Maratonas de Matemática ⇒ V Maratona de Matemática IME/ITA

[Jvrextrue13]

OBS: Eu postei essa resposta com uns anexos que eu tinha feito, porém eu tinha postado uma questão ja feita na maratona, e quando fui editar acabei apagando os anexos que eu ja tinha excluido do PC, não consegui abrir o geogebra( bug) então por pressa peguei a foto de uma figura da net sobre a questão.
Solução do problema 79

Segue os anexos para melhor entendimento.

1º Possibilidade:
[tex3]b=a\sqrt{2}\\\left(\frac{b}{a}\right)^2=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=a\sqrt{2}\\\left(\frac{b}{a}\right)^2=2[/tex3]

Anotação 2020-07-30 094630.png (20.74 KiB) Exibido 3175 vezes

2º Possibilidade:
Lei dos senos:
[tex3]\frac{a}{sen(15º)}=\frac{b}{sen(150º)}\\\frac{a}{sen(45-30)}=\frac{b}{sen(180º-30)}\\
\frac{b}{a}=\frac{sen(180-30)}{sen(45-30)}=\frac{sen(180)cos(30)-sen(30)cos(180)}{sen(45)cos(30)-sen(30)cos(45)}=
\frac{\frac{-1}{2}}{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}}=\frac{2}{\sqrt{2}(1-\sqrt{3})}\\\left(\frac{b}{a}\right)^2=2+\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{sen(15º)}=\frac{b}{sen(150º)}\\\frac{a}{sen(45-30)}=\frac{b}{sen(180º-30)}\\
\frac{b}{a}=\frac{sen(180-30)}{sen(45-30)}=\frac{sen(180)cos(30)-sen(30)cos(180)}{sen(45)cos(30)-sen(30)cos(45)}=
\frac{\frac{-1}{2}}{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}}=\frac{2}{\sqrt{2}(1-\sqrt{3})}\\\left(\frac{b}{a}\right)^2=2+\sqrt{3}[/tex3]

Anotação 2020-07-30 094649.png (31.35 KiB) Exibido 3175 vezes

3º Possibilidade:
Leis dos senos :
[tex3]\frac{b}{sen(30)}=\frac{a}{sen(75)}\\\frac{a}{b}=\frac{sen(30+45)}{sen(30)}=\frac{sen(30)cos(45)+sen(45)cos(30)}{sen(30)}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\frac{1}{2}}={\frac{\sqrt{2}}{1}\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{2}\\
\left(\frac{b}{a}\right)^2=2-\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{b}{sen(30)}=\frac{a}{sen(75)}\\\frac{a}{b}=\frac{sen(30+45)}{sen(30)}=\frac{sen(30)cos(45)+sen(45)cos(30)}{sen(30)}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\frac{1}{2}}={\frac{\sqrt{2}}{1}\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{2}\\
\left(\frac{b}{a}\right)^2=2-\sqrt{3}[/tex3]

Anotação 2020-07-30 094742.png (47.22 KiB) Exibido 3175 vezes

Peguei o valor maior que é [tex3]2+\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+\sqrt{3}[/tex3]

.


Problema 80

AFA(2001) Na figura abaixo, [tex3]F_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_1[/tex3]

e [tex3]F_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_2[/tex3]

são focos da elipse : [tex3]\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1[/tex3]

.O ponto [tex3]C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C[/tex3]

de coordenadas [tex3]\left(0,\frac{3}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(0,\frac{3}{2}\right)[/tex3]

pertence ao segmento [tex3]MN[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]MN[/tex3]

.Os segmentos [tex3]AC,CB,MN[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AC,CB,MN[/tex3]

são,respectivamente paralelos aos segmentos,[tex3]F_1P,PF_2,F_1F_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_1P,PF_2,F_1F_2[/tex3]

.A área da figura sombreada em unidades de área é:
[tex3]a) \ 3\\b) \ 6\\c) \ 9\\d) \ 12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a) \ 3\\b) \ 6\\c) \ 9\\d) \ 12[/tex3]

Anotação 2020-07-30 093813.png (14.57 KiB) Exibido 3175 vezes

[Pedrolevi120]

Solução do problema 80

Primeiramente ,é importante notar que para calcularmos a área da região sombreada, basta calcular a área do [tex3]\Delta F_1PF_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta F_1PF_2[/tex3]

, e então retirarmos as áreas dos triângulos [tex3]\Delta ACB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta ACB[/tex3]

e [tex3]\Delta MNP[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta MNP[/tex3]

.

Sabemos, da teoria de cônicas, que a equação reduzida de uma elipse com eixo maior horizontal é da forma:
[tex3]\frac{(x-x_c)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_c)^{2}}{b^{2}}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(x-x_c)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_c)^{2}}{b^{2}}=1[/tex3]

Logo, comparando as equações, descobrimos o centro, o semi-eixo maior e o semi-eixo menor da elipse, que são:
[tex3]a=5;b=3;C(0,0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=5;b=3;C(0,0)[/tex3]

Porém,em uma elipse, é válida a relação:
[tex3]a^2=b^2+c^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=b^2+c^2[/tex3]

logo, é fácil ver que [tex3]c=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c=4[/tex3]

.

Portanto, podemos tirar as seguintes conclusões:
1.[tex3]\overline{F_1F_2}=8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{F_1F_2}=8[/tex3]

2.[tex3]\overline{OP}=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{OP}=3[/tex3]

Agora, sabendo que a ordenada do ponto C vale 3/2, salta aos olhos a medida do segmento [tex3]\overline{CP}=\overline{OC}=1,5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{CP}=\overline{OC}=1,5[/tex3]

.

Logo, por semelhança de triângulos, sabemos que a base do [tex3]\Delta MPN[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta MPN[/tex3]

[/tex3] vale 4, que é igual a base do [tex3]\Delta ACB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta ACB[/tex3]

e a altura de ambos vale 1,5.

Agora vamos calcular a área de cada um desses triângulos menores iguais:

[tex3]A=\frac{bh}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{bh}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{4.3}{2.2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{4.3}{2.2}[/tex3]

[tex3]A=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=3[/tex3]

Logo, como 3+3=6 , e a área do triângulo maior vale 12, a área da região sombreada é igual a 12-6=6

---

Problema 81
ITA 2010
Considere as circunferências [tex3]C1 : (x-4)^{2}+(y-3)^{2}=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C1 : (x-4)^{2}+(y-3)^{2}=4[/tex3]

e [tex3]C2 : (x-10)^{2}+(x-11)^{2}=9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C2 : (x-10)^{2}+(x-11)^{2}=9[/tex3]

Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2; isto é, r tangencia C1 e C2 e intercepta o segmento
de reta O1O2 definido pelos centros O1 de C1 e O2 de C2. Os pontos de tangência definem um
segmento sobre r que mede:

[mcarvalho]

Resolução do problema 81:

Vamos designar T1 e T2 os pontos de tangência de r em C1 e C2, respectivamente. Vamos designar, ainda, P o ponto de encontro entre O1O2 e r.

[tex3]\overline{O_1O_2}=\sqrt{(10-4)^2+(11-3)^2}=10\\
\overline{O_1P}=x\implies \overline{O_2P}=10-x\\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{O_1O_2}=\sqrt{(10-4)^2+(11-3)^2}=10\\
\overline{O_1P}=x\implies \overline{O_2P}=10-x\\[/tex3]

Da semelhança de [tex3]\Delta O_1T_1P\text{ com }\Delta O_2T_2P[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta O_1T_1P\text{ com }\Delta O_2T_2P[/tex3]

:

[tex3]\frac{\overline{O_1T_1}}{\overline{O_2T_2}}=\frac{\overline{O_1P}}{\overline{O_2P}} \rightarrow \frac 23=\frac{x}{10-x}\therefore \boxed{x=4}\\\overline{T_1P}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}\\
\overline{T_2P}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}\\
\overline{T_1T_2}=\sqrt{12}+\sqrt{27}=\boxed{5\sqrt 3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\overline{O_1T_1}}{\overline{O_2T_2}}=\frac{\overline{O_1P}}{\overline{O_2P}} \rightarrow \frac 23=\frac{x}{10-x}\therefore \boxed{x=4}\\\overline{T_1P}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}\\
\overline{T_2P}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}\\
\overline{T_1T_2}=\sqrt{12}+\sqrt{27}=\boxed{5\sqrt 3}[/tex3]

---

Problema 82:

(IME 1964/65) Calcular x na equação [tex3]\arcsen x+\arcsen x\sqrt 3=\frac{\pi}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\arcsen x+\arcsen x\sqrt 3=\frac{\pi}2[/tex3]

[Deleted User 24633]

Resolução do problema 82

[tex3]\arcsen x+\arcsen x\sqrt{3}=\dfrac{\pi}2 \iff[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\arcsen x+\arcsen x\sqrt{3}=\dfrac{\pi}2 \iff[/tex3]

[tex3]\arcsen x\sqrt{3}=\dfrac{\pi}2-\arcsen x \iff [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\arcsen x\sqrt{3}=\dfrac{\pi}2-\arcsen x \iff [/tex3]

[tex3]x\sqrt{3}=\sen\left(\dfrac{\pi}2 -\arcsen x\right) =\cos (\arcsen x) \Rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\sqrt{3}=\sen\left(\dfrac{\pi}2 -\arcsen x\right) =\cos (\arcsen x) \Rightarrow [/tex3]

[tex3]3x^2=(\cos (\arcsen x))^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3x^2=(\cos (\arcsen x))^2[/tex3]

Seja [tex3]\alpha=\arcsen x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha=\arcsen x[/tex3]

então [tex3]\sen \alpha=x.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen \alpha=x.[/tex3]

Estamos interessados em calcular [tex3]\cos (\arcsen x) =\cos \alpha.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos (\arcsen x) =\cos \alpha.[/tex3]

Aplicando a relação fundamental da trigonometria temos [tex3]\cos^2 \alpha=1-\sen^2 \alpha=1-x^2.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos^2 \alpha=1-\sen^2 \alpha=1-x^2.[/tex3]

Substituindo na relação anterior vem [tex3]3x^2=1-x^2 \Rightarrow x^2=\dfrac{1}4 \therefore x=\pm \dfrac{1}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3x^2=1-x^2 \Rightarrow x^2=\dfrac{1}4 \therefore x=\pm \dfrac{1}2[/tex3]

Entretanto, a segunda possibilidade ([tex3]x=-\frac{1}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=-\frac{1}2[/tex3]

) não verifica a expressão original. Logo [tex3]x=\frac{1}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{1}2[/tex3]

---

Problema 83

IME (2010/2011)
Seja [tex3]ABC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ABC[/tex3]

um triângulo onde [tex3]\alpha,\beta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha,\beta[/tex3]

e [tex3]\gamma[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\gamma[/tex3]

são os ângulos internos dos vértices [tex3]A,B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A,B[/tex3]

e [tex3]C,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C,[/tex3]

respectivamente. Esse triângulo está inscrito em um círculo de raio unitário. As bissetrizes internas desse ângulos interceptam esse círculo nos pontos [tex3]A_1, B_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_1, B_1[/tex3]

e [tex3]C_1,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_1,[/tex3]

respectivamente. Determine o valor da expressão:

[tex3]\dfrac{\overline{AA_1} \cos \frac{\alpha}2+\overline{BB_1} \cos \frac{\beta}2+\overline{CC_1} \cos \frac{\gamma}2}{\sen \alpha+\sen \beta +\sen \gamma}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\dfrac{\overline{AA_1} \cos \frac{\alpha}2+\overline{BB_1} \cos \frac{\beta}2+\overline{CC_1} \cos \frac{\gamma}2}{\sen \alpha+\sen \beta +\sen \gamma}[/tex3]

Resposta

---

2

[Tassandro]

Questão já postada
viewtopic.php?f=2&t=41078

pedro1729

[Jvrextrue13]

Solução do Problema 83

Segue o anexo para melhor entendimento:

Anotação 2020-07-31 115408.png (71.48 KiB) Exibido 3077 vezes

Primeiro fazemos para os ângulos designados de rosa na figura, e os demais serão análogos.
Veja que os ângulos rosas são iguais, pois enxergam o mesmo arco que o ângulo [tex3]\frac{\beta}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\beta}{2}[/tex3]

enxerga, logo valem o mesmo.
Lei dos senos no triângulo [tex3]\Delta BB_1C:\\\frac{BB_1}{sen(\frac{\beta}{2}+\gamma)}=2.r=2.1\\BB_1=2sen\left(\frac{\beta}{2}+\gamma\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta BB_1C:\\\frac{BB_1}{sen(\frac{\beta}{2}+\gamma)}=2.r=2.1\\BB_1=2sen\left(\frac{\beta}{2}+\gamma\right)[/tex3]

Como tentativa de chegar em algo parecido do que temos que calcular, multiplica-se a expressão acima por
[tex3]cos\left(\frac{\beta}{2}\right):\\BB_1.cos\left(\frac{\beta}{2}\right)=2sen\left(\frac{\beta}{2}+\gamma\right)cos\left(\frac{\beta}{2}\right)=\\2sen\left(\frac{\beta}{2}\right)cos\left(\frac{\beta}{2}\right)cos(\gamma)+2cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right)sen(\gamma)=\\sen(\beta)cos(\gamma)+[cos(\beta+1].sen(\gamma)=\\sen(\beta+\gamma)+sen(\gamma)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos\left(\frac{\beta}{2}\right):\\BB_1.cos\left(\frac{\beta}{2}\right)=2sen\left(\frac{\beta}{2}+\gamma\right)cos\left(\frac{\beta}{2}\right)=\\2sen\left(\frac{\beta}{2}\right)cos\left(\frac{\beta}{2}\right)cos(\gamma)+2cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right)sen(\gamma)=\\sen(\beta)cos(\gamma)+[cos(\beta+1].sen(\gamma)=\\sen(\beta+\gamma)+sen(\gamma)[/tex3]

Então temos analogamente para todos outros ângulos e para este os seguintes resultados:
[tex3]BB_1.cos\left(\frac{\beta}{2}\right)=sen(\beta+\gamma)+sen(\gamma)\\AA_1.cos\left(\frac{\alpha }{2}\right)=sen(\alpha+\gamma)+sen(\gamma)\\CC_1.cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)=sen(\beta+\gamma)+sen(\beta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BB_1.cos\left(\frac{\beta}{2}\right)=sen(\beta+\gamma)+sen(\gamma)\\AA_1.cos\left(\frac{\alpha }{2}\right)=sen(\alpha+\gamma)+sen(\gamma)\\CC_1.cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)=sen(\beta+\gamma)+sen(\beta)[/tex3]

Somando tudo e finalizando com as ultimas manipulações algébricas :
[tex3]AA_1.cos\left(\frac{\alpha }{2}\right)+BB_1cos\left(\frac{\beta}{2}\right)+CC_1.cos(\left(\frac{\gamma}{2}\right)=2[sen(\beta)+sen(\gamma)+sen(\alpha)][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AA_1.cos\left(\frac{\alpha }{2}\right)+BB_1cos\left(\frac{\beta}{2}\right)+CC_1.cos(\left(\frac{\gamma}{2}\right)=2[sen(\beta)+sen(\gamma)+sen(\alpha)][/tex3]

Resposta : 2


pedro1729, posta outra questão ai, ja que essa era repetida

[Deleted User 24633]

Questão 84

(IME 2005/2006) Determine os valores de [tex3]x,y,z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x,y,z[/tex3]

e [tex3]r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r[/tex3]

que satisfazem o sistema
[tex3]\begin{cases} C_{r+y}^r=\log_y x \\ \log_y z = 4 +\log_x z \\ C_{r+y}^y= \log_x z+\log_z z \end{cases} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases} C_{r+y}^r=\log_y x \\ \log_y z = 4 +\log_x z \\ C_{r+y}^y= \log_x z+\log_z z \end{cases} [/tex3]

onde [tex3]C_m^p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_m^p[/tex3]

representa a combinação de [tex3]m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m[/tex3]

elementos tomados [tex3]p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p[/tex3]

a [tex3]p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p[/tex3]

e [tex3]\log_c B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_c B[/tex3]

representa o logaritmo de [tex3]B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B[/tex3]

na base [tex3]c.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c.[/tex3]

Resposta

---

[tex3]x=8; ~y=2;~ z=64;~r=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=8; ~y=2;~ z=64;~r=1[/tex3]

---

foi mal galera

[Jvrextrue13]

Solução do Problema 84
Primeiramente, tirando algumas conclusões sobre as incógnitas :
[tex3]x>0,x\neq 1\\z>0,z\neq 1\\y>0,y\in \mathbb{N},y\neq 1\\r\in \mathbb{N}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x>0,x\neq 1\\z>0,z\neq 1\\y>0,y\in \mathbb{N},y\neq 1\\r\in \mathbb{N}[/tex3]

Agora segue as manipulações algébricas:
[tex3]\begin{pmatrix}
r+y \\
r \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
r+y \\
y \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
r+y \\
r \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
r+y \\
y \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Logo:
[tex3]log_y(x)=log_x(z)+log_z(z)\\log_y(x)=log_x(z)+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_y(x)=log_x(z)+log_z(z)\\log_y(x)=log_x(z)+1[/tex3]

Pela segunda equação, temos que
[tex3]log_y(z)=4+log_x(z)\rightarrow log_x(z)=log_y(z)-4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_y(z)=4+log_x(z)\rightarrow log_x(z)=log_y(z)-4[/tex3]

Substituindo isso na última equação encontrada temos:
[tex3]log_y(x)=1+log_y(z)-4\\\frac{log(x)}{log(y)}=\frac{log(z)}{log(y)}-3\\log(z)=log(x)+3log(y)\\ \boxed{z=x.y^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_y(x)=1+log_y(z)-4\\\frac{log(x)}{log(y)}=\frac{log(z)}{log(y)}-3\\log(z)=log(x)+3log(y)\\ \boxed{z=x.y^3}[/tex3]

Substituindo o [tex3]z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z[/tex3]

em função de [tex3]x,y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x,y[/tex3]

na segunda equação do sistema temos:
[tex3]log_y(x.y^3)=4+log_x(x.y^3)\\log_y(x)+3=4+1+3log_x(y)\\log_y(x)-3log_x(y)=2\\log_y(x)-\frac{3}{log_y(x)}=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_y(x.y^3)=4+log_x(x.y^3)\\log_y(x)+3=4+1+3log_x(y)\\log_y(x)-3log_x(y)=2\\log_y(x)-\frac{3}{log_y(x)}=2[/tex3]

Fazendo [tex3]log_y(x)=p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_y(x)=p[/tex3]

[tex3]p-\frac{3}{p}=2\\p^2-2p-3=0\\p=3 \ ou \ p=-1 \ (\text{não convém, pois x e y são inteiros)}\\ \boxed{x=y^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p-\frac{3}{p}=2\\p^2-2p-3=0\\p=3 \ ou \ p=-1 \ (\text{não convém, pois x e y são inteiros)}\\ \boxed{x=y^3}[/tex3]

Voltando para os binomiais, descobrimos então que:
[tex3]\begin{pmatrix}
r+y \\
y \\
\end{pmatrix}=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
r+y \\
y \\
\end{pmatrix}=3[/tex3]

Só existe dois binomiais no triângulo de Pascal que possuem valor 3 [tex3]\rightarrow \begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow \begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Como [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

não pode ser 1, temos que:
[tex3]y=2\\x=8\\z=64\\r=3-y=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=2\\x=8\\z=64\\r=3-y=1[/tex3]

Problema 85
ITA (2018) Encontre o conjunto solução no reais da inequação exponencial:
[tex3]3^{x-2}+\sum_{k=1}^{4}3^{x+k}\leq \frac{1081}{18}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^{x-2}+\sum_{k=1}^{4}3^{x+k}\leq \frac{1081}{18}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]x\leq log_3\left(\frac{1}{2}\right)\\x\in \mathbb{R} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\leq log_3\left(\frac{1}{2}\right)\\x\in \mathbb{R} [/tex3]

[mcarvalho]

Resolução do problema 85:

[tex3]3^{x-2}+3^x\cdot \sum_{k=1}^{4}3^{k}\leq \frac{1081}{18}\\
\frac{3^x}9+3^x\(3+3^2+3^3+3^4\)\le \frac{1081}{18}\\
3^x\(\frac 19+120\)\le \frac{1081}{18}\\
3^x\cdot \frac{1081}{9}\le \frac{1081}{18}\\
3^x\le \frac 12\rightarrow \boxed{x\le \log_3\frac 12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^{x-2}+3^x\cdot \sum_{k=1}^{4}3^{k}\leq \frac{1081}{18}\\
\frac{3^x}9+3^x\(3+3^2+3^3+3^4\)\le \frac{1081}{18}\\
3^x\(\frac 19+120\)\le \frac{1081}{18}\\
3^x\cdot \frac{1081}{9}\le \frac{1081}{18}\\
3^x\le \frac 12\rightarrow \boxed{x\le \log_3\frac 12}[/tex3]

---

Problema 86:

(IME 1974/75) Sejam o segmento de reta [tex3]\overline{MQ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{MQ}[/tex3]

e os pontos N e P sobre [tex3]\overline{MQ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{MQ}[/tex3]

, na ordem M, N, P e Q. Considere um ponto K não situado sobre a reta suporte de [tex3]\overline{MQ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{MQ}[/tex3]

. Suponha que [tex3]\overline{MN}=2\overline{NP}=2\overline{PQ}=d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{MN}=2\overline{NP}=2\overline{PQ}=d[/tex3]

e [tex3]\angle MKN=\angle NKP=\angle PKQ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle MKN=\angle NKP=\angle PKQ[/tex3]

. Determine o valor numérico da relação [tex3]\frac hd[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac hd[/tex3]

, sendo h a distância do ponto K à reta suporte de MQ.

Resposta

---

[tex3]\frac hd=\frac{\sqrt 3}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac hd=\frac{\sqrt 3}2[/tex3]

[Jvrextrue13]

Solução do Problema 86

Se [tex3]\overline {NP}= \overline{PQ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline {NP}= \overline{PQ}[/tex3]

e [tex3]\angle{NKP}=\angle{PKQ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle{NKP}=\angle{PKQ}[/tex3]

, logo, pelo teorema da bissetriz interna, o triângulo [tex3]\Delta NKQ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta NKQ[/tex3]

é isósceles e a sua altura/mediana/bissetriz [tex3]\overline{KP}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{KP}[/tex3]

mede justamente [tex3]h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h[/tex3]

.

Chamando [tex3]\angle MKN=\angle NKP=\angle PKQ=\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle MKN=\angle NKP=\angle PKQ=\alpha[/tex3]

, temos:

Em [tex3]\Delta PKQ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta PKQ[/tex3]

:
[tex3]tan(\alpha)=\frac{\frac{d}{2}}{h}=\frac{d}{2h} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tan(\alpha)=\frac{\frac{d}{2}}{h}=\frac{d}{2h} [/tex3]

Em [tex3]\Delta MKP [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta MKP [/tex3]

:
[tex3]tan(2\alpha)=\frac{\frac{3d}{2}}{h}=\frac{3d}{2h} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tan(2\alpha)=\frac{\frac{3d}{2}}{h}=\frac{3d}{2h} [/tex3]

Agora fazendo [tex3]tan(2\alpha)=\frac{2.tan(\alpha )}{1-tan^2(\alpha) } [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tan(2\alpha)=\frac{2.tan(\alpha )}{1-tan^2(\alpha) } [/tex3]

:

[tex3]\frac{2.\left(\frac{d}{2h}\right)}{1-\frac{d^2}{4h^2}}=\frac{3d}{2h}\\\frac{d}{h}=p\\\frac{p}{1-\frac{p^2}{4}}=\frac{3p}{2}\rightarrow \frac{4p}{4-p^2}=\frac{3p}{2}\rightarrow 8=12-3p^2\rightarrow 3p^2-12+8=0\\p=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2.\left(\frac{d}{2h}\right)}{1-\frac{d^2}{4h^2}}=\frac{3d}{2h}\\\frac{d}{h}=p\\\frac{p}{1-\frac{p^2}{4}}=\frac{3p}{2}\rightarrow \frac{4p}{4-p^2}=\frac{3p}{2}\rightarrow 8=12-3p^2\rightarrow 3p^2-12+8=0\\p=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex3]

Queremos [tex3]\frac{h}{d}=\frac{1}{p}\rightarrow \boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{h}{d}=\frac{1}{p}\rightarrow \boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

Problema 87
ITA(2002) Seja [tex3]k>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k>0[/tex3]

tal que a equação [tex3](x^2-x)+k(y^2-y)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^2-x)+k(y^2-y)=0[/tex3]

define uma elipse com distância focal igual a 2.Se [tex3](p,q)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](p,q)[/tex3]

são as coordenadas de um ponto da elipse, com [tex3]q^2-q\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]q^2-q\neq 0[/tex3]

, então [tex3]\frac{p-p^2}{q^2-q}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{p-p^2}{q^2-q}[/tex3]

é igual a:

[tex3]a)\ 2+\sqrt{5}\\b)\ 2-\sqrt{5}\\c)\ 2+\sqrt{3}\\d)\ 2-\sqrt{3}\\e)\ 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a)\ 2+\sqrt{5}\\b)\ 2-\sqrt{5}\\c)\ 2+\sqrt{3}\\d)\ 2-\sqrt{3}\\e)\ 2[/tex3]