Maratonas de Matemática

07 Jun 2016, 08:57

Solução do Problema 20:

[tex3]\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=2[/tex3]
[tex3]x^2y^2=2 \left(x^2+y^2\right)[/tex3]
[tex3]x^2y^2=2x^2+2y^2[/tex3]
[tex3]x^2y^2-2y^2=2x^2[/tex3]
[tex3]y^2 \left(x^2-2 \right)=2x^2[/tex3]
[tex3]y^2=\frac{2x^2}{x^2-2} \,\,\,\,\,\, (I)[/tex3]

[tex3]\frac{x^2z^2}{x^2+z^2}=3[/tex3]
[tex3]x^2z^2=3 \left(x^2+z^2\right)[/tex3]
[tex3]x^2z^2=3x^2+3z^2[/tex3]
[tex3]x^2z^2-3z^2=3x^2[/tex3]
[tex3]z^2 \left(x^2-3 \right)=3x^2[/tex3]
[tex3]z^2=\frac{3x^2}{x^2-3} \,\,\,\,\,\, (II)[/tex3]

Temos que:
[tex3]\frac{z^2y^2}{z^2+y^2}=x[/tex3]

Substituindo I e II na equação acima:
[tex3]\frac{\frac{3x^2}{x^2-3}\cdot \frac{2x^2}{x^2-2}}{\frac{3x^2}{x^2-3}+\frac{2x^2}{x^2-2}}=x[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{6x^4}{\left(x^2-3\right)\cdot \left(x^2-2\right)}}{\frac{3x^4-6x^2+2x^4-6x^3}{\left(x^2-3\right)\cdot \left(x^2-2\right)}}=x[/tex3]
[tex3]\frac{6x^4}{5x^4-12x^2}=x[/tex3]
[tex3]5x^5-6x^4-12x^3=0[/tex3]
[tex3]x^3 \cdot \left(5x^2-6x-12\right)=0[/tex3]
[tex3]x^3=0 \Longleftrightarrow x=0[/tex3]
ou
[tex3]5x^2-6x-12=0[/tex3]
[tex3]\Delta=(-6)^2-4 \cdot 5 \cdot (-12)=276[/tex3]
[tex3]x=\frac{6\pm \sqrt{276}}{10}[/tex3]

Produto dos valores de [tex3]x\neq 0[/tex3] :
[tex3]\left(\frac{6+\sqrt{276}}{10}\right) \cdot \left(\frac{6-\sqrt{276}}{10}\right)=\frac{36-276}{100}=-\frac{-240}{100}=-2,4[/tex3]

----------------------------------------------------------------------

Problema 21:

(CN 1959) Na figura abaixo, exprima o ângulo [tex3]\beta[/tex3] em função dos ângulos [tex3]\alpha \ e \ \gamma[/tex3] .

: CN-59.jpg (17.68 KiB) Exibido 3332 vezes

Resposta

[tex3]\beta=2 \cdot \left(\gamma-\alpha\right)[/tex3]

Mensagem não lida por **Gauss** » 07 Jun 2016, 11:07

Solução do problema 21:

: Screenshot_15.jpg (25.6 KiB) Exibido 3328 vezes

- Gama é um ângulo inscrito na circunferência, logo, a medida do arco AC corresponde a [tex3]2\gamma[/tex3] .
- Beta é um ângulo central, então, a medida do arco EF equivale a [tex3]\beta[/tex3] .

Portanto:

[tex3]\alpha =\frac{2\gamma -\beta }{2}\rightarrow \boxed {\beta =2(\gamma -\alpha )}[/tex3]

---------------------------------------------------------------

Problema 22:

(IME 1998/99) Calcule o valor de [tex3](1,02)^{-10}[/tex3] , com dois algarismos significativos, empregando a expansão do binômio de Newton.

Resposta

[tex3](1,02)^{-10}\approx0,82[/tex3]

Mensagem não lida por **brunoafa** » 07 Jun 2016, 12:11

Solução do Problema 22:

[tex3](1,02)^{-10}=\frac{1}{(1,02)^{10}}=\frac{1}{\sum_{i=0}^{10}\begin{pmatrix}
10 \\ 10-i
\end{pmatrix}1^{10-i}(0,02)^i}= \frac{1}{1,21896}\approx \boxed{0,82}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------

Problema 23:

(AFA 2011) Um médico, apreciador de logaritmos, prescreveu um remédio a um de seus pacientes, conforme a seguir

Tomar x gotas do medicamento [tex3]\alpha[/tex3] de 8 em 8 horas. A quantidade de gotas y diária deverá ser calculada pela fórmula [tex3]\log_{8}y=\log_{2}6[/tex3]

Considerando [tex3]\log 2= \frac{3}{10}[/tex3] [tex3]\log 3=0,48[/tex3] é correto afirma que [tex3]\log_{2}x[/tex3] é um número do intervalo
a)[6,7[
b)[4,5[
c)[5,6[
d)[3,4[

Resposta

Letra C

Mensagem não lida por **Marcos** » 07 Jun 2016, 19:39

Solução do Problema 23:

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] A quantidade de gotas [tex3]y[/tex3] diária deverá ser calculada pela fórmula [tex3]\log_{8}y=\log_{2}6[/tex3]

[tex3]\log_{8}y=\log_{2}6[/tex3]
[tex3]\log_{2^3}y=\log_{2}6[/tex3]
[tex3]\frac{1}{3}\log_{2}y=\log_{2}6[/tex3]
[tex3]\log_{2}y^{\frac{1}{3}}=\log_{2}6[/tex3]
[tex3]y^{\frac{1}{3}}=6 \Rightarrow \boxed{y=216}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] A quantidade de gotas [tex3]y[/tex3] diária.
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Tomar [tex3]x[/tex3] gotas do medicamento [tex3]\alpha[/tex3] de [tex3]8[/tex3] em [tex3]8[/tex3] horas.

Como são [tex3]216[/tex3] gotas em [tex3]24[/tex3] horas, serão [tex3]72[/tex3] gotas a cada [tex3]8[/tex3] horas.Logo, [tex3]x=72[/tex3] gotas.

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] É correto afirma que [tex3]\log_{2}x[/tex3] é

[tex3]\log_{2}x=\log_{2}72=\log_{2}9.8=\frac{\log_{10}9.8}{\log_{10}2}=\frac{\log_{10}9+\log_{10}8}{\log_{10}2}=\frac{\log_{10}3^{2}+\log_{10}2^{3}}{\log_{10}2}=[/tex3]
[tex3]=\frac{2.\log_{10}3+3.\log_{10}2}{\log_{10}2}=\frac{2.(0,48)+2.(0,3)}{0,3}=\frac{1,56}{0,3}=\boxed{\boxed{5,2}}[/tex3]

Então [tex3]\boxed{\boxed{5<\log_{2}72<6}} \Longrightarrow Letra:(C)[/tex3]

Resposta: [tex3]C[/tex3]

-------------------------------------------------------------------

Problema 24:

(CN 2002)

: CN 2002.png (8.32 KiB) Exibido 3325 vezes

Observe a figura acima que representa três semicircunferências de centros [tex3]M, N \ e \ P[/tex3] , tangentes duas a duas, respectivamente, nos pontos [tex3]A, B \ e \ C[/tex3] . Os segmentos [tex3]MM', NN' ,BB' \ e\ PP'[/tex3] são perpendiculares a reta [tex3]r[/tex3] .
Se a medida do segmento [tex3]BB'[/tex3] é [tex3]6 \ cm[/tex3] , a área do triângulo [tex3]M'N'P'[/tex3] , [tex3]em \ cm^2[/tex3] , é igual a:

[tex3]a) \ 9[/tex3]
[tex3]b) \ 10[/tex3]
[tex3]c) \ 12[/tex3]
[tex3]d) \ 18[/tex3]
[tex3]e) \ 36[/tex3]

Resposta

Letra A

Mensagem não lida por **brunoafa** » 08 Jun 2016, 21:42

Solução do Problema 24:

[tex3]S_{M'N'P'}=S_{MM'N'N}+S_{PP'N'N}-S_{MM'P'P} \\ \\[/tex3]

Chamando de [tex3]r, a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] os raios das circunferências de centro [tex3]N[/tex3] , [tex3]M[/tex3] e [tex3]P[/tex3] , respectivamente.

[tex3]2r=2a+2b \rightarrow r=a+b[/tex3]

[tex3]S_{MM'N'N}=\frac{(MM'+NN') \cdot MN}{2}=\frac{(r+a)(r-a)}{2}=\frac{(2a+b)b}{2} \\ \\ \\

S_{PP'N'N}=\frac{(NN'+PP') \cdot NP}{2}=\frac{(r+b)(r-b)}{2}=\frac{(a+2b)a}{2} \\ \\ \\

S_{MM'P'P}=\frac{(MM'+PP') \cdot MP}{2}=\frac{(a+b)(a+b)}{2}=\frac{(a+b)^2}{2} \\ \\ \\

\rightarrow \boxed{S_{M'N'P'}=ab} \\ \\ \\

(BB')^2=AB \cdot BC = 6^2=2a \cdot 2b \rightarrow ab = 9 \rightarrow \boxed{S_{M'N'P'}=9 cm^2}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------

Problema 25:

(ITA 90) Considere a reta (r) mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta [tex3]2x-3y+7=0[/tex3] intercepta os eixos coordenados. Então a distância do ponto [tex3]\left(\frac{1}{4},\frac{1}{6}\right)[/tex3] à reta (r) é:

a) [tex3]\frac{5\sqrt3}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{4}{\sqrt13}[/tex3]
c) [tex3]3\sqrt13[/tex3]
d) [tex3]\frac{2\sqrt3}{7}[/tex3]
e) [tex3]\frac{2}{\sqrt3}[/tex3]

Resposta

Letra B

Mensagem não lida por **Marcos** » 09 Jun 2016, 11:22

Solução do Problema 25:

A reta [tex3]2x-3y+7=0[/tex3] intercepta o eixo [tex3]O_{x}[/tex3] em [tex3]A=\left(\frac{-7}{2};0\right)[/tex3] e o eixo [tex3]O_{y}[/tex3] em [tex3]B=\left(0;\frac{7}{3}\right)[/tex3] .
A reta [tex3]r[/tex3] é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de [tex3]A \ e \ B[/tex3] , logo:

[tex3]\sqrt{x^2+\left(y-\frac{7}{3}\right)^2}=\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+y^2}[/tex3]
[tex3]x^2+y^2-\frac{14y}{3}+\frac{49}{9}=x^2+7x+\frac{49}{4}+y^2[/tex3]
[tex3]252x+168y+245=0[/tex3]

A distância do ponto [tex3]\left(\frac{1}{4};\frac{1}{6}\right)[/tex3] a reta [tex3]r[/tex3] é:

[tex3]\frac{|252.\frac{1}{4}+168.\frac{1}{6}+245|}{\sqrt{252^2+168^2}}=\frac{336}{2^2.3.7\sqrt{13}}=\boxed{\boxed{\frac{4}{\sqrt{13}}}} \Longrightarrow Letra:(B)[/tex3]

Resposta: [tex3]B[/tex3]

-------------------------------------------------------------

Problema 26:

(IME 2014) Calcular o valor da expressão abaixo

[tex3]\sqrt[3]{\underbrace{370370.....037}_{\text{89 algarismos}}-\underbrace{111..11}_{\text{30 algs'1'}}\underbrace{000...00}_{\text{30 algs'0'}}}[/tex3]

Obs: algs=algarismos.

Resposta

[tex3]\underbrace{3333...333}_{30 \ algarismos}[/tex3]

Mensagem não lida por **brunoafa** » 11 Jun 2016, 13:07

Solução do Problema 26:

[tex3]S=\sqrt[3]{{\left( 37 \cdot 10^{87}+ 37 \cdot 10^{84}+ 37 \cdot 10^{81}... 37 \cdot 10^{3} + 37 \cdot 10^{0} \right)}-10^{30} \cdot \left(\frac{10^{30}-1}{9}\right)} \\ \\ \\

S=\sqrt[3]{37 \cdot \left(10^{87}+10^{84}+...+10^{3}+10^{0}\right)- \left(\frac{10^{60}-10^{30}}{9}\right) } \\ \\ \\

\begin{cases}
x=10^{87}+10^{84}+...+10^{3}+10^{0} \\
10^{3}x=10^{90}+10^{97}+...+10^{6}+10^{3}
\end{cases} \\ \\
\rightarrow x \cdot (10^3-1)=10^{90}-1 \\ \\

\rightarrow \boxed{x=\frac{10^{90}-1}{999}} \\ \\ \\

S=\sqrt[3]{37 \cdot \left(\frac{10^{90}-1}{999}\right)-\left(\frac{10^{60}-10^{30}}{9}\right)} \rightarrow \sqrt[3]{\left(\frac{10^{30}-1}{3} \right)^3} \rightarrow \boxed{\underbrace{333...33}_{\text{33 algarismos}}}[/tex3]

_________________________________________________________________________________________________________

Problema 27:

(IME 2009) A figura abaixo é composta de 16 quadrados menores. De quantas formas é possível preencher estes quadrados com os números 1, 2, 3 e 4, de modo que um número não pode aparecer duas vezes em:
-uma mesma linha
-uma mesma coluna
-cada um dos quatro quadrados demarcados pelas linhas contínuas

: Screenshot from 2016-06-11 13-02-56.png (1.49 KiB) Exibido 3311 vezes

Resposta

288 maneiras

Mensagem não lida por **Marcos** » 11 Jun 2016, 19:08

Solução do Problema 27:

Podemos arbitrar uma vez cada número, e depois permutá-los: [tex3]4! \ vezes[/tex3]

[tex3]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
{1} & 2 & { } & { } \\ \hline
4 & 3 & & \\ \hline
& & & \\ \hline
& & & \\ \hline
\end{array}[/tex3]

Podemos ver que as [tex3]4[/tex3] casas direitas inferiores simétricas, escolhendo arbitrariamente um número determinamos algumas casas.

[tex3]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
{1} & 2 & { } & { } \\ \hline
4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline
& 4 & \boxed{1} & \\ \hline
& 1 & & \\ \hline
\end{array} \ \ \ \ (4 \ possibilidades)[/tex3]

Escolha outro número [tex3]3[/tex3] , uma em casa direita inferior, temos novamente simetria.

[tex3]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
{1} & 2 & {3} & {4} \\ \hline
4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline
2 & 4 & 1 & \boxed{3} \\ \hline
3 & 1 & 4 & 2 \\ \hline
\end{array}[/tex3]

Logo, [tex3]4!.4.3=\boxed{\boxed{288 \ maneiras}}[/tex3]

Resposta: [tex3]288[/tex3]

--------------------------------------------------

Problema 28:

(CN 2016) Seja [tex3]k=\left(\frac{9999.....997^{2}-9}{9999....9994}\right)^{3}[/tex3] onde cada um dos números [tex3]9999.....997[/tex3] e [tex3]9999.....994[/tex3] , são constituídos de [tex3]2015[/tex3] algarismos [tex3]9[/tex3] .Deseja-se que [tex3]\sqrt[i]{k}[/tex3] seja um número racional.Qual a maior potência de [tex3]2[/tex3] que o índice [tex3]i[/tex3] pode assumir ?

[tex3]a) \ 32
\ \ \ \ b) \ 16
\ \ \ \ c) \ 8
\ \ \ \ d) \ 4
\ \ \ \ e) \ 2[/tex3]

Resposta

Letra A

Mensagem não lida por **brunoafa** » 12 Jun 2016, 01:08

Solução do Problema 28:

[tex3]k=\left[\frac{(10^{2016}-3)-3^2}{10^{2016}-6}\right]^3 = \left[\frac{(10^{2016}-3+3)(10^{2016}-3-3)}{10^{2016}-6}\right]^3= \boxed{10^{6048}}[/tex3]

[tex3]\sqrt[i]{k}=\sqrt[i]{10^{6048}} = 10^{ \frac{6048}{i}} \rightarrow \frac{6048}{i} \in \mathbb{Z} \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{2^5 \cdot 3^3 \cdot 7}{i} \rightarrow \boxed{i=32}[/tex3]

--------------------------------------------------------

Problema 29:

(IME 2012) Os números reais positivos [tex3]x_{1}, x_{2}[/tex3] e [tex3]x_{3}[/tex3] são raízes da equação [tex3]x^3-ax^2=a^{b}-\frac{b}{2}x[/tex3] , sendo [tex3]b \in \mathbb{N}[/tex3] , a [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] e [tex3]a \neq 1[/tex3] .

Determine, em função de a e b o valor de

[tex3]\log_a \left[x_{1} x_{2} x_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2}\right]^b[/tex3]

Mensagem não lida por **Marcos** » 12 Jun 2016, 11:42

Solução do Problema 29:

A equação pode ser escrita da forma: [tex3]x^3-ax^2+\frac{b}{2}x-a^{b}=0[/tex3]

Usando Girard, obtemos:

[tex3](i)\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}=a\rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2=a^2-b \\
x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}\cdot x_{3}+x_{2}\cdot x_{3}=\frac{b}{2} \\
x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=a^b
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] [tex3]\log_a \left[x_{1} x_{2} x_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2}\right]^b \ \ \ (ii)[/tex3]

Usando [tex3](i)[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3] , obtemos:

[tex3]\log_a \left[a^b\cdot a^{a^{2}-b}\right]^b=b\cdot\log_a \left[a^{b+a^{2}-b}\right]=b\cdot [b+a^2-b]=\boxed{\boxed{a^2\cdot b}}[/tex3]

Resposta: [tex3]a^2\cdot b[/tex3]

--------------------------------------------------------------

Problema 30:

(IME 1991) Mostre que o número:

[tex3]x=\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}[/tex3]

é racional.

Resposta

Demonstração

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