)
do enunciado temos:
[tex3](x^2-x)+k(y^2-y)=0[/tex3] define uma elipse, [tex3]k > 0[/tex3] , [tex3]c = 2 [/tex3]
[tex3](x^2-x)+\left(\frac{1}{2}\right)^2+k(y^2-y)+\left(\frac{\sqrt{k}}{2}\right)^2=0+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{k}}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+k\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1+k}{4}\\
\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{1+k}{4}}+\frac{k\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{k+1}{4}}=1\\
\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{1+k}{4}}+\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{k+1}{4k}}=1[/tex3]
[tex3]a^2=\frac{1+k}{4}[/tex3] [tex3]b^2 = \frac{k+1}{4k}[/tex3]
como k é positivo [tex3]b^2< a^2[/tex3] pois o numerador é igual e o denominador de b é maior
então
[tex3]2c = 2\iff c = 1[/tex3]
[tex3]c^2=a^2-b^2[/tex3]
[tex3]1=\frac{1+k}{4}-\frac{k+1}{4k}[/tex3]
[tex3]1=\frac{k(k+1)}{4k}-\frac{k+1}{4k}=\frac{k^2-1}{4k}[/tex3]
[tex3]k^2-1=4k[/tex3]
[tex3]k^2-4k-1=0[/tex3]
como [tex3]k > 0[/tex3]
[tex3]k = 2 + \sqrt{5}[/tex3]
substituindo p e q na nossa equação inicial da elipse
[tex3]p^2-p+(2+\sqrt{5})(q^2-q) = 0\\
(2+\sqrt{5})(q^2-q)=-p^2+p\\
2+\sqrt{5}=\frac{p-p^2}{q^2-q}[/tex3]
resposta: letra a)
Problema 88
Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer:
I. A negação de [tex3]x \in A\cap B[/tex3] é: [tex3]x\notin A\ ou\ x\notin B[/tex3]
II. [tex3]A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)[/tex3]
III. [tex3](A\text{ \ }B)\cup(B\text{ \ }A)=(A\cup B)\text{ \ }(A\cap B)[/tex3]
Destas é (são) falsa(s):
A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III.
D ( ) apenas I e III. E ( ) nenhum
Resposta
letra E)
