Maratonas de MatemáticaV Maratona de Matemática IME/ITA

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Jun 2016 12 17:37

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Dom 12 Jun, 2016 17:37

Solução do Problema 30:

Lembrando que [tex3](a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3[/tex3]

[tex3]\sqrt{9+\frac{125}{7}}=a[/tex3]

[tex3]x^3=\left(\sqrt[3]{(3+a)}-\sqrt[3]{(-3+a)}\right)^3[/tex3]

[tex3]x^3=(3+a)-3\sqrt[3]{(3+a)^2(-3-a)}+3\sqrt[3]{(3+a)(-3+a)^2}-(-3+a)[/tex3]

[tex3]x^3=6-3{\sqrt[3]{(3+a)(-3-a)}}\underbrace{\left(\sqrt[3]{(3+a)}-\sqrt[3]{(-3-a)} \right)}_{\text{x}}[/tex3]

[tex3]x^3=6-3\sqrt[3]{\frac{125}{27}}x[/tex3]

[tex3]x^3=6-5x \rightarrow \ \ x^3+5x-6=0[/tex3]

[tex3](x-1)(x^2+x+6)=0[/tex3]

[tex3]x=\left\{1,\,\frac{-1\pm \sqrt{-23} }{2}\right\} \rightarrow x \in \mathbb{R} \rightarrow \boxed{x=1}[/tex3]

____________________________________________________


Problema 31

(IME 1986) Determine o valor de [tex3]\log_{\sqrt{0,333...}}\sqrt{0,037037...}[/tex3]
Resposta

3

Última edição: brunoafa (Dom 12 Jun, 2016 17:37). Total de 2 vezes.


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Jun 2016 12 21:02

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos » Dom 12 Jun, 2016 21:02

Solução do Problema 31:

[tex3]\rightsquigarrow[/tex3] [tex3]i) \ \sqrt{0,33333......}=\sqrt{\frac{3}{9}}=\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow[/tex3] [tex3]ii) \ \sqrt{0,03703703703......}=\sqrt{\frac{037}{999}}=\sqrt{\frac{37}{3\cdot 9\cdot 37}}=\boxed{\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}[/tex3]

Usando [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] , no enunciado, obtemos:

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] [tex3]\log_{\sqrt{0,333...}}\sqrt{0,037037...}=\log_{\frac{\sqrt{3} }{3}}\left(\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\right)=[/tex3]

[tex3]=\log_{\frac{\sqrt{3}}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)+\log_{\frac{\sqrt{3}}{3}}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=[/tex3]

[tex3]=\log_{{3^{\frac{-1}{2}}}}\left({3^{-1}}\right)+1=(-2)\cdot \log_{3}\left({3^{-1}}\right)+1=(-2)\cdot (-1)\cdot \log_{3}\left({3}\right)+1=\boxed{\boxed{3}}[/tex3]

Resposta: [tex3]3[/tex3]

--------------------------------------------------

Problema 32

(ITA 2016) Considere as seguintes afirmações:

I. A função [tex3]f(x)=\log_{10}\left(\dfrac{x-1}{x}\right)[/tex3] é estritamente crescente no intervalo [tex3]]1,+\infty[[/tex3] .
II. A equação [tex3]2^{x+2}=3^{x-1}[/tex3] possui única solução real.
III. A equação [tex3](x+1)^x=x[/tex3] admite pelo menos uma solução real positiva.

É (são) verdadeira(s)

a) Apenas I.
b) Apenas I e II.
c) Apenas II e III.
d) I,II e III.
e) Apenas III.
Resposta

Resposta: B

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Jun 2016 15 17:45

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos » Qua 15 Jun, 2016 17:45

Solução do Problema 32:

[tex3]I) \ (V)[/tex3] Se [tex3]f_{(x)}>f_{(y)}[/tex3] :

[tex3]\log\left(\frac{x-1}{x}\right)>\log\left(\frac{y-1}{y}\right)[/tex3] [tex3]\Rightarrow\log\left(1-\frac{1}{x}\right)>\log\left(1-\frac{1}{y}\right)[/tex3] [tex3]\Rightarrow \ 1-\frac{1}{x}\ > \ 1-\frac{1}{y}[/tex3] [tex3]\Rightarrow \ \frac{1}{y}\ > \ \frac{1}{x}[/tex3]
Como [tex3]x>1[/tex3] e [tex3]y>1[/tex3] [tex3]\Rightarrow \ x>y \ \Rightarrow \ f[/tex3] é estritamente crescente;

[tex3]II) \ (V)[/tex3] Se [tex3]2^{x+2}=3^{x-1} \rightarrow 2^x\cdot 4=\frac{1}{3}\cdot 3^x \rightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{1}{12} \rightarrow \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{12}\right)[/tex3] é a única solução;

[tex3]III) \ (F)[/tex3] Como [tex3]x>0[/tex3] , aplique logaritmo (na base [tex3]10[/tex3] ):

[tex3]\rightsquigarrow x\cdot\log(x+1)=\log(x)[/tex3]

[tex3]\ast[/tex3] Se [tex3]x\in]0,1[[/tex3] : o lado esquerdo é positivo e o direito é negativo, logo não há solução.
[tex3]\ast[/tex3] Se [tex3]x\geq1[/tex3] ; [tex3]x\cdot\log(x+1)\geq \log(x+1)>\log(x)[/tex3] , logo também não há solução.

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] É (são) verdadeira(s) [tex3]\Longrightarrow Letra:(B)[/tex3]

Resposta: [tex3]B[/tex3]

--------------------------------------

Problema 33

(EN 1989) Considere o problema de determinar o triângulo [tex3]ABC[/tex3] , conhecidos [tex3]C=60^o[/tex3] , [tex3]AB=x[/tex3] e [tex3]BC=6[/tex3] .Podemos afirmar que o problema:

a) sempre admite solução, se [tex3]x>0[/tex3]
b) admite duas soluções, se [tex3]x>3[/tex3]
c) admite solução única, se [tex3]x=3[/tex3]
d) admite duas soluções, se [tex3]3\sqrt{3}<x<6[/tex3]
e) não admite solução, se [tex3]x>6[/tex3]
Resposta

Letra D
Última edição: Marcos (Qua 15 Jun, 2016 17:45). Total de 2 vezes.


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Jun 2016 15 23:06

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Qua 15 Jun, 2016 23:06

Solução do Problema 33:

Bom, espero que minha solução esteja certa...
Screen Shot 2016-06-15 at 23.24.32.png
Screen Shot 2016-06-15 at 23.24.32.png (18.45 KiB) Exibido 1191 vezes
Da desigualdade triangular:

[tex3]|AC-6| \leq x \leq |6+AC|[/tex3]

E da lei dos cossenos:

[tex3]x^2=6^2+AC^2+12AC \cos 60 \\ \\

x^2=36+AC^2+6AC \\ \\

AC^2+6AC+(36-x^2)=0

\\ \\ \Delta = \sqrt{b^2-4ac}=36-4(36-x^2) \geq 0 \\ \\

\boxed{3\sqrt2<x<6}[/tex3]

_____________________________________________________________________________________

Problema 34:


(ITA 1992) No desenvolvimento [tex3](x+y)^6[/tex3] , ordenado segundo potências descrescentes de x, a soma do 2º termo com [tex3]\frac{1}{10}[/tex3] do termo de maior coeficiente é igual oito vezes a soma de todos os coeficientes. Se [tex3]x=(2)^{z+1}[/tex3] e [tex3]y={\left(\frac{1}{4}\right)}^{\left(z-\frac{1}{2}\right)}[/tex3] , então:

a) [tex3]z \in [0,1][/tex3]
b)[tex3]z \in (20,50)[/tex3]
c)[tex3]z \in [-\infty,0][/tex3]
d)[tex3]z \in [1,15][/tex3]
e)nda
Resposta

Letra C
Última edição: brunoafa (Qua 15 Jun, 2016 23:06). Total de 2 vezes.


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Jun 2016 18 10:46

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por emanuel9393 » Sáb 18 Jun, 2016 10:46

Solução do problema 34
Temos que:
[tex3](x+y)^6 = {6\choose 0}x^6y^0 + \cdots + {6\choose 6}x^0y^6[/tex3]
Como a soma do segundo termo com [tex3]1/10[/tex3] do termo de maior coeficiente tem que ser igual a oito vezes a soma dos coeficientes, tesmo:
[tex3]{6\choose 1} x^5y + \dfrac{1}{10} {6\choose 3} x^3y^3 = 8 \left[\sum_{i=0}^{6}{6\choose i}\right] \\ \\ \Rightarrow 3x^5y+x^3y^3=256[/tex3]
Como [tex3]x=2^{z+1}[/tex3] e [tex3]y=2^{-2z+1}[/tex3] , temos:
[tex3]3\cdot 2^{5z+5}\cdot 2^{-2z+1} + 2^{3z+3}\cdot 2^{-6z+3}= 256\Rightarrow 3\cdot 2^{3z}+2^{-3z}=256[/tex3]
Fazendo [tex3]2^{3z}=d[/tex3] , essa última equação fica:
[tex3]3d+\dfrac{1}{d}=4 \Rightarrow 3d^2 - 4d +1 = 0 \ \ \ \ (d\neq 0)[/tex3]
Que resolvendo, encontramos:
[tex3]d=1 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ z =0 \\ d=\dfrac{1}{3} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ z = \log_{8}\dfrac{1}{3} < 0[/tex3]
Resposta: C

--------------------------------------------------------

Problema 35
(IME 2016) Seja Z um número complexo tal que [tex3]\dfrac{2Z}{\overline{Z}i}[/tex3] possui argumento igual a [tex3]\dfrac{3\pi}{4}[/tex3] e [tex3]\log_3{(2Z+2\overline{Z}i+1)} = 2[/tex3] . Determine o número complexo de [tex3]Z[/tex3] .
Resposta

Gabarito: [tex3]z=2-2\left(\sqrt 2 + 1\right)i[/tex3]
Última edição: emanuel9393 (Sáb 18 Jun, 2016 10:46). Total de 2 vezes.


As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...

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Jun 2016 18 17:08

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Sáb 18 Jun, 2016 17:08

Solução do Problema 35:

[tex3]z=x+yi \ \ \ \rightarrow\ \ \ \overline{z}=x-yi \\ \\

\frac{2Z}{\overline{Z}i}=\frac{2x+2yi}{y+xi} \cdot \frac{y-xi}{y-xi}=\frac{2xy-2x^2=2y^2i+2xy}{y^2+x^2}=\boxed{\frac{4xy+2(y^2-x^2)i}{y^2+x^2} }
\\ \\

\begin{cases}
Re \left(\frac{2z}{\overline{Z}i} \right) <0 \\
Im \left(\frac{2z}{\overline{Z}i} \right) >0
\end{cases} \\ \\ \\

\tan =\frac{Im}{Re}= \boxed{\frac{4xy}{2(y^2-x^2)} = -1} \ (I) \\ \\

\log_3{(2Z+2\overline{Z}i+1)} = 2 \\ \\
2x+2yi+2x-2yi+1=9 \\ \\
4x=8 \rightarrow \boxed{x=2} \ (II)
\\ \\
(II) \rightarrow (I) \\
8y=2(4-x^2) \\ \\
y^2+4y+4=0 \rightarrow \begin{cases}-2-2\sqrt2 \\ -2+2\sqrt2 \end{cases}
\\ \\
Re \left(\frac{2z}{\overline{Z}i} \right) <0 \rightarrow y^2+x^2>0 \rightarrow \frac{4xy}{y^2+x^2}<0 \rightarrow 4xy<0 \rightarrow \boxed{y<0}

\\ \\

\boxed{Z=2-2(1+\sqrt2)i}[/tex3]
___________________________________________________________________________________________

Problema 36:

(AFA 2006) Num certo dia, a temperatura ambiente era [tex3]40[/tex3] ºC. A água que fervia em uma panela, cinco minutos depois de ter apagado o fogo tinha a temperatura de [tex3]70[/tex3] ºC. Pela lei de resfriamento de Newton, a diferença de temperatura [tex3]D[/tex3] entre um objeto e o meio que o contém é dada por [tex3]D(t)=D_{0} \cdot e^{-\alpha \cdot t}[/tex3] , em que [tex3]D_{0}[/tex3] é a diferença num instante [tex3]t[/tex3] qualquer. Sabendo-se que a temperatura de ebulição da água é de [tex3]100[/tex3] ºC, [tex3]\ln 2= 0,7[/tex3] e [tex3]\ln 5=1,6[/tex3] , pode-se dizer que a água está na temperatura de [tex3]46[/tex3] ºC

a) 10 minutos após o fogo ter sido apagado
b) entre 18 e 20 minutos após o fogo ter sido apagado
c) exatamente 30 minutos após o fogo ter sido apagado
d) aproximadamente 16 minutos após o fogo ter sido apagado
Resposta

Letra A
Última edição: brunoafa (Sáb 18 Jun, 2016 17:08). Total de 2 vezes.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos » Sáb 18 Jun, 2016 19:18

Solução do Problema 36:

Do enunciado:

[tex3]\begin{cases}
30=60\cdot e^{-\alpha\cdot 5} \\
6=60\cdot e^{-\alpha\cdot t}
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
\ln(0,5)=\ln e^{-\alpha\cdot 5} \\
\ln(0,1)=\ln e^{-\alpha\cdot t}
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
-0,7=-\alpha\cdot 5 \\
-(0,7+1,6)=-\alpha\cdot t
\end{cases}\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow 5\cdot \frac{2,3}{0,7}=\boxed{\boxed{t\approx 16 \ min}} \Longrightarrow Letra:(D)[/tex3]

Resposta: [tex3]D[/tex3]

--------------------------------------------------------

Problema 37:

(IME 2004) Demonstre que o número [tex3]\underbrace{111111...1}_{\text{(n-1) alg}}\underbrace{22222...22}_{\text{n alg}}5[/tex3] é um quadrado perfeito.
Resposta

Demonstração
Última edição: Marcos (Sáb 18 Jun, 2016 19:18). Total de 2 vezes.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por undefinied3 » Sáb 18 Jun, 2016 20:52

Solução do problema 37:

Podemos escrever esse número como:
[tex3]N=\underbrace{\frac{10^{n-1}-1}{9}*10^{n+1}}_{\text{algarismos 1}}+ \underbrace{\frac{2(10^n-1)}{9}*10}_{\text{algarismos 2}}+5[/tex3]
[tex3]N=\frac{10^{2n}-10^{n+1}}{9}+\frac{2\cdot 10^{n+1}-2\cdot 10}{9}+\frac{45}{9}[/tex3]
[tex3]N=\frac{10^{2n}+10^{n+1}+25}{9}=\frac{10^{2n}+2\cdot 10^n\cdot 5+5^2}{9}[/tex3]
[tex3]N=\frac{(10^n+5)^2}{9}[/tex3]
[tex3]\therefore N=\left ( \frac{10^n+5}{3} \right )^2[/tex3]

___________________________________________________________________________________________

Problema 38:

(ITA 2005) Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de [tex3]n - 1[/tex3] ângulos (internos) do polígono é 2004°, determine o número n de lados do polígono.
Resposta

n=14
Última edição: undefinied3 (Sáb 18 Jun, 2016 20:52). Total de 2 vezes.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Sáb 18 Jun, 2016 23:20

Solução do Problema 38:

Como o polígono é convexo, cada ângulo interno [tex3]\alpha[/tex3] varia no seguinte intervalo:

[tex3]0<\alpha<180[/tex3] º

[tex3]S_{i}=(n-2) \cdot 180 \\ \\
2004<S_{i}<2004+180 \\ \\
2004<(n-2) \cdot 180<2004+180 \\ \\
(n-2) = 12 \\ \\
\boxed{n=14}[/tex3]

________________________________________________________________

Problema 39:

(IME 86) Mostre que para todo número natural [tex3]n[/tex3] maior ou igual a 2

[tex3]2^{\frac{5n}{4}}<\begin{pmatrix}
2n \\ n
\end{pmatrix}[/tex3]
Última edição: brunoafa (Sáb 18 Jun, 2016 23:20). Total de 2 vezes.


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Jun 2016 21 20:58

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos » Ter 21 Jun, 2016 20:58

Resposta

Observe uma 2º solução para o problema 33:
EN 89.gif
EN 89.gif (6.99 KiB) Exibido 1160 vezes
Os valores de [tex3]AB[/tex3] que possibilitam mais de uma solução são os inteiros entre [tex3]6 \sin 60^o[/tex3] <[tex3]AB[/tex3] <[tex3]6[/tex3] .
[tex3]\rightsquigarrow 6\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)<AB<6[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{\boxed{3\sqrt{3}<AB<6}} \Longrightarrow Letra:(D)[/tex3]
Solução do Problema 39:

Como [tex3]2^{\frac{5}{2}}=\sqrt{32}<\left[\begin{pmatrix}
4 \\
4 \\
\end{pmatrix}=\frac{4!}{2!2!}=6=\sqrt{36}\right][/tex3] a relação do enunciado é válida para [tex3]n=2[/tex3] .

Analisando os lados esquerdo, [tex3]E[/tex3] , e direito [tex3]D[/tex3] , da expressão do enunciado para o caso [tex3](n+1)[/tex3] :

[tex3]\begin{cases}
E=2^{\frac{5(n+1)}{4}}=2^{\frac{5}{4}}2^{\frac{5n}{4}} \\
D=\begin{pmatrix}
2(n+1) \\
(n+1)\\
\end{pmatrix}=\frac{[2(n+1)]!}{(n+1)!(n+1)!}=\frac{2(2n+1)}{(n+1)}\begin{pmatrix}
2n \\
n \\
\end{pmatrix}
\end{cases}[/tex3]

Como, para [tex3]n>1[/tex3] ,
[tex3]\left[2^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{32}\right]<\left[3=\sqrt[4]{81}\right]<\frac{2(2n+1)}{(n+1)}[/tex3] logo, assumindo que a expressão é válida no caso [tex3]n[/tex3] , tem-se que

[tex3]\left[E=2^{\frac{5}{4}}2^{\frac{5n}{4}}\right]<\frac{2(2n+1)}{n+1}2^{\frac{5n}{4}}<\left[\frac{2(2n+1)}{(n+1)}\binom{2n}{n}=D\right][/tex3] e a expressão é também válida no caso [tex3](n + 1)[/tex3] .Assim, por indução finita, a validade da expressão do enunciado fica demonstrada para [tex3]n\geq2[/tex3] . [tex3](c.q.d)[/tex3]

--------------------------------------------------------

Problema 40:

(IME 1996) Calcule a soma abaixo:
[tex3]\frac{1}{1\times4}+\frac{1}{4\times7}+\frac{1}{7\times10}+\frac{1}{10\times13}+........+\frac{1}{2998\times3001}[/tex3]
Resposta

[tex3]\frac{1000}{3001}[/tex3]

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