Maratonas de MatemáticaV Maratona de Matemática IME/ITA

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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa »

Solução do Problema 10:
Screenshot from 2016-06-01 00-38-59.png
Screenshot from 2016-06-01 00-38-59.png (44.65 KiB) Exibido 627 vezes
[tex3]S_{BDF}=\frac{1}{2} S_{ABD}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} S_{ABCD}= \frac{S}{4}[/tex3]

G é baricentro do [tex3]\Delta ABC[/tex3]


[tex3]\rightarrow BG= \frac{2}{3} BO = \frac{1}{3} BD \rightarrow S_{DFG}= \frac{2}{3} S_{BDF} = \frac{2}{3} \cdot \frac{S}{4} = \frac{S}{6} \\ \\ \\

\Delta AFI \simeq \Delta DJI \rightarrow \frac{FD}{DI}=\frac{1}{4} \rightarrow \frac{1}{5} \rightarrow S_{DGI}= \frac{4}{5} \cdot \frac{S}{6} = \frac{2S}{15} \\ \\ \\
S_{DHGI} = 2 \cdot S_{DGI} = \boxed{\frac{4S}{15}}[/tex3]

---------------------------------------------------------------

Problema 11:

(IME 69) Sejam:
I) [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] números reais, [tex3]B \neq 0[/tex3]
II) [tex3]n[/tex3] e [tex3]k[/tex3] inteiros, maiores que zero
III) Para cada [tex3]n[/tex3] , seja [tex3]r_{n}[/tex3] a raiz principal (menor determinação) de índice [tex3]n[/tex3] do número [tex3]i^{4n+1}+i^{4n}[/tex3] .

Admitamos que [tex3]\frac{A \cdot e^{4 \cdot \pi \cdot i}+B \cdot e^{\frac{3 \pi i}{4}}}{r_{n}}=k[/tex3] . Determinar o valor de n[tex3][/tex3] de tal forma que [tex3]\frac{A}{B}[/tex3] seja mínimo.
Resposta

n=1

Última edição: brunoafa (Qua 01 Jun, 2016 01:05). Total de 3 vezes.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa »

Resposta

Primeiro, gostaria de propor uma solução alternativa para o problema 8:
geogebra-export(1).png
geogebra-export(1).png (9.32 KiB) Exibido 615 vezes
Será adotado um sistema cartesiano com centro em [tex3]A[/tex3] e eixos sobre as retas [tex3]AB[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] . Fazendo [tex3]AB=c[/tex3] e [tex3]AC=b[/tex3] , tem-se:
[tex3]A(0,0),B(c,0),C(0,b),D(c,-c),E(0,-c),F(-b,b)[/tex3] e [tex3]G(-b,0)[/tex3]

reta AH: [tex3]y=-\frac{1}{m_{BC}}x \rightarrow y=\frac{c}{b}x[/tex3]

reta BF: [tex3]y-y_{B}=m_{BF}(x-x_{B}) \rightarrow y=-\frac{b}{b+c}(x-c)[/tex3]

reta CD: [tex3]y-y_{C}=m_{CD}(x-x_{C}) \rightarrow y-b=-\frac{b+c}{c}x[/tex3]

Interseção de AH e CD: [tex3]\frac{c}{b}x=b-\frac{b+c}{c}x \rightarrow x \left(\frac{c}{b}+\frac{b+c}{c}\right)=b \rightarrow \\ \\
x=\boxed{\frac{b^2c}{b^2+bc+c^2}} \rightarrow y=\boxed{\frac{bc^2}{b^2+bc+c^2}}[/tex3]

Na equação da reta [tex3]BF[/tex3] [tex3]y=\boxed{\frac{bc^2}{b^2+bc+c^2}}[/tex3]

Deste modo, a reta [tex3]BH[/tex3] passa pelo ponto de interseção das retas [tex3]AH[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] , implicando que estas 3 retas são concorrentes;
Solução do Problema 11:

Fórmula de Euler:

[tex3]e^{i \cdot x}= \cos x + i \cdot \sin x[/tex3]

[tex3]z=i^{4n+1}+i^{4n}=1+i= 2^{\frac{1}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \cdot \sin \frac{\pi}{4}\right)[/tex3]

A raiz principal de z é igual a [tex3]z_{0}^{\frac{1}{n}}=2^{\frac{1}{2n}} \left(\cos \frac{\pi}{4n}+ i \cdot \sin \frac{\pi}{4n}\right)[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
e^{4\pi i}=\cos 4\pi+i\cdot \sin 4\pi=1 \\
e^{\frac{3\pi i}{4}}=\cos (\frac{3 \pi}{4})+i \cdot \sin (\frac{3\pi}{4})=-1+i
\end{cases}[/tex3]

[tex3]k=\frac{A+B\cdot(-1+i)}{2^{\frac{1}{2n}} \left(\cos \frac{\pi}{4n}+ i \cdot \sin \frac{\pi}{4n}\right)}=\frac{[\left(A-B\right)+Bi\left[\cos\frac{\pi}{4n}-i \cdot \sin \frac{\pi}{4n}\right]}{2^\frac{1}{2n}}[/tex3]


Lembrando que: [tex3]\frac{1}{z}=\frac{1}{|z|}\left[\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\right][/tex3]

Uma vez que [tex3]k[/tex3] é inteiro, temos que [tex3]Im(k)=0[/tex3]

[tex3]B \cdot \cos \frac{\pi}{4n}-(A-B)\sin \frac{\pi}{4}=0 \rightarrow \frac{A}{B}=\frac{\cos \frac{\pi}{4n}+\sin\frac{\pi}{4n}}{\sin\frac{\pi}{4n}}=1+\cot\frac{\pi}{4n}[/tex3]

A/B é mínimo quando [tex3]\cot \frac{\pi}{4}[/tex3] é mínimo. Para [tex3]n \in N^{*}[/tex3] temos que [tex3]0<\frac{\pi}{4n}\leq \frac{\pi}{4}[/tex3] . Desde que a função cotangente é decrescente no 1º quadrante trigonométrico, o menor valor de [tex3]\cot\frac{\pi}{4n}[/tex3] ocorre para [tex3]n=1[/tex3] . Logo [tex3]\frac{A}{B}=2[/tex3] e [tex3]k=A[/tex3] .

UFA!

---------------------------------------------------------------

Problema 12:

(IME 2016) Os inteiros [tex3]a_{1},a_{2},a_{3},....,a_{25}[/tex3] estão em PA, com razão não nula. Os termos [tex3]a_{1},a_{2}[/tex3] e [tex3]a_{10}[/tex3] estão em PG assim como [tex3]a_{6},a_{j}[/tex3] e [tex3]a_{25}[/tex3] . Determine [tex3]j[/tex3] .

Última edição: brunoafa (Sáb 04 Jun, 2016 18:02). Total de 3 vezes.


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Marcos
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos »

Solução do Problema 12:

Seja [tex3]'r'[/tex3] a razão da [tex3]P.A.[/tex3] .Como [tex3]a_{1}, \ a_{2}, \ a_{10}[/tex3] estão em [tex3]P.G.[/tex3] .

[tex3]\frac{a_{10}}{a_{2}}=\frac{a_{2}}{a_{1}} \Rightarrow \frac{a_{1}+9r}{a_{1}+r}=\frac{a_{1}+9r}{a_{1}}\Rightarrow 1+\frac{8r}{a_{1}+r}=1+\frac{r}{a_{1}} \Rightarrow \frac{8r}{a_{1}+r}=\frac{r}{a_{1}}[/tex3] e como [tex3]r \ \neq \ 0[/tex3] .

[tex3]r.8a_{1}=(a_{1}+r).r \Rightarrow 8a_{1}=a_{1}+r \Rightarrow \boxed{r=7a_{1}}[/tex3]

Por definição, [tex3]a_{j}=a_{1}+(j-1).r=a_{1}+7.(j-1).a_{1}[/tex3]
[tex3]a_{j}=a_{1}=[7(j-1)+1][/tex3]

Como [tex3]a_{6}, \ a_{j}, \ a_{25}[/tex3] estão em [tex3]P.G.[/tex3] :
[tex3]\frac{a_{25}}{a_{j}}=\frac{a_{j}}{a_{6}} \Rightarrow a_{25}.a_{6}=(a_{j})^2[/tex3]

Note que [tex3]a_{25}=a_{1}+24.7.a_{1}=169.a_{1}[/tex3] e [tex3]a_{6}=a_{1}+5.7.a_{1}=36.a_{1}[/tex3]
[tex3](a_{j})^2=(a_{1})^2.169.36=(a_{1})^2.(6.13)^2[/tex3]
[tex3](a_{1})^2.[7(j-1)+1])^2=(a_{1})^2.(6.13)^2[/tex3]
[tex3]7(j-1)+1=78 \Rightarrow 7(j-1)=77 \Rightarrow j-1=11 \Rightarrow \boxed{j=12}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Determine [tex3]j[/tex3] [tex3]\Longrightarrow \boxed{\boxed{j=12}}[/tex3]

Resposta: [tex3]12[/tex3]

-----------------------------------------------------

Problema 13:

(EN 1990) O [tex3]1989^{o}[/tex3] algarismo depois da vírgula na expansão decimal de [tex3]\frac{5}{39}[/tex3] é:

[tex3]a) \ 0[/tex3]
[tex3]b) \ 1[/tex3]
[tex3]c) \ 2[/tex3]
[tex3]d) \ 5[/tex3]
[tex3]e) \ 8[/tex3]
Resposta

Letra E
Última edição: Marcos (Sáb 04 Jun, 2016 22:58). Total de 2 vezes.


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brunoafa
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa »

Solução do Problema 13:

[tex3]\frac{5}{39}=0,1282051282...[/tex3]

O 128205 se repete. São 6 números se repetindo sequencialmente... [tex3]\frac{1989}{6}= 361 + 3[/tex3]

O resto são os últimos números que se repetem...[tex3]1...2[/tex3] e [tex3]\boxed{8}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------

Problema 14:

(ESCOLA NAVAL 2010) Considere a equação [tex3]x^2+bx+c=0[/tex3] , onde c representa a quantidade de valores inteiros que satisfazem a inequação [tex3]|3x-4|\leq2[/tex3] . Escolhendo-se ao acaso o número b no conjunto [tex3]{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}[/tex3] , qual é a probabilidade da equação acima ter raízes reais?

[tex3]A)0,5[/tex3]
[tex3]B)0,7[/tex3]
[tex3]C),075[/tex3]
[tex3]D)0,8[/tex3]
[tex3]E)1[/tex3]
Resposta

Letra A (acho q é isso)
Última edição: brunoafa (Dom 05 Jun, 2016 01:00). Total de 2 vezes.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por undefinied3 »

Solução do problema 14:

[tex3]|3x-4| \leq 2[/tex3]
[tex3]-2 \leq 3x-4 \leq 2[/tex3]
[tex3]2 \leq 3x \leq 6[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3} \leq x \leq 2[/tex3]

Então os possíveis valores inteiros de [tex3]x[/tex3] são [tex3]1[/tex3] e [tex3]2[/tex3] . No total, [tex3]2[/tex3] valores, logo [tex3]c=2[/tex3]

[tex3]x^2+bx+2=0[/tex3]
[tex3]\Delta=b^2-8 \geq0 \rightarrow b^2 \geq 8[/tex3]

Dos valores possíveis de [tex3]b[/tex3] , os únicos que satisfazem são [tex3]-4[/tex3] , [tex3]-3[/tex3] , [tex3]3[/tex3] , [tex3]4[/tex3] e [tex3]5[/tex3] . São [tex3]5[/tex3] valores dos [tex3]10[/tex3] possíveis.

[tex3]P=\frac{5}{10}=0,5[/tex3]
Letra A

----------------------------------------------------------------------

Problema 15:

(IME 2015) Encontre as soluções reais da equação [tex3]\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}=\sqrt{x+3}[/tex3]
Resposta

[tex3]S=\left\{1,\frac{7}{3}\right\}[/tex3]
Última edição: undefinied3 (Dom 05 Jun, 2016 01:31). Total de 2 vezes.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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Marcos
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos »

Solução do problema 15:

[tex3]i)[/tex3] A equação só existe em [tex3]\mathbb{R}[/tex3] se [tex3]x\geq 1[/tex3] .
[tex3]ii)[/tex3] Elevando ao quadrado, obtemos:

[tex3]\blacktriangleright \sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}=\sqrt{x+3}[/tex3]
[tex3]\left(\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}\right)^2=\left(\sqrt{x+3}\right)^2[/tex3]
[tex3]\left(x+\sqrt{4x-4}\right)+\left(x-\sqrt{4x-4}\right)+2\cdot \sqrt{(x)^2-(\sqrt{4x-4)}^{2}}=x+3[/tex3]
[tex3]2x+2\cdot \sqrt{(x-2)^{2}}=x+3[/tex3]

Daí, teremos:
[tex3]2\cdot |x-2|=3-x[/tex3]

Analisemos os dois casos:

[tex3]\leadsto[/tex3] Se [tex3]1\leq x< 2\Rightarrow 2\cdot |x-2|=2\cdot (2-x)=3-x[/tex3]
[tex3]4-2x=3-x[/tex3]
[tex3]1=2x-x[/tex3]
[tex3]\boxed{x=1}[/tex3]

[tex3]\leadsto[/tex3] Se [tex3]2\leq x\leq 3\Rightarrow 2\cdot |x-2|=2\cdot (x-2)=3-x[/tex3]
[tex3]2x-4=3-x[/tex3]
[tex3]2x+x=4+3[/tex3]
[tex3]\boxed{x=\frac{7}{3}}[/tex3]

Analisando [tex3]x=1 \ e \ x=\frac{7}{3}[/tex3] , são soluções:
Portanto, [tex3]1 \ e \ \frac{7}{3}[/tex3] são soluções.

Resposta: [tex3]S=\left\{1,\frac{7}{3}\right\}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------

Problema 16:

(CN 1991) O lado do hexágono equilátero inscrito numa semicircunferência do círculo de raio [tex3]r[/tex3] e centro [tex3]O[/tex3] , onde uma de suas bases está sobre o diâmetro, é:
CN 1991.png
CN 1991.png (3.18 KiB) Exibido 602 vezes
a) [tex3]\frac{r}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{r\sqrt{2}}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{r\sqrt{3}}{2}[/tex3]
d) [tex3]r[/tex3]
e) [tex3]\frac{2r}{3}[/tex3]
Resposta

Letra B
Última edição: Marcos (Dom 05 Jun, 2016 10:14). Total de 2 vezes.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa »

Nossa! Na hora que eu ia postar a solução o cara posta! SAUSSUSUSAUASUSUHUHSAUSAUHSASUAUHSASUHSSUH

Solução do Problema 16:
Screenshot from 2016-06-05 11-35-57.png
Screenshot from 2016-06-05 11-35-57.png (46.14 KiB) Exibido 605 vezes
[tex3]BOC=BC=\alpha \\ \\
CBE=\frac{CDE}{2}=\frac{2\alpha}{2}=\alpha \\ \\

\begin{cases}CBG= BOC= \alpha \\
BCG= BCO \end{cases} \rightarrow \\
\Delta BCG \cong \Delta OBC \rightarrow \frac{BC}{OC}=\frac{CG}{BC} = BC = \sqrt{OC \cdot CG}= L= \sqrt{r \cdot \frac{r}{2}} = \frac{r\sqrt2}{2}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------

Problema 17:

(ITA 89) O valor da expressão [tex3]|1-z|^2+|1+z|^2[/tex3] , sendo [tex3]z[/tex3] um número complexo, é:

a) [tex3]5[/tex3] , se [tex3]|z| \leq 1[/tex3]
b) [tex3]4[/tex3] , se [tex3]|z|=1[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3] , se [tex3]Im(z)=0[/tex3]
d) [tex3]2[/tex3] , para todo [tex3]z[/tex3]
e) [tex3]3[/tex3] , se [tex3]Re(z)=0[/tex3]
Resposta

Letra B
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos »

Solução do Problema 17:

Sendo [tex3]z=x+yi[/tex3] e [tex3]E=|1-z|^2+|1+z|^2[/tex3] , temos:
[tex3]E=|(1-x)-yi|^{2}+|(1+x)+yi|^{2}=\left(\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}}\right)^2+\left(\sqrt{(1+x)^{2}+y^{2}}\right)^2=[/tex3]
[tex3]=(1-x)^2+y^2+(1+x)^2+y^2=1-2x+x^2+y^2+1+2x+x^2+y^2=[/tex3]
[tex3]=2x^2+2y^2+2=2.(x^2+y^2+1)[/tex3]

[tex3]a) \ (F)[/tex3] , pois [tex3]|z|=\sqrt{x^2+y^2}\leq 1 \Rightarrow \boxed{E\neq 5}[/tex3] .
[tex3]b) \ (V)[/tex3] , pois [tex3]|z|=\sqrt{x^2+y^2}=1 \Rightarrow \boxed{\boxed{E=4}}\Longrightarrow Letra:(B)[/tex3] .
[tex3]c) \ (F)[/tex3] , pois [tex3]Im_{(z)}=0 \Rightarrow \boxed{E=2(x^2+1)}[/tex3] .
[tex3]d) \ (F)[/tex3] , pois [tex3]z\neq 0 \Rightarrow \boxed{E\neq 2}[/tex3] .
[tex3]e) \ (F)[/tex3] , pois [tex3]Re_{(z)}=0 \Rightarrow \boxed{E=2(y^2+1)}[/tex3] .

Resposta: [tex3]B[/tex3]

----------------------------------------------------------------------

Problema 18

(CN 1991) Considere a seguinte subtração, onde [tex3]x, \ b \ e \ z[/tex3] são algarismos:
CN 91.png
CN 91.png (1.03 KiB) Exibido 600 vezes
Logo, [tex3]x+ \ b \ + \ z[/tex3] é igual a:

[tex3]a) \ 11[/tex3]
[tex3]b) \ 12[/tex3]
[tex3]c) \ 13[/tex3]
[tex3]d) \ 14[/tex3]
[tex3]e) \ 15[/tex3]
Resposta

Letra C
Última edição: Marcos (Dom 05 Jun, 2016 15:07). Total de 2 vezes.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa »

Solução do Problema 18:

[tex3]13-8=6-x \\
\boxed{x=1}
\\ \\
6-x=b \\
\boxed{b=5} \\ \\
11-4=z \\
\boxed{z=7} \\ \\

\boxed{x+ \ b \ + \ z = 13}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------

Problema 19:

(IME 2009) Uma urna contém [tex3]5[/tex3] bolas numeradas de [tex3]1[/tex3] a [tex3]5[/tex3] . Retiram-se, com reposição, [tex3]3[/tex3] bolas desta urna, sendo [tex3]\alpha[/tex3] o número da primeira bola, [tex3]\beta[/tex3] o da segunda e [tex3]\lambda[/tex3] o da terceira. Dada a equação quadrática [tex3]\alpha x^2+\beta x + \lambda=0[/tex3] , a alternativa que expressa a probabilidade das raízes dessta equação serem reais é:

a) [tex3]\frac{19}{125}[/tex3]
b) [tex3]\frac{23}{60}[/tex3]
c) [tex3]\frac{26}{125}[/tex3]
d) [tex3]\frac{26}{60}[/tex3]
e) [tex3]\frac{25}{60}[/tex3]
Resposta

Letra C
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Marcos »

Solução do Problema 19:

O total de possibilidades de retirarmos [tex3]3[/tex3] bolas com reposição é [tex3]5.5.5=\boxed{125}[/tex3] .
Para raízes reais, devemos ter [tex3]\Delta\geq0[/tex3] , ou seja,[tex3]\beta^2-4\alpha\lambda\leq\beta^2[/tex3] .Testando esta relação para cada valor possível de [tex3]\beta[/tex3] , têm-se:

[tex3]\begin{cases}
\beta=1 \\
\beta=2 \\
\beta=3 \\
\beta=4 \\
\beta=5
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}
\alpha\lambda\leq 0 \\
\alpha\lambda\leq 1 \\
\alpha\lambda\leq 2 \\
\alpha\lambda\leq 4 \\
\alpha\lambda\leq 6
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}
(\alpha,\lambda)=\varnothing \\
(\alpha,\lambda)=(1,1) \\
(\alpha,\lambda)=(1,1);(1,2);(2,1)\\
(\alpha,\lambda)=(1,1);(1,2);(2,1);(2,2);(1,3);(3,1);(1,4);(4,1)\\
(\alpha,\lambda)=(1,1);(1,2);(2,1);(2,2);(1,3);(3,1);(1,4);(4,1);(1,5);(5,1);(2,3);(3,2)\\
\end{cases}[/tex3] .

Logo, temos [tex3]\boxed{24}[/tex3] possibilidades em [tex3]125[/tex3] .

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] A probabilidade das raízes desta equação serem reais é [tex3]\boxed{\boxed{P=\frac{24}{125}}}[/tex3] (Não há opção nas alternativas).

----------------------------------------------------------------------

Problema 20:

(CN 1982) Se [tex3]\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=2 \ , \frac{x^2z^2}{x^2+z^2}=3 \ e \frac{z^2y^2}{z^2+y^2}=x[/tex3] .O produto dos valores de [tex3]x[/tex3] nesse sistema é:

[tex3]a) \ -1,5[/tex3]
[tex3]b) \ -2,4[/tex3]
[tex3]c) \ -3,2[/tex3]
[tex3]d) \ 2,5[/tex3]
[tex3]e) \ 3,4[/tex3]
Resposta

Letra B

Última edição: Marcos (Seg 06 Jun, 2016 14:33). Total de 2 vezes.


''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''

Movido de Fórum de Matemática Pré-Vestibular para Maratonas de Matemática em Seg 16 Jan, 2017 19:30 por caju

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