143}{145.144.143} \rightarrow \boxed{\boxed{P=\frac{1}{145.144}}} \Longrightarrow Letra:(A)[/tex3]

Resposta: [tex3]A[/tex3]

-----------------------------------------------------------

Problema 51

(CN 1997) Numa cidade, [tex3]28\%[/tex3] das pessoas têm cabelos pretos e [tex3]24\%[/tex3] possuem olhos azuis.Sabendo que [tex3]65\%[/tex3] da população de cabelos pretos têm olhos castanhos e que a população de olhos verdes que tem cabelos pretos é [tex3]10\%[/tex3] do total de pessoas de olhos castanhos e cabelos pretos, qual a porcentagem, do total de pessoas de olhos azuis, que tem os cabelos pretos ?

Obs: Nesta cidade só existem pessoas de olhos azuis, verdes ou castanhos.

[tex3]a) \ 30,25\%[/tex3]
[tex3]b) \ 31,25\%[/tex3]
[tex3]c) \ 32,25\%[/tex3]
[tex3]d) \ 33,25\%[/tex3]
[tex3]e) \ 34,25\%[/tex3]
Resposta

Letra D

Última edição: Marcos (Sáb 02 Jul, 2016 11:57). Total de 3 vezes.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Dom 03 Jul, 2016 01:08

Solução do Problema 51

A porcentagem de pessoas de cabelos pretos e olhos castanhos é [tex3]y= 65 \cdot 0,28 = 18,2[/tex3] %

A porcentagem de pessoas de cabelos pretos e olhos verdes é [tex3]z=10 \cdot 0,182= 1,82[/tex3] %

A porcentagem de pessoas de cabelos pretos e olhos azuis é dada por:

[tex3]x=28-y-z=28-18,2-1,82=7,98[/tex3] %

Total= [tex3]\frac{7,98}{24}=33,25[/tex3] %

________________________________________________________


Probleama 52

(AFA 1996) Uma urna contém bolas numeradas de [tex3]1[/tex3] a [tex3]9[/tex3] . Sorteiam-se, com reposição, duas bolas. A probabilidade de o número da segunda bola ser estritamente menor que o da primeira é:
a)[tex3]\frac{10}{27}[/tex3]
b)[tex3]\frac{4}{9}[/tex3]
c)[tex3]\frac{5}{9}[/tex3]
d)[tex3]\frac{8}{9}[/tex3]

Última edição: brunoafa (Dom 03 Jul, 2016 01:08). Total de 3 vezes.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos » Dom 03 Jul, 2016 12:57

Resolução do Problema 52

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Uma urna contém bolas numeradas de [tex3]1 \ a \ 9[/tex3] [tex3]\Rightarrow \ (1,2,3,4,.....,7,8,9)[/tex3]
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Sorteiam-se, com reposição, duas bolas:

Total de possibilidades:[tex3]\boxed{9.9}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] O número da segunda bola ser estritamente menor que o da primeira é:

[tex3]\rightsquigarrow (1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);(1,7);(1,8);(1,9)\Rightarrow \boxed{nenhum \ caso}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(2,1)};(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(2,7);(2,8);(2,9)\Rightarrow \boxed{1 \ caso}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(3,1);(3,2)};(3,4);(3,5);(3,6);(3,7);(3,8);(3,9)\Rightarrow \boxed{2 \ casos}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(4,1);(4,2);(4,3)};(4,5);(4,6);(4,7);(4,8);(4,9)\Rightarrow \boxed{3 \ casos}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(5,1);(5,2);(5,3);(5,4)};(5,6);(5,7);(5,8);(5,9)\Rightarrow \boxed{4 \ casos}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5)};(6,7);(6,8);(6,9)\Rightarrow \boxed{5 \ casos}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(7,1);(7,2);(7,3);(7,4);(7,5);(7,6)};(7,8);(7,9)\Rightarrow \boxed{6 \ casos}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(8,1);(8,2);(8,3);(8,4);(8,5);(8,6);(8,7)};(8,9)\Rightarrow \boxed{7 \ casos}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(9,1);(9,2);(9,3);(9,4);(9,5);(9,6);(9,7);(9,8)}\Rightarrow \boxed{8 \ casos}[/tex3]

No total, então, temos [tex3]8+7+6+5+4+3+2+1+0=\boxed{36}[/tex3] casos.

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] A probabilidade de o número da segunda bola ser estritamente menor que o da primeira é:

[tex3]P=\frac{36}{9.9} \rightarrow \boxed{\boxed{P=\frac{4}{9}}} \Longrightarrow Letra:(B)[/tex3]

Resposta: [tex3]B[/tex3]

---------------------------------------------------

Problema 53

(CN 1988) A equação do 2º grau [tex3]x^2-2x+m=0 \ , \ m<0,[/tex3] tem raízes [tex3]x_{1} \ e \ x_{2}[/tex3] .Se [tex3]x^{n-2}_{1}+x^{n-2}_{2}=a[/tex3] e [tex3]x^{n-1}_{1}+x^{n-1}_{2}=b[/tex3] , então [tex3]x^{n}_{1}+x^{n}_{2}[/tex3] é igual a:

[tex3]a) \ 2a+mb[/tex3]
[tex3]b) \ 2b-ma[/tex3]
[tex3]c) \ ma+2b[/tex3]
[tex3]d) \ ma-2b[/tex3]
[tex3]e) \ m(a-2b)[/tex3]
Resposta

Letra C
Última edição: Marcos (Dom 03 Jul, 2016 12:57). Total de 3 vezes.


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Jul 2016 03 14:21

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Dom 03 Jul, 2016 14:21

Solução do Problema 53

Relações de Newton para polinômios:

[tex3]Sn- 2 \cdot S_{n-1}+ m \cdot S_{n-2}=0 \\ \\
S_{n-2}=a \ \ S_{n-1}=b \\ \\

S_{n}=x_{1}^n+x_{2}^2= \boxed{\ ma+2b}[/tex3]

Putz, essa prova é sugada hein! E olha que é para ingresso no ensino médio, vish.

_________________________________________________________________________

Problema 54

(AFA 2006) Assinale a alternativa INCORRETA:

a) O conjunto solução da inequação ([tex3]2-\sqrt3)^{x}>-1 \in \mathbb{R}[/tex3]
b) O número real que satisfaz a sentença [tex3](3^{\sqrt{x}-2})^2=5^{2-\sqrt{x}}[/tex3] é divisor de [tex3]1024[/tex3] .
c) A função exponencial definida por [tex3]f(x)=-(a-4)^x[/tex3] é decrescente se [tex3]4<a<5[/tex3]
d) Se [tex3]y=10^x[/tex3] é um número entre [tex3]10.000[/tex3] e [tex3]100.000[/tex3] , então [tex3]x[/tex3] está entre [tex3]4[/tex3] e [tex3]6[/tex3]
Resposta

Letra C
Última edição: brunoafa (Dom 03 Jul, 2016 14:21). Total de 3 vezes.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Qui 07 Jul, 2016 15:33

Resolução do Problema 54

[tex3]\rightarrow (2-\sqrt3)^{x}>-1 \in \mathbb{R} \\ \\
\sqrt3 \approx 1,7 \\ \\

(0,26)^{x}> -1 , \forall x \in \mathbb{R} \ \ \ (V) \\ \\ \\


\rightarrow (3^{\sqrt{x}-2})^2=5^{2-\sqrt{x}} \\ \\
(2\sqrt{x}-4)\log 3=(2-\sqrt{x})\log5 \\ \\
-4\log3-2\log5+2\sqrt{x}\log3+\sqrt{x}\log5=0 \\ \\
\log45\sqrt{x}-2\log45=0 \\ \\
\log45(\sqrt{x}-2)=0 \\ \\
(\sqrt{x}=2) \ \boxed{x=4} \ \ \ (V) \\ \\ \\

f(x)=-(a-4)^x \ \ (4<a<5) \\ \\
\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}<0 \ \ -f(x) \rightarrow \frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}>0 \ \ \ (F) \\ \\ \\

y=10^x \\ \\
x=4 \rightarrow y = 10.000 \\ \\
x=5 \rightarrow y=100.000 \ \ \ (V)[/tex3]

_____________________________________________________________

Problema 55

(AFA 2010) Numa sala de aula, estão presentes [tex3]5[/tex3] alunos e [tex3]6[/tex3] alunas. Para uma determinada atividade, o professor deverá escolher um grupo de [tex3]3[/tex3] dessas alunas e [tex3]3[/tex3] dos alunos. Em seguida, os escolhidos serão dispostos em um círculo de tal forma que os alunos do mesmo sexo não fiquem lado a lado. Isso poderá ocorrer de n maneiras distintas. O número [tex3]n[/tex3] é igual a:
a)[tex3]24.000[/tex3]
b)[tex3]2.400[/tex3]
c)[tex3]400[/tex3]
d)[tex3]200[/tex3]
Resposta

Letra B
Última edição: brunoafa (Qui 07 Jul, 2016 15:33). Total de 3 vezes.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Seg 11 Jul, 2016 20:10

Po, vamos movimentar essa Maratona!

Resolução do Problema 55

Número de maneiras de escolher os alunos:

[tex3]C_{5}^{3} \cdot C_{6}^{3}=200[/tex3]

Fixando as alunas o número de maneiras de dispor os alunos na roda é [tex3]2![/tex3] Permutando as alunas serão [tex3]3[/tex3] !
[tex3]2! \cdot 3! = 12[/tex3] maneiras

Total
[tex3]12 \cdot 200 = 2400[/tex3]


_________________________________________________________

Problema 56

(ITA 75) A expressão [tex3]1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+...[/tex3] vale:

a) [tex3]4[/tex3]
b) [tex3]\frac{9}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{7}{2}[/tex3]
d) [tex3]3,8[/tex3]
e) nda
Resposta

Sem gabarito
Última edição: brunoafa (Seg 11 Jul, 2016 20:10). Total de 3 vezes.


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Jul 2016 11 21:59

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por undefinied3 » Seg 11 Jul, 2016 21:59

Resolução do Problema 56

[tex3]S=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+...[/tex3]
[tex3]\frac{S}{2}= \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+...[/tex3]
Subtraindo:
[tex3]\frac{S}{2}=1+\frac{2-1}{2}+\frac{3-2}{4}+\frac{4-3}{8}+...[/tex3]
[tex3]\frac{S}{2}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...[/tex3]
[tex3]\frac{S}{2}=2[/tex3]
[tex3]\therefore S=4[/tex3]
Letra A.
_________________________________________________________

Problema 57

(ITA - 2008) Sejam [tex3]\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}[/tex3] . Considere o polinômio [tex3]p(x)[/tex3] dado por [tex3]x^5-9x^4+(\alpha-\beta-2\gamma)x^3+(\alpha+2\beta+2\gamma-2)x^2+(\alpha-\beta-\gamma+1)x+(2\alpha+\beta+\gamma+1)[/tex3]
Encontre os valores de [tex3]\alpha, \beta, \gamma[/tex3] de modo que [tex3]x=0[/tex3] seja uma raiz com multiplicidade 3 de [tex3]p(x)[/tex3]
Resposta

[tex3]\begin{cases}
\alpha=0 \\
\beta=1-\gamma \\
\gamma \neq 1
\end{cases}[/tex3]
Última edição: undefinied3 (Seg 11 Jul, 2016 21:59). Total de 3 vezes.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Seg 11 Jul, 2016 23:11

Resolução do Problema 57

A condição para que o polinômio tenha multiplicidade três é que o grau minímo seja [tex3]3[/tex3] (ah vá!). Portanto:

[tex3]\alpha-\beta-2\gamma \neq 0[/tex3]

"Abaixando o grau" por Briot Ruffini chegamos ao seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
\alpha-\beta-2\gamma \neq 0 \\
\alpha+2\beta+2\gamma-2=0 \\
\alpha-\beta-\gamma+1=0\\
2\alpha+\beta+\gamma+1=0
\end{cases}

\rightarrow \begin{cases} \gamma \neq 1 \\ \beta=1-\gamma \\ \alpha=0 \end{cases}[/tex3]

________________________________________________________

Problema 58

(IME 94) Considere os números complexos [tex3]z=x+yi[/tex3] e [tex3]w=y-xi[/tex3] , cujos módulos são tais que |[tex3]z|=e^{|w| \cdot \frac{\sqrt3}{x}}[/tex3] e [tex3]|w|=e^{|z| \cdot \frac{1}{y}}[/tex3] , onde [tex3]e[/tex3] é a base dos logaritmos neperianos. Obtenha a forma polar de [tex3]z^2[/tex3] .
Resposta

[tex3]e^{\pm 4}\cdot cis(\frac{\pi}{3})[/tex3]
Última edição: brunoafa (Seg 11 Jul, 2016 23:11). Total de 3 vezes.


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Ago 2016 04 00:35

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Qui 04 Ago, 2016 00:35

Resolução do Problema 58

Lembrando que:
Se [tex3]z=a+bi[/tex3]
[tex3]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]
[tex3]\overline{z}=a-bi[/tex3] e
[tex3]e^{ix}=\cos x + i \sin x[/tex3]


[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]z[/tex3] e [tex3]w[/tex3] possuem módulos iguais

[tex3]e^{|w| \cdot \frac{\sqrt3}{x}}=e^{|z| \cdot \frac{1}{y}} \\ \\
\rightarrow \boxed{x=y\sqrt3}[/tex3]

[tex3]|z|=|w| = \sqrt{3y^2+y^2}=2|y| \\ \\
2|y|= e^{\frac{2|y|}{y}}[/tex3]

[tex3]\pm2y=e^{\pm2} \\ \\ \rightarrow
y=\pm \frac{e^{\pm2}}{2}, x=\pm \frac{e^{\pm2\sqrt3}}{2} \\ \\

z=\pm e^{\pm2 \left( \frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i \right)}[/tex3]

[tex3]\boxed{e^{\pm 4}\cdot \cis\left(\frac{\pi}{3}\right)}[/tex3]

_________________________________________________________


Problema 59
(ITA) Sobre uma mesa estão dispostos [tex3]5[/tex3] livros de história, [tex3]4[/tex3] de biologia e [tex3]2[/tex3] de espanhol. Determine a probabilidade de os livros serem empilhados sobre a mesa de tal forma que aqueles que tratam do mesmo assunto estejam juntos.
Resposta

[tex3]p=\frac{1}{1155}[/tex3]
Última edição: brunoafa (Qui 04 Ago, 2016 00:35). Total de 4 vezes.


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Ago 2016 06 20:23

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Sáb 06 Ago, 2016 20:23

Resolução do Problema 59

Se ninguém vai participar mais da Maratona vou tocar sozinho. Já sou meio autista mesmo kkkkkkkk

[tex3]p=\frac{3! \cdot 5! \cdot 4! \cdot 2!}{11!}=\boxed{\frac{1}{1155}}[/tex3]

_______________________________________________

Problema 60

(IME 2010) Considere o sistema

[tex3]\begin{cases}xy+x-y=5 \\ x^3y^2-x^2y^3-2x^2y+2xy^2=6\end{cases}[/tex3]

onde [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são números inteiros.

O valor de [tex3]x^3+y^2+y[/tex3] é:

a) [tex3]14[/tex3]
b) [tex3]18[/tex3]
c) [tex3]20[/tex3]
d) [tex3]32[/tex3]
e) [tex3]38[/tex3]
Resposta

Letra d

Última edição: brunoafa (Sáb 06 Ago, 2016 20:23). Total de 4 vezes.


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