Maratonas de Matemática ⇒ IV Maratona de Matemática IME/ITA

[PedroCunha]

Solução do problema 20

Lembrando que [tex3]\cos(3x) = 4\cos^3x - 3\cos x[/tex3], temos:

[tex3]\frac{\cos 9^\circ}{\cos 9^\circ} \cdot ( 4\cos^2 9^\circ - 3) \cdot (4 \cos^2 27^\circ - 3) = \frac{(4\cos^3 9^\circ - 3\cos 9^\circ) \cdot (4\cos^2 27^\circ - 3)}{\cos 9^\circ} = \\\\ \frac{\cos 27^\circ \cdot (4\cos^2 27^\circ - 3)}{\cos 9^\circ} = \frac{4\cos^3 27^\circ - 3\cos 27^\circ}{\cos 9^{\circ}} = \frac{\cos 81^\circ}{\cos 9^\circ} = \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ} = \tan 9^\circ[/tex3]

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Problema 21

(ITA-2015) Seja [tex3]M\subset \mathbb{R}[/tex3] dado por [tex3]M=(|z^{2}+az-1|:z\in \mathbb{C}~e~|z|=1)[/tex3], com [tex3]a\in \mathbb{R}[/tex3]. Determine o maior elemento de [tex3]M[/tex3] em função de [tex3]a[/tex3].

Resposta

---

[tex3]\sqrt{a^2+4}[/tex3]

[PedroCunha]

Solução do problema 21

Falemos que [tex3]f(x) = z^2+az-1[/tex3]. Temos:


[tex3]f(x) = z^2+az-1 \therefore f(x) = \frac{z'}{z'} \cdot \left( z^2 + az - 1 \right) \therefore f(x) = \frac{|z| \cdot z + a|z| - z'}{z'} \therefore \\\\ f(x) = \frac{-z' + z + a}{z'} \therefore f(x) = \frac{-x+yi+x+yi+a}{x-yi} \therefore f(x) = \frac{a + i \cdot 2y}{x-yi} \therefore \\\\ f(x) = \frac{ax + ayi + i \cdot 2xy + i^2 \cdot 2y^2}{\underbrace{x^2+y^2}_{|z| = 1}} \therefore \\\\ f(x) = (ax - 2y^2) + i \cdot (ay + 2xy)[/tex3]

Então:

[tex3]|f(x)| = \sqrt{(ax-2y^2)^2 + (ay+2xy)^2} = \\ \sqrt{a^2x^2 - 4axy^2 + 4y^4 + a^2y^2 + 4axy^2 + 4x^2y^2} = \\ \sqrt{ 4y^4 + 4x^2y^2 + a^2y^2 + a^2x^2} = \sqrt{(a^2y^2 + 4y^4) + (a^2x^2+4x^2y^2)} = \\ \sqrt{y^2 \cdot (a^2+4y^2) + x^2 \cdot (a^2+4y^2)} = \sqrt{\underbrace{(x^2+y^2)}_{|z|=1} \cdot (a^2+4y^2)} \\ = \sqrt{a^2+4y^2}[/tex3]

Bom, como [tex3]|z| = 1 \Leftrightarrow x^2+y^2 = 1 \Leftrightarrow y^2 = 1 - x^2[/tex3]. Com isso, o maior valor possível de [tex3]y^2[/tex3] é [tex3]1[/tex3]. Logo, [tex3]M_{\text{m\'{a}x}} = \sqrt{a^2+4}[/tex3].

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Problema 22

(ITA-2015) Sejam [tex3]\alpha ~e~\beta[/tex3] números reais tais que [tex3]\alpha,\beta ,\alpha +\beta \in ]0,2\pi [[/tex3] e satisfazem as equações

[tex3]cos^{2}~\frac{\alpha }{2}=\frac{4}{5}~cos^{4}~\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{5}~e~cos^{2}~\frac{\beta }{3}=\frac{4}{7}~cos^{4}~\frac{\beta }{3}+\frac{3}{7}[/tex3]

Determine o menor valor de [tex3]cos(\alpha +\beta )[/tex3].

Resposta

---

[tex3]-\frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

[Ittalo25]

Solução do problema 22

A primeira expressão:

[tex3]\cos^{2}~\frac{\alpha }{2}=\frac{4}{5}~\cos^{4}~\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{5}[/tex3]

[tex3]5\cos^{2}~\frac{\alpha }{2}=4~\cos^{4}~\frac{\alpha }{2}+1[/tex3]

Fazendo: [tex3]y = \cos^2\frac{\alpha }{2}[/tex3]

[tex3]4y^2-5y+1 = 0\rightarrow \begin{cases}
\cos^2\frac{\alpha }{2}=1 \\
\cos^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{4}
\end{cases}[/tex3]

Só a segunda raiz convém pelo domínio dado:

[tex3]\cos^2\frac{\alpha }{2} = \frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{\cos\alpha +1}{2} = \frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]\cos\alpha = -\frac{1}{2} \rightarrow \sen\alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

A segunda expressão:

[tex3]\cos^{2}~\frac{\beta }{3}=\frac{4}{7}~\cos^{4}~\frac{\beta }{3}+\frac{3}{7}[/tex3]

[tex3]7\cos^{2}~\frac{\beta }{3}=4\cos^{4}~\frac{\beta }{3}+3[/tex3]

Fazendo: [tex3]y = \cos^2\frac{\beta }{3}[/tex3]

[tex3]4y^2-7y+3=0 \rightarrow \begin{cases}
\cos^2\frac{\beta}{3}=1\rightarrow \sen^2\frac{\beta}{3} = 0
\\
\cos^2\frac{\beta}{3}=\frac{3}{4}\rightarrow \sen^2\frac{\beta}{3} = \frac{1}{4}
\end{cases}[/tex3]

Só a segunda raiz convém pelo domínio dado.

[tex3]\cos\frac{\beta}{3} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \rightarrow \sen\frac{\beta}{3}=\pm \frac{1}{2}[/tex3]

A expressão pedida:

[tex3]\cos(\alpha+\beta) = \cos\left(\alpha+\frac{3\cdot\beta}{3}\right) = \cos\alpha \cdot\cos\frac{3\beta}{3}-\sen\alpha \cdot\sen\frac{3\beta}{3}[/tex3]

Usando a fórmula do arco triplo:

[tex3]-\frac{1}{2}\cdot\left(4\cdot\cos^3\frac{\beta}{3}-3\cdot\cos\frac{\beta}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(3\cdot \sen\frac{\beta}{3}-4\cdot\sen^3\frac{\beta}{3}\right) =[/tex3]

[tex3]-\frac{1}{2}\cdot\left(4\cdot\frac{3}{4}\cdot\cos\frac{\beta}{3}-3\cdot\cos\frac{\beta}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(3\cdot\sen\frac{\beta}{3}-4\cdot\frac{1}{4}\cdot\sen\frac{\beta}{3}\right) =[/tex3]

[tex3]-\sqrt{3}\cdot\sen\frac{\beta}{3} =[/tex3]

O menor valor vai ser para o [tex3]\sen\frac{\beta}{3}[/tex3] positivo....

[tex3]-\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2} =[/tex3]

[tex3]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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Problema 23

(ITA - 2015) Sabe-se que a equação [tex3]3x^2+5xy-2y^2-3x+8y-6=0[/tex3] representa a reunião de duas retas concorrentes, [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3], formando um ângulo agudo [tex3]\theta[/tex3]. Determine a tangente de [tex3]\theta[/tex3].

Resposta

---

7

[PedroCunha]

Solução do problema 23

Fatorando a equação:

[tex3]3x^2+5xy-2y^2-3x+8y-6 = 0 \therefore 3x^2 + x \cdot (5y-3) + 2 \cdot (-y^2+4y-3) = 0 \\\\

\triangle = (5y-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot (-y^2+4y-3) \therefore \triangle = 25y^2 -30y + 9 + 24y^2 -96y+72 \therefore \\\\ \triangle = 49y^2 - 126y^2 + 81 = (7y-9)^2 \\\\

x = \frac{-5y+3 \pm (7y-9)}{6} \\\\

\circ 6x = 2y-6 \therefore 6x+6 = 2y \therefore y = 3x+3 \\
\circ 6x = -12y+12 \therefore -6x+12 = 12y \therefore y = -\frac{x}{2} + 1[/tex3]

Então, a tangente do ângulo formado entre as retas é:

[tex3]\tan \theta = \left| \frac{3 - \left( -\frac{1}{2} \right)}{1 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \right| = \left| \frac{\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}} \right| = 7[/tex3]

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Problema 24

(IME-2014) Resolva a equação [tex3](\log_{\cos x} \sin^2x) \cdot (\log_{\cos^2x} \sin x) = 4[/tex3].

Resposta

---

[tex3]x = \operatorname{arc} \sin \left( \frac{-1+\sqrt5}{2} \right) + 2k\pi, \text{ com } k \in \mathbb{Z}[/tex3]

[Ittalo25]

Solução do problema 24

Condição de existência do logaritmo:

[tex3]\cos x\neq 0[/tex3] e [tex3]\sen x>0[/tex3]

A expressão:

[tex3](\log_{\cos x} \sen^2x) \cdot (\log_{\cos^2x} \sen x) = 4[/tex3]

[tex3](\log_{\cos x} \sen^2x) \cdot \frac{1}{2}(\log_{\cos x} \sen x) = 4[/tex3]

[tex3](\log_{\cos x} \sen^2x) \cdot (\log_{\cos x} \sen x) = 8[/tex3]

[tex3]2.(\log_{\cos x} \sen x) \cdot (\log_{\cos x} \sen x) = 8[/tex3]

[tex3](\log_{\cos x} \sen x)^2 = 4[/tex3]

[tex3](\log_{\cos x} \sen x) = 2[/tex3]

[tex3]\sen x = \cos^2 x[/tex3]

[tex3]\sen^2 x + \sen x -1 = 0 \rightarrow \begin{cases}
\sen x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
\sen x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}
\end{cases}[/tex3]

Só a primeira raiz convém pela condição de existência.

[tex3]x = \operatorname{arc} \sen \left( \frac{-1+\sqrt5}{2} \right) + 2k\pi[/tex3]

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Problema 25

(ITA-2015) Num triângulo PQR, considere os pontos M e N pertencentes aos lados PQ e PR, respectivamente, tais que o segmento MN seja tangente à circunferência inscrita ao triângulo PQR. Sabendo-se que o perímetro do triângulo PQR é 25 e que a medida de QR é 10, então o perímetro do triângulo PMN é igual a:

a) 5
b) 6
c) 8
d) 10
e) 15

Resposta

---

a)

[PedroCunha]

Solução do problema 25

Podemos montar a seguinte figura:

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Na qual temos [tex3]MA = MS, NC = NS, QA = QB, RB = RC[/tex3].

Se [tex3]QR = 10[/tex3], então [tex3]QB+RB = 10 \therefore QB+QA+RB+RC = 20[/tex3].

Como o perímetro do triângulo [tex3]PQR[/tex3] é [tex3]25[/tex3]:

[tex3]PM + MA + QA + QB + RB + RC + NC + PN = 25 \therefore \\\\ PM+MA+NC+PN = 5 \therefore PM + (MS+NS)+PN = 5 \therefore PM + MN + PN = 5 \\\\ \Leftrightarrow 2p_{PMN} = 5[/tex3]

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Problema 26

(ITA-2015) Seja [tex3]S[/tex3] o conjunto de todos os polinômios de grau [tex3]4[/tex3] que têm três dos seus coeficientes iguais a [tex3]2[/tex3] e os outros dois iguais a [tex3]1[/tex3].

a) Determine o número de elementos de [tex3]S[/tex3].
b) Determine o subconjunto de [tex3]S[/tex3] formado pelos polinômios que têm [tex3]-1[/tex3] como uma de suas raízes.

Resposta

---

Letra a: [tex3]10[/tex3]
Letra b: [tex3]S = \{ x^4+2x^3+2x^2+2x+1, x^4+2x^3+1+2x+2,2x^4+2x^3+x^2+2x+1\}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 26

a) Como temos um polinômio de grau 4 o número de termos será 5. Escolhendo aleatoriamente 3 posição das 5 possíveis temos que:
[tex3]C_{5,3}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10[/tex3]

b) Do enunciado sabemos que [tex3]p(-1)=0[/tex3], sendo que:
[tex3]p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/tex3]

Logo,
[tex3]p(-1)=a-b+c-d+e=0[/tex3]
[tex3]a+c+e=b+d[/tex3]

Para que a igualdade aconteça, devemos ter:
[tex3]b=d=2[/tex3]
[tex3]a,c,e \in {(1,1,2); (1,2,1); (2,1,1)}[/tex3]

Portanto,
[tex3]S=\{x^4+2x^3+x^2+2x+2;\,\,\,\, x^4+2x^3+2x^2+2x+1;\,\,\,\, 2x^4+2x^3+x^2+2x+1; \}[/tex3]

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Problema 27

(ITA - 2015) Seja [tex3]n[/tex3] um número inteiro positivo tal que [tex3]\sin \frac{\pi}{2n}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}[/tex3]

a) Determine n.
b) Determine [tex3]\sin \frac{\pi}{24}[/tex3]

Resposta

---

a) [tex3]n=6[/tex3]
b) [tex3]\sin\frac{\pi}{24}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2}=\sqrt{\frac{4-\sqrt{2}-\sqrt{6} }{8}}[/tex3]

[theblackmamba]

Solução do Problema 27

a) Partindo da relação trigonométrica:
[tex3]\cos2x=1-2\sin^2x[/tex3], fazendo [tex3]x=\frac{\pi}{2n}[/tex3]:
[tex3]\cos \frac{\pi}{n}=1-2\cdot \frac{(2-\sqrt{3})}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi}{6}\therefore\boxed{n=6}[/tex3].

b) Partindo da mesma relação encontramos [tex3]\sin\frac{\pi}{24}=\sqrt{\frac{1-\cos \frac{\pi}{12}}{2}}[/tex3]

Da relação fundamental:
[tex3]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex3]
[tex3]\cos^2\frac{\pi}{12}=1-\sin^2\frac{\pi}{12}=1-\frac{2-\sqrt{3}}{4}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]\cos\frac{\pi}{12}=+\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}[/tex3]

Logo,
[tex3]\sin \frac{\pi}{24}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}{2}}\,\,\Rightarrow\,\,\boxed{\sin \frac{\pi}{24}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2}}[/tex3]

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Problema 28

(ITA - 2015) Os valores de [tex3]x\,\,\in\,\,[0,2\pi][/tex3] que satisfazem a equação [tex3]2\sin x-\cos x=1[/tex3] são:

[tex3]a)\,\,\arccos\frac{3}{5};\,\,\pi[/tex3]
[tex3]b)\,\,\arcsin\frac{3}{5};\,\,\pi[/tex3]
[tex3]c)\,\,\arcsin-\frac{4}{5};\,\,\pi[/tex3]
[tex3]d)\,\,\arccos-\frac{4}{5};\,\,\pi[/tex3]
[tex3]e)\,\,\arccos\frac{4}{5};\,\,\pi[/tex3]

Resposta

---

a)

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 28

Da relação fundamental temos:
[tex3]\sin^2 x +\cos^2 x=1\hspace{20px}(1)[/tex3]

Reescrevendo o enunciando,
[tex3]\cos x=2\sin x -1\hspace{20px}(2)[/tex3]

De [tex3](2)\,\, em\,\, (1)[/tex3]
[tex3]\sin^2 x +(2\sin x -1)=1[/tex3]
[tex3]\sin^2 x +4\sin^2 x -2sinx +1=1[/tex3]
[tex3]5\sin^2x+4\sin x=0[/tex3]

Temos como solução:

[tex3]\sin x= \frac{4}{5}\therefore \cos x= \frac{3}{5}[/tex3]
[tex3]\sin x = 0\Rightarrow x\in \{0; \pi\}[/tex3]

Mas [tex3]x=0[/tex3] não satisfaz a equação inicial, portanto a resposta correta é [tex3]\boxed{x=\pi}[/tex3]

[tex3]\sin x= \frac{4}{5}\Rightarrow x =\arcsin \left(\frac{4}{5}\right)[/tex3]
[tex3]\cos x= \frac{3}{5}\Rightarrow x =\arccos \left(\frac{3}{5}\right)[/tex3]

Assim temos como resposta a Letra A.
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Problema 2

(ITA - 2015) Seja [tex3]A= (a_{ij})_{5x5}[/tex3] a matriz tal que [tex3]a_{ij}= 2^{i-1}(2j-1), 1\leq i\cdot j \leq 5[/tex3]. Considere as afirmações a seguir:

I. Os elementos de cada linha [tex3]i[/tex3] formam uma progressão aritmética de razão [tex3]2^i[/tex3].
II. Os elementos de cada coluna [tex3]j[/tex3] formam uma progressão geométrica de razão [tex3]2[/tex3].
III. tr A é um número primo.

É(são) verdadeira(s)

a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas II e III.
d) apenas I e III.
e) I, II e III.

Resposta

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Letra E

[PedroCunha]

Solução do problema 29

I:

É fácil verificar.

[tex3]a_{ij+1} - a_{ij} = 2^{i-1} \cdot (2 \cdot (j+1) - 1) - 2^{i-1} \cdot (2 \cdot j - 1) \therefore \\\\ a_{ij+1} - a_{ij} = 2^{i-1} \cdot (2j-1 - 2j + 1) = 2^i[/tex3]

Verdadeira.

II:

Da mesma maneira:

[tex3]\frac{a_{i+1j}}{a_{ij}} = \frac{2^i \cdot (2 \cdot j - 1)}{2^{i-1} \cdot (2 \cdot j - 1)} = 2[/tex3]

Verdadeira.

III:

Para resolver essa, basta montarmos a matriz. Com as informações obtidas nas afirmações anteriores, fica fácil:

[tex3]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 2 & 6 & 10 & 14 & 18 \\ 4 & 12 & 20 & 28 & 36 \\ 8 & 24 & 40 & 56 & 72 \\ 16 & 48 & 80 & 112 & 144 \end{bmatrix}[/tex3]

Assim, [tex3]\operatorname{trace}(A) = 1 + 6 + 20 + 56 + 144 = 227[/tex3], que é primo.

Alternativa e.

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Problema 30

(ITA - 2015) Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista [tex3]h[/tex3] do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de:

a) [tex3]\sqrt[3]{2} - h[/tex3]
b) [tex3]\sqrt[3]{2} - 1[/tex3]
c) [tex3](\sqrt[3]{2} - 1)h[/tex3]
d) [tex3]h[/tex3]
e) [tex3]\frac{h}{2}[/tex3]

Resposta

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Alternativa c