Maratonas de MatemáticaV Maratona de Matemática IME/ITA

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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por undefinied3 » Ter 21 Jun, 2016 21:39

Solução do problema 40:

Generalizando os termos da soma, temos:
[tex3]\sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)}[/tex3]
Separando o produto no denominador em uma soma de duas frações:
[tex3]\frac{1}{(3i-2)(3i+1)}=\frac{A}{3i-2}+\frac{B}{3i+1}[/tex3]
[tex3]1=A(3i+1)+B(3i-2)[/tex3]
[tex3]1=3Ai+A+3Bi-2B[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
3A+3B=0 \\
A-2B=1
\end{cases} \rightarrow
\begin{cases}
A+B=0 \\
A-2B=1
\end{cases}[/tex3]
[tex3]A=\frac{1}{3}[/tex3] e [tex3]B=-\frac{1}{3}[/tex3]
Então podemos reescrever a soma:
[tex3]\sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{3(3i-2)}-\frac{1}{3(3i+1)}=\frac{1}{3}.\sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{(3i-2)}-\frac{1}{(3i+1)}[/tex3]
Colocando alguns valores para a soma, veja o que ocorre:
[tex3]\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}...[/tex3]
Os termos vão se cancelando. É fácil ver então que
[tex3]\frac{1}{3}.\sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{(3i-2)}-\frac{1}{(3i+1)}=\frac{1}{3}.\left ( \frac{1}{1}-\frac{1}{3.1000+1} \right ) = \frac{1}{3} \left ( \frac{3000}{3001} \right ) = \frac{1000}{3001}[/tex3]

________________________________________________________________

Problema 41:

(IME – 2006) Considere o polinômio [tex3]P(x) = x^5 - 3x^4 - 3x^3 + 27x^2 - 44x + 30[/tex3] . Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a [tex3]3 - i[/tex3] e que as partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não – nulas, calcule todas as raízes do polinômio.
Resposta

[tex3]S=\{ -3,(1-i),(1+i),(2-i),(2+i) \}[/tex3]

Última edição: undefinied3 (Ter 21 Jun, 2016 21:39). Total de 2 vezes.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Qua 22 Jun, 2016 18:59

Solução do Problema 41:

Como as raízes complexas só aparecem aos pares e o grau do polinômio é ímpar, existe pelo menos uma raíz real [tex3]k[/tex3] . O enunciado não diz nada sobre a multiplicidade, então vamos supor que existam raízes complexas [tex3]z[/tex3] e [tex3]w[/tex3] e suas conjugadas [tex3]\overline{z}[/tex3] e [tex3]\overline{w}[/tex3] .

[tex3]z \cdot w = (3-i) \\ \\ \overline{z} \cdot \overline{w} = (3+i) \\ \\

\rightarrow z \cdot w \cdot \overline{z} \cdot \overline {w} =(3-i)(3+i)=10[/tex3]

Das relações de Girard:

[tex3]\rightarrow z \cdot w \cdot \overline{z} \cdot \overline {w} \cdot k = -30 \rightarrow \boxed{k=-3}[/tex3]

Abaixando o grau do polinômio por Briot Ruffini chegamos em:

[tex3]q(x)=x^4-6x^3+16x^2-18x+10[/tex3]

Com raízes, [tex3]z, w, \overline{z}, \overline{w}[/tex3] .

[tex3]\begin{cases}z+\overline{z}+w+\overline{w}=6 \\
z\overline{z}+zw+z\overline{w}+w\overline{w}=15\end{cases} \\ \\

\\

\begin{cases}Re(z)+Re(w)=3 \\
(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=9 =|z+w|^2 \end{cases}
\\ \\ \\
\begin{cases}z+w=3 \\
zw=3-i \end{cases}[/tex3]

[tex3]\boxed{z_{1}=(1-i),z_{2}=(1+i),w_{1}=(2+i),w_{2}=(2-i),3}[/tex3]

______________________________________________________________________________

Problema 42:

(IME 83) Determine a soma de todos os números inteiros que são obtidos permutando-se, sem repetição, os algarismos 1, 2, 3, 4, e 5.
Resposta

3999960

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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por undefinied3 » Qua 22 Jun, 2016 20:16

Solução do problema 42:

Inicialmente, veja que para cada número do tipo "[tex3]abcde[/tex3] " existe o que chamarei de complementar "[tex3](6-a)(6-b)(6-c)(6-d)(6-e)[/tex3] ". Note que não é um produto, mas os algarismos do número. Além disso, esse número é único.
Somando esses dois números, o resultado é sempre [tex3]66666[/tex3] . Permutando os 5 algarismos, obtemos no total [tex3]5!=120[/tex3] números. Como somamos dois a dois (um número com seu complementar), realizamos 60 somas, e portanto a resposta pedida é [tex3]60.66666=3999960[/tex3]

________________________________________________________________

Problema 43:

(IME) Dado o quadrilatero ABCD , inscrito num circulo de raio r, conforme a figura abaixo, prove que
[tex3]\frac{AC}{BD}=\frac{AB.AD+BC.CD}{AB.BC+CD.AD}[/tex3]
Screenshot_1.png
Screenshot_1.png (23.49 KiB) Exibido 1015 vezes
Resposta

Demonstração
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos » Qua 22 Jun, 2016 21:53

Solução do problema 43:
IME.png
IME.png (9.32 KiB) Exibido 1012 vezes
Observe que [tex3]T[/tex3] e [tex3]U[/tex3] são pontos sobre a circunferência circunscrita ao quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] tais que [tex3]\widehat{AT}=\widehat{CD}[/tex3] e [tex3]\widehat{DU}=\widehat{AB}[/tex3] .
Logo, [tex3]AT=CD, \ DU=AB, \ BT=CU \ e \ TC=BU=AD[/tex3] .
Com isso, aplicando o Teorema de Ptolomeu nos quadriláteros [tex3]TABC[/tex3] e [tex3]UBCD[/tex3] temos:

[tex3]BT\cdot AC=AB\cdot TC+BC\cdot AT \ (i)[/tex3]
[tex3]CU\cdot BD=DU\cdot BC+CD\cdot BU \ (ii)[/tex3]
Dividindo [tex3](i)[/tex3] por [tex3](ii)[/tex3] , obtemos

[tex3]\frac{BT.AC}{CU.BD}=\frac{AB.TC+BC.AT}{DU.BC+CD.BU}[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel{BT}.AC}{\cancel{CU}.BD}=\frac{AB.TC+BC.AT}{DU.BC+CD.BU}[/tex3]
[tex3]\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+CD\cdot AD} \ (c.q.d)[/tex3]

------------------------------------------------------

Problema 44:

(ITA 1990) Há muito tempo atrás, quando poucas pessoas eram versadas na arte de contar, houve uma grande tempestade no oceano. Um navio, colhido pelo tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois marinheiros. Terminada a borrasca, o capitão, decidido a recompensar seus dois comandados pelo serviço bem executado, anunciou que dividiria entre eles no dia seguinte o conteúdo de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo encarregado o seu imediato desta tarefa. Acontece que os dois marinheiros eram muito amigos e, querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um deles teve a idéia na madrugada de pegar a sua parte do prêmio. Indo ao baú, este marinheiro separou as moedas em dois grupos idênticos e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, jogou-a ao mar para agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou a parte que lhe cabia. Porém, mais tarde o segundo marinheiro teve exatamente a mesma idéia. Indo ao baú, ele separou as moedas em dois montes iguais e, para surpresa sua, sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como agradecimento pela sua sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa. Pela manhã os dois marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o procedimento noturno. Assim, o imediato separou as moedas em dois grupos e verificou que sobrava uma. Deu a cada marinheiro a sua parte do prêmio e tomou para si a moeda restante como paga pelos seus cálculos. Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo primeiro e pelo segundo marinheiros foi de [tex3]\frac{29}{17}[/tex3] então o número de moedas que havia originalmente no baú era:

a) 99
b) 95
c) 135
d) 87
e) n.d.a.
Resposta

Letra B
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Jun 2016 26 16:55

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Dom 26 Jun, 2016 16:55

Solução do Problema 44:

O número de moedas é ímpar e pode ser representado por [tex3]2n+1[/tex3] . O primeiro marinheiro ficou com [tex3]n[/tex3] moedas, e sendo [tex3]n[/tex3] ímpar podemos escrever que [tex3]n=k+1[/tex3] .

O segundo marinheiro ficou com [tex3]k[/tex3] moedas, que também é um número ímpar e pode ser escrito como [tex3]k=\ell+1[/tex3] .

[tex3]\frac{n+\ell}{k+\ell}=\frac{29}{17} \rightarrow \frac{5\ell+3}{3\ell+1}=\frac{29}{17} \rightarrow \boxed{\ell= 11} \\ \\ \\

n=4 \cdot 11 + 3 = 47 \rightarrow 2n+1= \boxed{95}[/tex3]
Resposta

Tentei fazer de outra forma dividindo e subtraindo de uma quantidade [tex3]x[/tex3] mas cheguei a [tex3]96[/tex3] , não sei o que fiz de errado.
_____________________________________________________________________


Problema 45:

(IME) Calcule o determinante da matriz [tex3]n\times n[/tex3] que possui zeros na diagonal principal e todos os outros elementos iguais a [tex3]1[/tex3] .
Resposta

[tex3]D_{n}=(-1)^{n-1} \cdot (n-1)[/tex3]
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Jun 2016 30 00:35

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Qui 30 Jun, 2016 00:35

Resolução do Problema 45:

[tex3]A{nxn}= \det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \ldots & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \ldots & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \ldots & 1 & 1 \\
: & : & : & : & : \\
1 & 1 & 1 & 1 \ldots 1 & 1 & 0\end{pmatrix} \\ \\ \\

\boxed{\rightarrow L_{i}= L{i}-L_{n}, 1\leq i < n} \\ \\ \\ \\ \\

\rightarrow det \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \ldots & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 & 0 \ldots & 0 & 1 \\
0 & -0 & -1 & 0 \ldots & 0 & 1 \\
: & : & : & : & : \\
1 & 1 & 1 & 1 \ldots & 1 & (n-1) \end{pmatrix} \\ \\ \\
\\ \\ \\

\boxed{\det= (-1)^{n-1}\cdot(n-1)}[/tex3]

_____________________________________________________


Problema 46: (ITA 2003) Considere o conjunto [tex3]S=\{{(a,b) \in \mathbb{N} \ast \mathbb{N}: a+b=18}\}.[/tex3] A soma de todos os números da forma [tex3]\frac{18!}{a!\cdot b!}, \forall (a,b) \in S[/tex3] , é:


a)[tex3]8^6[/tex3]
b)[tex3]9![/tex3]
c)[tex3]9^6[/tex3]
d)[tex3]12^6[/tex3]
e)[tex3]12![/tex3]
Resposta

Letra A
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Jun 2016 30 16:11

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos » Qui 30 Jun, 2016 16:11

Resolução do Problema 46:

[tex3]\blacktriangleright S=\{{(a,b) \in \mathbb{N} \ast \mathbb{N}: a+b=18}\}=[/tex3]
[tex3]={(0;18),(1;17),(2;16),(3;15),....,(18;0)}[/tex3] .

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] A soma de todos os números da forma [tex3]\frac{18!}{a!\cdot b!}, \forall (a,b) \in S[/tex3] é:
[tex3]\frac{18!}{0!18!}+\frac{18!}{1!17!}+\frac{18!}{2!16!}+\frac{18!}{3!15!}+......+\frac{18!}{18!0!}=[/tex3]
[tex3]=\begin{pmatrix}18 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}18 \\ 1 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}18 \\ 2 \\ \end{pmatrix}+...........\begin{pmatrix}18 \\ 18 \\ \end{pmatrix}=2^{18}=\boxed{\boxed{8^{6}}}\Longrightarrow Letra:(A)[/tex3]

Resposta: [tex3]A[/tex3]

--------------------------------------------------------------------

Problema 47:

(ITA 1968) Num relógio, o ponteiro dos minutos se superpõe ao ponteiro das horas exatamente às:

a) [tex3]6h \ e \ \frac{355}{11} \ min[/tex3]
b) [tex3]6h \ e \ \frac{358}{11} \ min[/tex3]
c) [tex3]6h \ e \ \frac{360}{11} \ min[/tex3]
d) [tex3]6h \ e \ \frac{365}{11} \ min[/tex3]
e) [tex3]\text{Nada disso}[/tex3]
Resposta

Letra C
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Sex 01 Jul, 2016 16:36

Tem certeza que esse problema é de matemática? AHA

Solução do Problema 47

Movimento angular uniforme:

[tex3]\phi =\phi _{0}+\omega \cdot t[/tex3]

Ponteiro dos minutos:

[tex3]\omega = \frac{2\pi}{60}[/tex3]

Ponteiro das horas:

[tex3]\omega = \frac{2\pi}{720}[/tex3]

[tex3]\phi = \phi ' \\ \\
\frac{2\pi}{60}t = \pi + \frac{2\pi}{720}t \\ \\

\boxed{t=\frac{360}{11}}[/tex3]


(Deve ter uma forma de fazer matematicamente usando trigonometria)

_________________________________________________

Problema 48

(AFA 2016) Considere a região E do plano cartesiano dada por

[tex3]E= \begin{cases}\frac{y}{3}+\frac{x}{3} \leq 1 \\ \\
y+x \geq 1 \\ \\
x \geq 0 \\ \\
y \geq 0 \end{cases}[/tex3]
O volume do sólido gerado, se E efetuar uma rotação de [tex3]270[/tex3] º em torno do eixo Ox em unidades de volume é igual a

a)[tex3]\frac{26\pi}{3}[/tex3]
b)[tex3]26\pi[/tex3]
c)[tex3]\frac{13\pi}{2}[/tex3]
d)[tex3]\frac{13\pi}{3}[/tex3]
Resposta

Letra C
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Jul 2016 01 18:37

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos » Sex 01 Jul, 2016 18:37

Resolução do Problema 48

Desenhando a região do plano: [tex3]E= \begin{cases}\frac{y}{3}+\frac{x}{3} \leq 1 \\ \\y+x \geq 1 \\ \\ x \geq 0 \\ \\y \geq 0 \end{cases}[/tex3]
UTOPIA.png
UTOPIA.png (2 KiB) Exibido 982 vezes
Ao rotacionar, temos uma figura semelhante a [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] de um cone de altura [tex3]3[/tex3] e raio da base [tex3]3[/tex3] e [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] de um cone de altura [tex3]1[/tex3] e raio da base [tex3]1[/tex3] .A região gerada pela rotação de [tex3]E[/tex3] fica assim:
UTOPIA.png
UTOPIA.png (5.77 KiB) Exibido 982 vezes
Logo, o volume será:

[tex3]V=\frac{3}{4}.\frac{1}{3}\left(\pi.3^2.3-\pi.1^2.1\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{V=\frac{13\pi }{2}}} \Longrightarrow Letra:(C)[/tex3]

Resposta: [tex3]C[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 49

(EN 1991) Escrevem-se os inteiros positivos em ordem crescente [tex3]12345678910111213.........[/tex3] .O [tex3]1991^o[/tex3] algarismo escrito é:

[tex3]a) \ 0[/tex3]
[tex3]b) \ 1[/tex3]
[tex3]c) \ 3[/tex3]
[tex3]d) \ 5[/tex3]
[tex3]e) \ 4[/tex3]
Resposta

Letra A
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Jul 2016 01 22:35

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Sex 01 Jul, 2016 22:35

Solução do Problema 49

Créditos ao professor Caju.

Vamos separar a contagem em intervalos com números contendo a mesa quantidade de algarismos, ou seja, primeiro os de [tex3]1[/tex3] algarismo, depois os de [tex3]2[/tex3] e por fim os de [tex3]3[/tex3] (deve ser suficiente):

[tex3]1[/tex3] algarismo: [tex3]1->9 = 9[/tex3] números = [tex3]9[/tex3] algarismos
[tex3]2[/tex3] algarismos: [tex3]10 -> 99 = 90[/tex3] números = [tex3]90 \cdot 2[/tex3] = 180 algarismos

Ao escrevermos o número [tex3]99[/tex3] já teremos escrito [tex3]180 + 9 = 189[/tex3] algarismos. O exercício pede o de posição [tex3]1991[/tex3] , portanto, falta-nos [tex3]1991 - 189 = 1802[/tex3] algarismos.
Vamos então entrar nos números de [tex3]3[/tex3] algarismos aos poucos:

[tex3]100 -> 699 = 600[/tex3] números = [tex3]600 \cdot 3 = 1800[/tex3] algarismos

Ou seja, ao escrever o numeral pedido até o número [tex3]699[/tex3] já teremos escrito [tex3]1800 + 189 = 1989[/tex3] algarismos, faltando-nos apenas mais dois algarismos. Sendo assim, podemos escrever o início e o final do numeral pedido:

[tex3]1234567891011121314...69869970[/tex3]

O que nos leva à alternativa letra "A".

--------------------------------------------------------------------------------

Problema 50

(AFA 1996) Numa urna são depositadas 145 etiquetas numeradas de 1 a 45. Três etiquetas são sorteadas, sem reposição. A probabilidade de os números sorteados serem consecutivos é:

a) [tex3]\frac{1}{145\cdot 144}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{145\cdot 144 \cdot 143}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{24\cdot 145}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{72\cdot 145 \cdot 143}[/tex3]

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