Maratonas de MatemáticaIV Maratona de Matemática IME/ITA

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PedroCunha
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Set 2014 12 17:07

Re: IV Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 10

Alguns cálculos auxiliares:

[tex3]\circ \sin^3(x-270^{\circ}) = \cos ^3x \\\\
\circ \cos (360^{\circ} - x) = \cos x \\\\
\circ \tan^3 (x-90^{\circ}) = \frac{(-\cos x)^3}{\sin^3x} \\\\
\circ \cos^3 (x-270^{\circ}) = -\sin^3 x[/tex3]

Substituindo:

[tex3]f(x) = \frac{\cos^3x \cdot \cos x }{\frac{-\cos^3 x}{\cancel{\sin^3x}} \cdot \cancelto{-1}{-\sin^3 x}} \hspace{10mm} \therefore \\\\ f(x) = \frac{\cos ^3x \cdot \cos x}{\cos^3 x}, \cos ^3x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} : f(x) = \cos x[/tex3]

-------------------------------------------------------------------

Problema 11

(ITA-2004) Considerando as funções

[tex3]\text{arc} \,\, \sin :[-1;+1] \rightarrow \left [ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right ][/tex3]

e

[tex3]\text{arc} \,\, \sin :[-1;+1] \rightarrow \left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right][/tex3]

assinale o valor de [tex3]\cos \left( \text{arc} \sin \frac{3}{5} + \text{arc} \cos \frac{4}{5} \right)[/tex3]

a) [tex3]\frac{6}{25}[/tex3]
b) [tex3]\frac{7}{25}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{2}{5}[/tex3]
e) [tex3]\frac{5}{12}[/tex3]
Resposta

Alternativa b

Última edição: PedroCunha (Sex 12 Set, 2014 17:07). Total de 2 vezes.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

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lellouch
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Set 2014 16 11:22

Re: IV Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por lellouch »

Solução do problema 11

Seja [tex3]\alpha = \text{arcsen}\left(\frac{3}{5}\right)[/tex3] ,então
[tex3]\text{sen}(\alpha)=\frac{3}{5}[/tex3] .
Seja [tex3]\beta =\text{arccos}\left(\frac{4}{5}\right)[/tex3] ,então
[tex3]\cos(\beta) = \frac{4}{5}[/tex3] .
ok.PNG
ok.PNG (3.14 KiB) Exibido 1764 vezes
Mas com o auxílio da figura percebemos que [tex3]\alpha=\beta[/tex3] !
Logo [tex3]\cos(\alpha + \beta)=\cos(2\alpha)= \cos^{2}(\alpha)-\text{sen}^{2}(\alpha)[/tex3]
Substituindo valores temos:
[tex3]\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{7}{25}[/tex3] .
letra b.

------------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 12

(IME-2008) Um plano corta um cubo com aresta de comprimento 1 passando pelo ponto médio de três arestas concorrentes no vértices A e formando uma pirâmide, conforme a figura a seguir. Este processo é repetido para todos os vértices. As pirâmides obtidas são agrupadas formando um octaedro cuja área da superfície externa é:
piramide.PNG
piramide.PNG (2.3 KiB) Exibido 1764 vezes
a) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]1[/tex3]
d) [tex3]2[/tex3]
e) [tex3]2\sqrt{2}[/tex3]
Resposta

letra B

Última edição: lellouch (Ter 16 Set, 2014 11:22). Total de 2 vezes.


Geometria plana, me dê a visão alem do alcance!

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MJ14
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Set 2014 18 15:16

Re: IV Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por MJ14 »

Solução do Problema 12

Note que os lados do octaedro serão formados por triângulos equiláteros.

Para calcular a medida dos lados do triângulo equilátero:

Se a aresta mede 1, temos que a sua metade é [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Aplicando Pitágoras temos:

[tex3]h^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}[/tex3]

[tex3]h=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

A área do triângulo equilátero é calculada por:

[tex3]A=\frac{\ell^{2}\cdot\sqrt[]{3}}{4}=\frac{\left(\frac{\sqrt[]{2}}{2}\right)^{2}{\sqrt{3}}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{8}[/tex3]

Agora, basta multiplicarmos a área do triângulo equilátero por [tex3]8[/tex3] , pois é o número de lados da figura:

[tex3]S=8\left(\frac{\sqrt{3}}{8}\right)=\sqrt{3}[/tex3]

Resposta: Letra B

----------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 13

(IME-1984) Determine a soma dos números inteiros que são obtidos permutando-se, sem repetição, os algarismos [tex3]1[/tex3] , [tex3]2[/tex3] , [tex3]3[/tex3] , [tex3]4[/tex3] e [tex3]5[/tex3] .
Resposta

3.999.960
Última edição: MJ14 (Qui 18 Set, 2014 15:16). Total de 3 vezes.



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candre
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Re: IV Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por candre »

Solução do problema 13

Considerando todos os números gerados da permutação sem repetição dos algarismos [tex3]1,2,3,4[/tex3] e [tex3]5[/tex3] , temos que essa permutação gera [tex3]5!=120[/tex3] números, observe que teremos:
[tex3]S=12345+12354+\cdots+54321[/tex3]
se fixamos uma das cinco casa teremos que cada algarismo de [tex3]1[/tex3] a [tex3]5[/tex3] aparecera exatamente [tex3]4!=24[/tex3] vezes (pois fixando uma das cinco posições os outros quatro numero serão gerados por permutação sem repetição dos quatro números restantes), logo temos que como cada digito aparece [tex3]24[/tex3] vezes em cada posição, logo teremos que em cada posição a soma [tex3]1\cdot24+2\cdot24+3\cdot24+4\cdot24+5\cdot24=(1+2+3+4+5)\cdot24=15\cdot24=360[/tex3]
logo teremos:
[tex3]S=
12345+12354+\cdots+54321\\ \\
=360\cdot10000+360\cdot1000+360\cdot100+360\cdot10+360\\ \\
=3600000+360000+36000+3600+360\\ \\
=3600000+360000+36000+3960\\ \\
=3600000+360000+39960\\ \\
=3600000+399960\\ \\
=3999960[/tex3]

-----------------------------

Problema 14

(ITA-2014) Das afirmações:
  1. se [tex3]x,y\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}[/tex3] com [tex3]x\ne-y[/tex3] então [tex3]x+y\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}[/tex3]
  2. se [tex3]x\in\mathbb{Q}[/tex3] e [tex3]y\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}[/tex3] então [tex3]xy\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}[/tex3]
  3. sejam [tex3]a,b[/tex3] e [tex3]c\in\mathbb{R}[/tex3] , com [tex3]a<b<c[/tex3] . se [tex3]f:[a,c]\to[a,b][/tex3] é sobrejetora, então [tex3]f[/tex3] não é injetora.
é (são) verdadeira(s).

A. apenas I e II.
B. apenas I e III.
C. apenas II e III.
D. apenas III.
E. nenhuma.
resposta

E
ps:[tex3]A-B=\{x;x\in A\text{ e }x\not\in B\}[/tex3]
Última edição: candre (Qui 18 Set, 2014 15:54). Total de 3 vezes.


a vida e uma caixinha de surpresas.

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PedroCunha
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Re: IV Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 14

I. Falsa. Pegue por exemplo [tex3]x = 1-\sqrt2[/tex3] e [tex3]y = 1+\sqrt2[/tex3] , Assim, [tex3]x+y = 2, x+y \in \mathbb{Q}[/tex3] .

II. Falsa. Pegue por exemplo [tex3]x = 0[/tex3] e [tex3]y \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}[/tex3] . Assim, [tex3]xy = 0 , xy \in \mathbb{Q}[/tex3] .

III. Falsa. Considere a função que passa por (a,a) e (b,c). Ela é tal que:

[tex3]y - a = \frac{c-a}{b-a} \cdot (x-a) \therefore y = \frac{c-a}{b-a} \cdot (x-a) + a[/tex3]

Ela é injetora, pois para qualquer [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3] , existe apenas um valor de [tex3]y[/tex3] , ou seja, [tex3]f(x_1) = f(x_2) \Leftrightarrow x_1 = x_2[/tex3] . Prova:

[tex3]f(x_1) = f(x_2) \therefore \cancel{\frac{c-a}{b-a}} \cdot (x_1-a) + \cancel{a} = \cancel{\frac{c-a}{b-a}} \cdot (x_2-a) + \cancel{a}, c \neq a, b \neq a: \\\\ x_1 = x_2[/tex3]

Ela também é sobrejetora, pois [tex3]Im (f) = [a,b] = CD(f)[/tex3]

Alternativa e.

-----------------------------------------------------------------------------------

Problema 15

(ITA-2014) A soma [tex3]\sum_{n=1}^4 \frac{\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[n]{32}}{\log_\frac{1}{2} 8^{n+2}}[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{8}{9}[/tex3]
b) [tex3]\frac{14}{15}[/tex3]
c) [tex3]\frac{15}{16}[/tex3]
d) [tex3]\frac{17}{18}[/tex3]
e) [tex3]1[/tex3]
Resposta

Alternativa d
Última edição: PedroCunha (Sáb 20 Set, 2014 14:32). Total de 2 vezes.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

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poti
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Re: IV Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por poti »

Solução do problema 15

[tex3]\sum_{n=1}^4 \frac{\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[n]{32}}{\log_\frac{1}{2} 8^{n+2}} = \sum_{n=1}^4 \log_{8^{n+2}} \sqrt[n]{32} = \sum_{n=1}^4 \log_{2^{3n+6}} 2^{\frac{5}{n}} = \sum_{n=1}^4 \frac{5}{n} \cdot \frac{1}{3n+6} \cdot \log_2 2 = \\ \sum_{n=1}^4 \frac{5}{3n^2 + 6n} = \frac{5}{3 + 6} + \frac{5}{12 + 12} + \frac{5}{27 + 18} + \frac{5}{48 + 24} = \boxed{\frac{17}{18}}[/tex3]

Letra D

----------------------

Problema 16

(AFA - 2008) Sejam [tex3](1, a_2, a_3, a_4)[/tex3] e [tex3](1, b_2, b_3, b_4)[/tex3] uma progressão aritmética e uma progressão geométrica, respectivamente, ambas com a mesma soma dos termos e ambas crescentes. Se a razão [tex3]r[/tex3] da progressão aritmética é o dobro da razão [tex3]q[/tex3] da progressão geométrica, então o produto [tex3]rq[/tex3] é igual a

a) 15
b) 18
c) 21
d) 24
Resposta

b
Última edição: poti (Ter 23 Set, 2014 01:39). Total de 2 vezes.


VAIRREBENTA!

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PedroCunha
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Re: IV Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 16

[tex3]S_{P.A.} = S_{P.G.} \therefore \frac{(1 + a_4) \cdot 4}{2} = \frac{1 \cdot (q^4 - 1)}{q - 1} \therefore 2 \cdot (2 + 3r) = \frac{q^4-1}{q-1} \therefore \\\\ 4 + 6r = \frac{(q^2+1) \cdot (q+1) \cdot \cancel{(q-1)}}{\cancel{q-1}}, \text{ podemos cancelar pois } q > 1 : \\\\ 4 + 6 \cdot 2q = q^3 + q^2 + q + 1 \therefore q^3 + q^2 - 11q - 3 = 0[/tex3]

3 é raiz. Abaixando o grau por Briot-Ruffini:

[tex3]\begin{array} {|c|c|c|c|c|} \hline 3 & 1 & 1 & -11 & -3 \\ \hline & 1 & 4 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}[/tex3]

Ou seja, [tex3]q^3+q^2-11q-3 = (q-3) \cdot (q^2+4q+1)[/tex3] . Logo, os outros dois possíveis valores de [tex3]q[/tex3] são:

[tex3]q = \frac{-4\pm2\sqrt3}{2} \therefore q = -2\pm \sqrt3[/tex3]

Porém, como nenhum desses atende a condição [tex3]q > 1[/tex3] , ficamos com [tex3]q = 3 \Leftrightarrow r = 6 \Leftrightarrow qr = 18[/tex3]

--------------------------------------------------------------------------------------

Problema 17

(EFOMM 2014) O limite da soma da expressão [tex3]\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} + \dots[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{1}{7}[/tex3]
b) [tex3]\frac{2}{7}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3}{7}[/tex3]
d) [tex3]\frac{4}{7}[/tex3]
e) [tex3]\frac{5}{7}[/tex3]
Resposta

Alternativa c
Última edição: PedroCunha (Ter 23 Set, 2014 02:05). Total de 2 vezes.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

LPavaNNN
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Set 2014 25 12:08

Re: IV Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por LPavaNNN »

Solução do problema 17

[tex3]\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^3+...[/tex3]

[tex3]q=\left(\frac{3}{4}\right)^2[/tex3]

[tex3]S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{3}{16}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{3}{7}[/tex3]

---------------------------------------------

Problema 18

(ITA-2014)

a) Determine o valor máximo de [tex3]|Z+i|[/tex3] sabendo que [tex3]|Z-2|=1[/tex3] , [tex3]Z \in C[/tex3]

b) Se [tex3]Z_0 \in C[/tex3] satisfaz (a), determine [tex3]Z_0[/tex3]
Última edição: LPavaNNN (Qui 25 Set, 2014 12:08). Total de 4 vezes.


Lucas Pavan

Auto Excluído (ID:12031)
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Out 2014 07 20:59

Re: IV Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Solução do problema 18
[tex3]a)[/tex3] Pela desigualdade triangular:

[tex3]|z - 2 +i +2| \leq |z-2|+|2+i|[/tex3]
[tex3]|z+i| \leq 1 + \sqrt{5}[/tex3]
Logo o valor máximo de [tex3]|z+i|[/tex3] é
[tex3]1 +\sqrt{5}[/tex3]

[tex3]b)[/tex3] é necessário que os vetores [tex3]z-2[/tex3] e [tex3]2+i[/tex3] sejam paralelos(l.d), ou seja:
[tex3]z-2 = t(2+i)[/tex3]
[tex3]|z-2| = |t||2+i|[/tex3]
[tex3]1 = |t|\sqrt{5} \rightarrow t = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}[/tex3]
[tex3]z-2=\frac{1}{\sqrt{5}}(2+i)[/tex3]
[tex3]z = 2\left(1+\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + \frac{i}{\sqrt{5}}[/tex3]
repare que:
[tex3]z+i =2\left(1+\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + i\left(\frac{1}{\sqrt{5}}+1\right)[/tex3]
[tex3]|z+i| = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\sqrt{5} = 1 + \sqrt{5}[/tex3]

-----------------------------------------------------------------------------------

Problema 19

(ITA - 2014)

Para os inteiros positivos [tex3]k[/tex3] e [tex3]n[/tex3] , com [tex3]k \leq n[/tex3] , sabe-se que [tex3]\frac{n+1}{k+1}\begin{pmatrix}
n \\
k \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
n+1 \\
k+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3] .
Então, o valor de:

[tex3]\begin{pmatrix}
n \\
0 \\
\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
n \\
1 \\
\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}
n \\
2 \\
\end{pmatrix}+ ... +\frac{1}{n+1}\begin{pmatrix}
n \\
n \\
\end{pmatrix}[/tex3]
é igual a:
Resposta

[tex3]\frac{2^{n+1}-1}{n+1}[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Ter 07 Out, 2014 20:59). Total de 3 vezes.



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PedroCunha
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Re: IV Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 19

Já existente:

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/mat ... 41218.html


--------------------------------------------------------------------------------

Problema 20

(IME-2013) Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expressão [tex3][4 \cos^2 (9^{\circ}) - 3] \cdot [4\cos^2(27^{\circ}) - 3][/tex3] :

a) [tex3]\sin (9^{\circ})[/tex3]
b) [tex3]\tan (9^{\circ})[/tex3]
c) [tex3]\cos (9^{\circ})[/tex3]
d) [tex3]\sec (9^{\circ})[/tex3]
e) [tex3]\csc (9^{\circ})[/tex3]
Resposta

Alternativa b

Última edição: PedroCunha (Ter 07 Out, 2014 21:26). Total de 2 vezes.


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