Maratonas de MatemáticaV Maratona de Matemática IME/ITA

Moderador: [ Moderadores TTB ]

futuromilitar
1 - Trainee
Mensagens: 735
Registrado em: Sáb 14 Mai, 2016 12:01
Última visita: 04-03-22
Localização: Ceará
Out 2016 04 15:07

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por futuromilitar »

Solução Problema 60

Fatorando a segunda:

[tex3](xy)^2\cdot (x-y)-2xy\cdot (x-y)=6[/tex3]

[tex3](x-y)\cdot [(xy)^2-2xy]=6[/tex3]

Substituindo a primeira:
[tex3](5-xy)\cdot [(xy)^2-2xy]=6[/tex3]

Fazendo [tex3]xy=k:[/tex3]
[tex3]k^3-7k^2+10k+6=0[/tex3]

Se [tex3]x,y\,\in\,\,\mathbb{Z}\,\therefore\,\,k\,\in\,\, \mathbb{Z}[/tex3]

De acordo como teorema das raízes racionais a possíveis raízes serão: [tex3]\pm1,\pm 2,\pm 3,\pm 6[/tex3]

Testando as raízes apenas [tex3]k=3[/tex3] satisfaz.

Logo,

[tex3]\begin{cases}x-y=2\\xy=3\end{cases}[/tex3]

[tex3](x,y)=(3,1);(-1,-3)[/tex3]

Substituindo os pares:
[tex3]\boxed{x^3+y^2+x+y=38\,\,\text{ou}\,\,6}[/tex3]

Letra E

Problema 61

(IME-2014) Descreva o lugar geométrico do número complexo z que atende à equação

[tex3]\arg(z-z_{1})- \arg(z-z_{2})-\arg(z-z_{3})=k\pi ,[/tex3]

em que [tex3]z_{1}[/tex3] é real , [tex3]z_{2}[/tex3] e [tex3]z_{3}[/tex3] são complexos conjugados com parte imaginária não nula e k é um número inteiro.

Obs: arg(z) é o argumento do número complexo z
Resposta

União da circunferência descrita com o eixo real.

Última edição: futuromilitar (Ter 04 Out, 2016 15:07). Total de 3 vezes.


''Se você perdeu dinheiro, perdeu pouco. Se perdeu a honra, perdeu muito. Se perdeu a coragem, perdeu tudo.'' (Van Gogh)

Avatar do usuário
Autor do Tópico
brunoafa
1 - Trainee
Mensagens: 813
Registrado em: Qua 22 Mai, 2013 17:22
Última visita: 28-06-19
Dez 2016 06 16:06

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa »

Solução do Problema 61

Vamos usar a propriedade de que [tex3]\arg\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\arg(z_{1})-\arg(z_{2}), z_{2} \neq 0[/tex3]

Chamando [tex3]z=x+yi[/tex3] e [tex3]z_{2}=a+bi[/tex3]

Como o argumento só é definido para complexos não nulos, temos:

[tex3]\arg \left( \frac{ z-z_{1} }{ \left(z-z_{2}\right) \left( z - \overline{z_{2}}\right)}\right)=k \pi[/tex3]

E como [tex3]k[/tex3] varia nos números inteiros, o complexo tem que ser real, e portanto, igual ao seu conjugado.

Ou seja:

[tex3]\left(\frac{z-z_{1}}{\left(z-z_{2}\right)\left(z-\overline{z_{2}}\right)}\right)= \left(\frac{\overline{z}-z_{1}}{\left(\overline{z}-\overline{z_{2}}\right)\left(\overline{z}-z_{2}\right)}\right)[/tex3]

Fazendo as multiplicações e substituições e lembrando que [tex3]z \cdot \overline{z}=|z|^2[/tex3] chegamos em:

[tex3](x-z_{1})^2+y^2=(a-z_{1})^2+b^2[/tex3] , que é a equação reduzida de uma circunferência.

Problema 62

(ITA 84) Sabendo que [tex3]n[/tex3] é um número natural que [tex3]\frac{(\sqrt{3}+i)^n}{3i}[/tex3] é um número real, podemos afirmar que:

a) [tex3]n=6k,\, k=1,2,3...[/tex3]
b) [tex3]n=3(2k+1),\,k=0,1,2,3...[/tex3]
c) [tex3]n=3k,\,k=0,1,2,3...[/tex3]
d) [tex3]n=k,\,k=1,2,3...[/tex3]
e) não existe valor de [tex3]n[/tex3] natural tal que o número dado seja real
Resposta

Gabarito a

Última edição: brunoafa (Ter 06 Dez, 2016 16:06). Total de 5 vezes.


MACTE ANIMO! GENEROSE PUER, SIC ITUR AD ASTRA

Movido de Fórum de Matemática Pré-Vestibular para Maratonas de Matemática em Seg 16 Jan, 2017 19:30 por caju

Avatar do usuário
caju
5 - Mestre
Mensagens: 2135
Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
Última visita: 27-03-24
Localização: Rio de Janeiro
Contato:
Jan 2017 20 20:46

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por caju »

Solução do Problema 62

Vamos quebrar a fração em dois números complexos, [tex3]Z[/tex3] o numerador, e [tex3]Q[/tex3] o denominador.

[tex3]\frac{Z}{Q}=\frac{(\sqrt{3}+i)^n}{3i}[/tex3]

[tex3]Z=\sqrt{3}+i\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{|Z|=2}\,\,\text{ e }\,\,\,\boxed{\arg(Z)=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}}[/tex3]

[tex3]Q=3i\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{|Q|=3}\,\,\text{ e }\,\,\,\boxed{\arg(Q)=\frac{\pi}{2}+2k'\pi,\,k'\in\mathbb{Z}}[/tex3]

Agora podemos escrever a fração do enunciado na notação de Euler para números complexos:

[tex3]\frac{Z}{Q}=\frac{(\sqrt{3}+i)^n}{3i}=\frac{\left[2\cdot e^{\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)}\right]^n}{3\cdot e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)}}=\frac{2^n\cdot e^{\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot n}}{3\cdot e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)}}[/tex3]

Podemos efetuar a divisão dos números com base [tex3]e[/tex3] :

[tex3]\frac{2\cdot e^{\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot n}}{3\cdot e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)}}=\frac{2}{3}\cdot e^{\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot n-\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)}[/tex3]

Agora, para esse número ser um número real, o argumento do número complexo que está ali deve ser [tex3]k''\pi,\,\,k''\in\mathbb{Z}[/tex3] . Efetuando a igualdade:

[tex3]\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot n-\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)=k''\pi[/tex3]

[tex3]\frac{n\pi}{6}+2kn\pi-\frac{\pi}{2}-2k'\pi=k''\pi[/tex3]

[tex3]\frac{n\pi}{6}={\color{red}k''\pi+2k'\pi-2kn\pi}+\frac{\pi}{2}[/tex3]

Note que o termo marcado em vermelho acima, nada mais é do que um número inteiro de meias voltas, ou seja, podemos substituir por [tex3]{\color{red}k''''\pi},\,\,\,k''''\in\mathbb{Z}[/tex3]

[tex3]\frac{n\pi}{6}=k''''\pi+\frac{\pi}{2}[/tex3]

[tex3]n=6k''''+3\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{n=3(k+1),\,\,\,k\in\mathbb{Z}}[/tex3]

Problema 63 (Sugestão do colega LucasPinafi, )

(ITA 2009) Suponha a equação algébrica, [tex3]\boxed{x^{11} + \sum_{n=1}^{10} a_n x^n + a_0 = 0}[/tex3] tenha coeficientes reais [tex3]a_0,\,a_1,\, \dots ,\,a_{10}[/tex3] tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma [tex3]\beta + i \gamma_n[/tex3] , em que [tex3]\beta,\,\gamma_n \in \mathbb{R}[/tex3] e os [tex3]\gamma_n[/tex3] , [tex3]n = 1,\,2,\,\dots,\,11[/tex3] formam uma progressão aritmética de razão real [tex3]\gamma \neq 0[/tex3] . Considere as três afirmações abaixo e responda se cada uma desla é verdadeira ou falsa, justificando suas respostas.

I. Se [tex3]\beta = 0[/tex3] , então [tex3]a_0 = 0[/tex3] .
II. Se [tex3]a_{10} = 0[/tex3] , então [tex3]\beta = 0[/tex3]
III. Se [tex3]\beta = 0[/tex3] , então [tex3]a_1 = 0[/tex3]
Resposta

V, V, F
Última edição: caju (Sex 20 Jan, 2017 20:46). Total de 4 vezes.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

Avatar do usuário
LucasPinafi
5 - Mestre
Mensagens: 1765
Registrado em: Dom 07 Dez, 2014 00:08
Última visita: 17-03-24
Jan 2017 23 11:33

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução da Questão 63

Consideremos a equação algébrica,
[tex3]x^{11} + \sum_{i=1}^{10} a_i x^i + a_0 = 0[/tex3]
onde todos os coeficientes são reais. Sabemos que, numa equação algébrica de coeficientes reais, [tex3]z = a + bi[/tex3] é solução, então [tex3]\overline{z} = a - bi[/tex3] também é solução. Isso implica que, sempre que estamos trabalhando com equações algébricas de coeficientes reais, há um número par de raízes complexas não reais. Como a equação dada é de grau 11, podemos de antemão saber que há 1 raiz real, já que as demais são complexas. Ora, como os [tex3]\gamma_n[/tex3] estão em P.A., já podemos prever também que a raiz real será [tex3]\beta[/tex3] .
I. Como [tex3]a_0 = \prod_{i=1}^{11}x_i[/tex3] onde [tex3]x_i[/tex3] são as raízes da equação, então como há única raiz real, que é [tex3]\beta[/tex3] vale zero, por hipótese, segue que [tex3]a_0 = 0\cdot \prod_{i=2}^{11} x_i =0[/tex3] . Logo, [tex3]\beta = 0[/tex3] implica [tex3]a_0 = 0[/tex3] .
II. Se [tex3]a_{10} = 0 \Longrightarrow \sum_{i=1}^{11} x_i =0 \therefore 11 \beta = 0 \therefore \beta = 0[/tex3]
III. [tex3]a_1 = x_1 x_2 \dots x_{10} + \cdots x_2 x_3\dots x_{11}[/tex3] . Suponha que [tex3]x_1[/tex3] seja a raiz real que vale 0. Assim, temos [tex3]a_1 = 0 + 0 +\cdots + x_2 x_3 \dots x_{11}[/tex3] . Tal produto é real e não nulo, pois é a soma dos módulos das raízes complexas com [tex3]\beta = 0[/tex3] .
Logo, V, V, F.

Questão 64 [ITA]

Encontre os pares [tex3](\alpha , \beta) \in \left] 0, \frac{\pi} 2 \right[ \times \left]0 , \frac \pi 2 \right[[/tex3] que satisfazem o sistema [tex3]\begin{cases} (\tan \alpha + \cot \beta) \cos \alpha \sen \beta - 2 \cos^2 (\alpha - \beta) = -1 \\ \sqrt 3 \sin(\alpha + \beta) + \cos (\alpha + \beta ) = \sqrt 3 \end{cases}[/tex3]
Resposta

[tex3](\alpha , \beta ) = \left( \frac \pi 4 , \frac \pi 4 \right)\vee \left(\frac \pi {12} , \frac \pi {12} \right)[/tex3]
Última edição: LucasPinafi (Seg 23 Jan, 2017 11:33). Total de 1 vez.


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

Auto Excluído (ID:17092)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Jan 2017 24 18:59

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17092) »

Solução do Problema 64

[tex3]\begin{cases} (\tan \alpha + \cot \beta) \cos \alpha \sen \beta - 2 \cos^2 (\alpha - \beta) = -1 \\ \sqrt 3 \sin(\alpha + \beta) + \cos (\alpha + \beta ) = \sqrt 3 \end{cases}[/tex3]
Manipulando a primeira equação:
[tex3](\frac{\sen \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sen \beta}) \cos \alpha \sen \beta - 2 \cos^2 (\alpha - \beta) = -1[/tex3] => [tex3]\sen \alpha \sen \beta + \cos \beta \cos\alpha - 2 \cos^2 (\alpha - \beta) = -1[/tex3] => [tex3]\cos(\alpha - \beta) -2 \cos^2(\alpha - \beta) = -1[/tex3] => [tex3]2\cos^2(\alpha - \beta) - \cos(\alpha - \beta) - 1 = 0[/tex3] (I)
Manipulando a segunda equação:
[tex3]\sqrt 3 \sin(\alpha + \beta) + \cos (\alpha + \beta ) = \sqrt 3[/tex3] x(1/2) => [tex3]\frac{\sqrt 3}{2} \sin(\alpha + \beta) + \frac{1}{2}\cos (\alpha + \beta ) = \frac{\sqrt 3}{2}[/tex3]
Como [tex3]cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt3}{2}[/tex3] e [tex3]sen(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}[/tex3] :
[tex3]\frac{\sqrt 3}{2} \sin(\alpha + \beta) + \frac{1}{2}\cos (\alpha + \beta ) = \frac{\sqrt 3}{2}[/tex3] => [tex3]cos(\frac{\pi}{6}) \sin(\alpha + \beta) + \sen(\frac{\pi}{6}) \cos (\alpha + \beta ) = \frac{\sqrt 3}{2}[/tex3] => [tex3]\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha + \beta) = \frac{\sqrt 3}{2}[/tex3] (II)

De (I), nós tiramos por Bhaskara que:
[tex3]\cos(\alpha -\beta) = \frac{1 \pm 3}{4}[/tex3] => [tex3]\cos(\alpha -\beta) = 1[/tex3] (IA) ou [tex3]\cos(\alpha -\beta) = \frac{-1}{2}[/tex3] (IB)
De (IA):
[tex3]\alpha - \beta = 0 + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex3]
De (IB):
[tex3]\alpha - \beta = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex3]
Como [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] encontram-se no 1.º quadrante:
[tex3]\alpha - \beta = 0[/tex3] => [tex3]\alpha = \beta[/tex3] (A)

Para (II), nós tiramos que:
[tex3]\frac{\pi}{6} + \alpha + \beta = \frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex3] => [tex3]\alpha + \beta = \frac{\pi}{6}[/tex3] (B)
[tex3]\frac{\pi}{6} + \alpha + \beta = \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex3] => [tex3]\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}[/tex3] (C)
Considerando que [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] encontram-se no 1.º quadrante.

Com (A), (B) e (C) montamos um sistema:
[tex3]\begin{cases} \alpha = \beta \\ \alpha + \beta = \frac{\pi}{6} \ ou \ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \end{cases}[/tex3]
Para (A) e (B):
[tex3]\begin{cases} \alpha = \beta \\ \alpha + \beta = \frac{\pi}{6} \end{cases}[/tex3]
[tex3]\alpha + \alpha = \frac{\pi}{6}[/tex3] => [tex3]2\alpha = \frac{\pi}{6}[/tex3] => [tex3]\alpha = \frac{\pi}{12}[/tex3]
Como [tex3]\alpha = \beta[/tex3] :
[tex3]\beta = \frac{\pi}{12}[/tex3]
Para (A) e (C):
[tex3]\begin{cases} \alpha = \beta \\ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \end{cases}[/tex3]
[tex3]\alpha + \alpha = \frac{\pi}{2}[/tex3] => [tex3]2\alpha = \frac{\pi}{2}[/tex3] => [tex3]\alpha = \frac{\pi}{4}[/tex3]
Como [tex3]\alpha = \beta[/tex3] :
[tex3]\beta = \frac{\pi}{4}[/tex3]
Portanto, os pares que satisfazem o sistema são: [tex3]\left(\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right)[/tex3] e [tex3]\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)[/tex3]

Problema 65

(IME 2016) Um hexágono é dividido em 6 triângulos equiláteros. De quantas formas podemos colocar os números de 1 a 6 em cada triângulo, sem repetição, de maneira que a soma dos números em três triângulos adjacentes seja sempre múltiplo de 3? Soluções obtidas por rotação ou reflexão são diferentes, portanto as figuras abaixo mostram duas soluções distintas.
maxresdefault.jpg
maxresdefault.jpg (9.38 KiB) Exibido 5795 vezes
(A) 12
(B) 24
(C) 36
(D) 48
(E) 96
Resposta

Alternativa D
Última edição: Auto Excluído (ID:17092) (Ter 24 Jan, 2017 18:59). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
Autor do Tópico
brunoafa
1 - Trainee
Mensagens: 813
Registrado em: Qua 22 Mai, 2013 17:22
Última visita: 28-06-19
Mar 2017 09 15:34

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa »

Resolução do Problema 65:

Bom, eu não sei se minha solução está certa, e nem se é a mais correta, mas não entendi a forma que os cursinhos resolveram usando "congruência", até hoje não entendo isso.

Se alguém souber um forma melhor ou quiser corrigir algum erro meu, pode mandar a resolução que eu arrumo sem problemas.

Para "criarmos" números que somados são múltiplos de 3, temos as seguintes possibilidades:

12,3 - 1,26 - 1,3,5 - 2,3,5 - 2,4,6 - 3,2,4 - 3,4,5 - 4,5,6 - 4,3,5 -

Percebam que para escolher o primeiro número eu tenho 6 possibilidades. Digamos que o escolhido foi o número 1, ele pode vir acompanhando do 2,3,5 ou 6, ou seja, 4 possibilidades, e uma vez escolhido o 2, por exemplo, são duas possibilidades. Ou uma caso o 3 tivesse sido escolhido. Raciocínio análogo para a parte "de cima". Não tenho certeza se estou certo.
screenshot-comentario.fariasbrito.com.br-2017-03-09-15-08-04.png
screenshot-comentario.fariasbrito.com.br-2017-03-09-15-08-04.png (5.66 KiB) Exibido 5724 vezes

No final, pelo princípio da multiplição: [tex3]6 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = \boxed{48}[/tex3]

Problema 66:

(ITA 83) Um general possui n soldados para tomar uma posição inimigo. Desejando efetuar um ataque com dois grupos, um front com r soldados e outro da retaguarda com s soldados (r+s=n), ele poderá dispor seus homens de:

a) [tex3]\frac{n!}{(r+s)!}[/tex3]
b) [tex3]\frac{n!}{r! s!}[/tex3]
c) [tex3]\frac{n!}{(rs)!}[/tex3]
d) [tex3]\frac{2(n)!}{(r+s)!}[/tex3]
e) [tex3]\frac{2(n)!}{r!s!}[/tex3]
Resposta

Letra B.
Última edição: brunoafa (Qui 09 Mar, 2017 15:34). Total de 3 vezes.


MACTE ANIMO! GENEROSE PUER, SIC ITUR AD ASTRA

Avatar do usuário
caju
5 - Mestre
Mensagens: 2135
Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
Última visita: 27-03-24
Localização: Rio de Janeiro
Contato:
Jun 2017 07 15:28

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por caju »

Resolução do Problema 66

Tendo [tex3]n[/tex3] soldados, ao escolher os [tex3]r[/tex3] soldados para o front, o restante será o time da retaguarda.

Desta forma, basta escolher, dentre os [tex3]n[/tex3] soldados, [tex3]r[/tex3] para o front e saberemos a quantidade de maneiras que o general poderá dispor seus homens.

Como a ordem de escolha não interessa, estamos lidando com um caso de Combinação de [tex3]n[/tex3] homens tomados [tex3]r[/tex3] a [tex3]r[/tex3] :

[tex3]C_n^r=\frac{n!}{r!\cdot(n-r!)}[/tex3]

Como sabemos que [tex3]n=r+s[/tex3] , podemos escrever [tex3]n-r=s[/tex3] e substituir na expressão acima:

[tex3]C_n^r=\boxed{\frac{n!}{r!\cdot s!}}[/tex3]

Resposta letra B



Problema 67

(ITA - 1986) Considere os números reais não nulos [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] , [tex3]c[/tex3] , e [tex3]d[/tex3] em progressão geométrica tais que [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são raízes da equação (em [tex3]x[/tex3] ) [tex3]x^3+Bx^2-2Bx+D=0[/tex3] , onde [tex3]B[/tex3] e [tex3]D[/tex3] são números reais e [tex3]B>0[/tex3] . Se [tex3]cd-ac=-2B[/tex3] , então:

a) [tex3](a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2[/tex3] e [tex3]b^2+c^2+d^2=\frac{16B^2}{B^2+4B}[/tex3]

b) [tex3](a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2[/tex3] e [tex3]a^2+b^2+c^2=\frac{16B}{B^2+4}[/tex3]

c) [tex3](a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)[/tex3] e [tex3]b^2+c^2+d^2=\frac{16B}{B+4}[/tex3]

d) [tex3](a^2+b^2+c^2)(b+c+d)=(ab+bc+cd)^2[/tex3] e [tex3]a^2+b^2+c^2=\frac{16B}{B+4}[/tex3]

e) [tex3](a^2+b^2+c^2)(b+c+d)=(ab+bc+cd)^2[/tex3] e [tex3]a^2+b^2+c^2=\frac{B+4}{16B}[/tex3]
Última edição: caju (Qua 07 Jun, 2017 15:28). Total de 1 vez.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

Deleted User 24633
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Jul 2020 17 21:10

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Deleted User 24633 »

Resolução do Problema 67
A primeira relação é trivial.
Seja [tex3]q[/tex3] a razão da PG. Assim [tex3]b=aq[/tex3] ; [tex3]c=aq^2[/tex3] e [tex3]d=aq^3[/tex3]
Logo [tex3]a^2+b^2+c^2=a^2(1+q^2+q^4)[/tex3] e [tex3]b^2+c^2+d^2=a^2(q^2+q^4+q^6)=a^2q^2(1+q^2+q^4)[/tex3] . Consequentemente
[tex3](a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=a^2(1+q^2+q^4)a^2q^2(1+q^2+q^4)=[a^2q(1+q+q^2)]^2[/tex3] .
Por outro lado [tex3]ab+bc+cd=a(aq)+aq(aq^2)+aq^2(aq^3)=a^2q(1+q^2+q^4)[/tex3] então [tex3](a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2[/tex3] .
Isto elimina c, d e e

Agora a segunda...
Pelas relações de Girard temos
[tex3]\begin{cases}-B=a+b+c=a(1+q+q^2)\\ -2B=ab+ac+bc=a^2q(1+q+q^2) \\-2B=cd-ac=c(d-a)=aq^2(aq^3-a)=a^2q^2(q^3-1) \end{cases}[/tex3]
Obs: esta última equação veio do enunciado
Igualando a segunda ao dobro da primeira vem [tex3]a^2q(1+q+q^2)=2a(1+q+q^2) \Rightarrow aq=2[/tex3]
Igualando a segunda a terceira vem [tex3]a^2q(1+q+q^2)=a^2q^2(q^3-1)=a^2q^2(q-1)(1+q+q^2) \Rightarrow q(q-1)=1 \Rightarrow q^2=q+1~~(*)[/tex3] (olho o número de ouro aí aparecendo nos lugares mais improváveis para variar)

Assim [tex3]-2B=a^2q^2(q^3-1)=2^2\cdot (q~q^2-1)=4[q(q+1)-1]=4(q^2+q-1)=4(q+1+q-1)=8q \Rightarrow B=-4q[/tex3] . Logo [tex3]B^2=16q^2=16(q+1)=16q+16[/tex3]

Testando as alternativas a) e b):
b) (parece mais fácil)
Temos que [tex3](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac) [/tex3] do sistema vem [tex3]B^2=a^2+b^2+c^2+2(-2B) \Rightarrow a^2+b^2+c^2=B^2+4B\Rightarrow a^2+b^2+c^2=16q+16+4(-4q)=16[/tex3] .
Então [tex3]a^2+b^2+c^2=\dfrac{16B}{B^2+4} \iff 16=\dfrac{16B}{B^2+4} \iff B= B^2+4 \iff -4q=16q+20 \iff q=-1[/tex3] mas [tex3]-1[/tex3] claramente não satisfaz [tex3](*)[/tex3] . Então a resposta não é a b). Logo a resposta é a a)... mas vamos verificar.

Temos que [tex3]b^2+c^2+d^2=a^2q^2+a^2q^4+a^2q^6=a^2q^2(1+q^2+q^4)=4[1+(q+1)+(q+1)^2]=4(q+2+q^2+2q+1)=4(3q+3+q+1)=16(q+1)[/tex3] (aqui usamos fortemente [tex3](*)[/tex3] ). Assim
[tex3]b^2+c^2+d^2=\dfrac{16B^2}{B^2+4B}=\dfrac{16B}{B+4} \iff 16(q+1)=\dfrac{16(-4q)}{-4q+4} \iff q+1=\dfrac{q}{q-1} \iff q^2=q+1[/tex3] que é exatamente [tex3](*)[/tex3]

Letra a)
Questão 68
(ITA-2010)
A equação em [tex3]x[/tex3] ,
[tex3]arctg~(e^x+2)-arc~cotg\left(\dfrac{e^x}{e^{2x}-1}\right)=\dfrac{\pi}{4}, x\in \mathbb{R} \setminus \{0\}[/tex3]
(A) Admite infinitas soluções, todas positivas.
(B) Admite uma única solução, e esta é positiva.
(C) Admite três soluções que se encontram no intervalo [tex3]\left] \dfrac{-5}{2}, \dfrac{3}{2} \right [[/tex3]
(D) Admite apenas soluções negativas
(E) Não admite solução.
Resposta

(B)
Última edição: Deleted User 24633 (Sex 17 Jul, 2020 23:01). Total de 11 vezes.



Avatar do usuário
Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 2349
Registrado em: Seg 18 Nov, 2013 22:11
Última visita: 27-03-24
Jul 2020 17 22:35

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Resolução do problema 68

[tex3]arctg~(e^x+2)-\dfrac{\pi}{4}=arc~cotg \left(\dfrac{e^x}{e^{2x}-1} \right) [/tex3]

[tex3]\frac{e^x+2-tg\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1+(e^x+2) \cdot tg\left(\frac{\pi}{4}\right)} =tg(arc~cotg \left(\dfrac{e^x}{e^{2x}-1} \right)) [/tex3]
[tex3]\frac{e^x+1}{e^x+3} =tg(arc~cotg \left(\dfrac{e^x}{e^{2x}-1} \right)) [/tex3]

Fazendo [tex3]arc~cotg \left(\dfrac{e^x}{e^{2x}-1} \right) = y [/tex3] , então: [tex3]\left(\dfrac{e^x}{e^{2x}-1} \right) = cot(y) [/tex3]

[tex3]\frac{e^x+1}{e^x+3} =tg(arc~cotg \left(\dfrac{e^x}{e^{2x}-1} \right)) [/tex3]
[tex3]\frac{e^x+1}{e^x+3} =tg(y) [/tex3]

[tex3]tg(y) \cdot cot(y) = 1 [/tex3]
[tex3]\frac{e^x+1}{e^x+3} \cdot \left(\dfrac{e^x}{e^{2x}-1} \right) = 1 [/tex3]
[tex3]\boxed{ x=ln\left(\frac{\sqrt{13}-1}{2}\right)} [/tex3]

Questão 69
IME-1956) Determinar o lugar geométrico representado pela equação sem desenvolver os determinantes:
33.png
33.png (20.33 KiB) Exibido 2968 vezes
Última edição: Ittalo25 (Sáb 18 Jul, 2020 15:08). Total de 1 vez.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Avatar do usuário
Tassandro
5 - Mestre
Mensagens: 1905
Registrado em: Sáb 15 Fev, 2020 17:01
Última visita: 03-10-23
Localização: Teresina, PI.
Jul 2020 18 13:34

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Tassandro »

Resolução do problema 69

Sejam [tex3]X=(x,x_1,x_2,),Y=(y,y_1,y_2),\overline X=(x,x_3,x_4,),\overline Y=(y,y_3,y_4),1=(1,1,1)[/tex3] vetores do [tex3]\mathbb R^3[/tex3] . Como o produto desses dois determinantes é nulo, pelo menos um deles vale 0. Se o primeiro for 0, então [tex3]1=α_1X+β_1Y,α_1,β_1\in\mathbb R[/tex3] (a terceira coluna é uma combinação linear das outras duas), o que é uma equação de uma reta no [tex3]\mathbb R^3[/tex3] . Analogamente, se o segundo for 0,[tex3]1=α_2\overline X+β_2\overline Y,α_2,β_2\in\mathbb R[/tex3] , o que também é uma equação de uma reta no [tex3]\mathbb R^3[/tex3] . Portanto, essa equação representa a união de duas retas no [tex3]\mathbb R^3[/tex3] .
Questão 70
(IME-1977) Divide-se um quadrado de lado 1 em nove quadrados
iguais e remove-se o quadrado central. Procede-se da
mesma forma com os 8 quadrados restantes. Este processo é realizado n vezes.
a) Quantos quadrados de lado (1/3)^n são conservados?
b) Qual a soma das áreas dos quadrados removidos
quando n tende a infinito?

Última edição: Tassandro (Sáb 18 Jul, 2020 13:40). Total de 1 vez.


Dias de luta, dias de glória.

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Maratonas de Matemática”