Maratonas de MatemáticaI Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

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PedroCunha
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Dez 2014 26 00:21

Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 150

O seno é crescente no intervalo [tex3]\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right][/tex3] . Logo:

[tex3]\sen 45^{\circ} < \sen 50^{\circ} < \sen 60^{\circ} \therefore \frac{\sqrt2}{2} < \sen 50^{\circ} < \frac{\sqrt3}{2} \therefore 0,7 < \sen 50^{\circ} < 0,85[/tex3]

Alternativa d.

----------------------------------------------------------

Problema 151

(UNICAMP-2000)

a) Resolva a equação: [tex3]x^4-5x-6 = 0[/tex3] .

b) Mostre que, se [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números reais e se não são ambos nulos, então as raízes da equação [tex3]x^4 + ax + b = 0[/tex3] não podem ser todas reais.
Resposta

Letra a: [tex3]S = \left\{ -1, 2, -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{11}}{2} i \right\}[/tex3]
Letra b: demonstração

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LucasPinafi
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução problema 151
a) [tex3]x^4-5x-6=0[/tex3]
[tex3]p[/tex3] é divisor de 6 [tex3]\Rightarrow p \in \{-1,1,-2,2,-3,3\}[/tex3]
[tex3]q[/tex3] é divisor de 1 [tex3]\Rightarrow q \in \{-1,1\}[/tex3]
[tex3]\frac{p}{q} \in \{-1,1,-2,2,-3,3\}[/tex3]
Testando os valores acima, vemos que duas das raízes dessa equação é [tex3]x=-1[/tex3] e [tex3]x=2[/tex3]
Assim, podemos reescrever essa equação como:
[tex3]x^4-5x-6=0 \Longleftrightarrow (x+1)(x-2)p(x)=0[/tex3] , onde [tex3]p(x)[/tex3] pode ser calculada pelo método da chave:
[tex3]x^4-5x-6=(x^2-x-2)(x^2+x+3)=0[/tex3]
As outras duas raízes são obtidas calculando [tex3]x^2+x+3=0[/tex3] :
[tex3]x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4.3}}{2} \Rightarrow x=\frac{-1 \pm i \sqrt{11}}{2}[/tex3]
[tex3]\Delta =-3x_1^2-3x_2^2-2x_1x_3=-2x_1^2-2x_2^2-x_1^2-x_2^2-2x_1x_2[/tex3]
Assim, as raízes são:
[tex3]\left(-1,\,2,\, \frac{1+ i\sqrt{11}}{2},\, \frac{1-i \sqrt{11}}{2}\right)[/tex3]
b) Temos os seguintes casos a considerar:
[tex3]a=0, b \neq 0[/tex3] ; [tex3]a\neq 0, b=0[/tex3] , [tex3]a \neq 0, b \neq 0[/tex3]
(i) [tex3]a=0, b \neq 0[/tex3] :
[tex3]x^4+b=0 \Rightarrow x^4=-b[/tex3] . Se [tex3]b>0[/tex3] as quatro raízes será complexas, e se [tex3]b<0[/tex3] , temos que duas raízes serão complexas.
(ii) [tex3]a \neq 0, b=0[/tex3]
[tex3]x^4+ax=0 \Rightarrow x(x^3+a)=0[/tex3] . Uma raiz é [tex3]x=0[/tex3] , enquanto as duas restantes serão obtidas fazendo [tex3]x^3+a=0 \Rightarrow x^3=-a[/tex3] . Nesse caso, para todo a real a equação terá duas raízes complexas.
(iii) [tex3]a \neq 0, b \neq 0[/tex3]
Vamos supor que duas raízes sejam reais. Sejam [tex3]x_1, x_2[/tex3] essas raízes. Pelo algoritmo de Briot-Ruffini, podemos escrever:
[tex3](x-x_1)(x-x_2)(x^2+x(x_1+x_2)+x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=x^4+ax+b=0[/tex3]
Para obter as demais raízes, basta fazer [tex3]x^2+x(x_1+x_2)+x_1^2+x_1x_2+x_2^2=0[/tex3]
[tex3]\Delta = (x_1+x_2)^2-4.(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1^2-4x_1x_2-4x_2^2[/tex3]
[tex3]\Delta =-2x_1^2-2x_2^2-x_1^2-x_2^2-2x_1x_2=-2(x_1^2+x_2^2)-(x_1+x_2)^2 <0[/tex3]
Fica assim provado que para a equação [tex3]x^4+ax+b=0[/tex3] todas as raízes não poderão ser real. Pelo menos duas deverão ser complexas.

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Problema 152

[Unicamp-2001] Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15.

a) Quais são esses números?
b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.
c) Sendo a e b os outros ângulos desse triângulo, mostre que [tex3]\sin^2 a-\sin^2b<\frac{1}{4}[/tex3]
Resposta

a) 3,5,7 b)120° c) demonstração

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Ittalo25
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 152

a)

[tex3](2x+1)+(2x+3)+(2x+5) = 15 \rightarrow x = 1\rightarrow \begin{cases}
3 \\
5 \\
7
\end{cases}[/tex3]

b)

O maior ângulo é oposto ao maior lado. Lei dos cossenos:

[tex3]7^2 = 3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos\alpha[/tex3]

[tex3]-\frac{1}{2} = \cos\alpha[/tex3]

Portanto:

[tex3]\alpha = \arccos\(-\frac{1}{2}\) = 120^o[/tex3]

c)

Usando a lei dos senos duas vezes:

[tex3]\begin{cases}
\frac{7}{\sen 120^o}=\frac{5}{\sen \alpha } \\
\frac{7}{\sen 120^o}=\frac{3}{\sen \beta }
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\sen \alpha = -\frac{5}{14} \\
\sen \beta = -\frac{3}{14}
\end{cases}[/tex3]

Daí:

[tex3]\sen ^2 a-\sen ^2b<\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{25}{14^2}-\frac{9}{14^2}<\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{16}{14^2}<\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{4}{14}<\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{2}{7}<\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]4<7[/tex3]

[tex3]c.q.d.[/tex3]

Problema 153

(Unicamp-2002) Uma piscina, cuja capacidade é de 120m³, leva 20 horas para ser esvaziada. O volume de água na piscina, t horas após o início do processo de esvaziamento, é dado pela função [tex3]v(t)= a\cdot (b-t)^2[/tex3] para 0≤ t≤ 20 e V(t) = 0 para t≥ 20.

a) Calcule as constantes a e b.
b) Faça o gráfico da função V(t) para t∈[0,30].
Resposta

a) a= [tex3]\frac{3}{10} b=20[/tex3]
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LucasPinafi
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução problema 153

a) Quando [tex3]t=0[/tex3] , [tex3]v(t)=120[/tex3]
[tex3]v(0)=a(b-0)^2 \Rightarrow 120=ab^2[/tex3] (i)
[tex3]v(20)=0 \Rightarrow a(b-20)^2=0[/tex3] (ii)
Como [tex3]a\neq 0[/tex3] , pois o segundo membro de (i) não pode ser nulo, só nos resta fazer [tex3]b-20=0[/tex3] , ou seja, [tex3]b=20[/tex3]
[tex3]120=ab^2 \Rightarrow \frac{120}{400}=a \Rightarrow a=\frac{3}{10}=0,3[/tex3]
[tex3]\therefore a=0,3, b=20[/tex3]

b) O gráfico de v(t) tem duas partes:
(i) Uma parábola em [0,20[. Essa parábola tem concavidade voltada para cima, pois a=0,3>0 e;
(ii) Uma reta que é o próprio eixo t em [20,30]:
grafico.png
grafico.png (8.14 KiB) Exibido 2140 vezes
-------------------------------------------------

Problema 154
[Unicamp-2002] A população de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções [tex3]A(t)=\log_8(1+t)^6[/tex3] e [tex3]B(t)=\log_2(4t+4)[/tex3] , onde a variável t representa o tempo em anos.

a) Qual a população de cada uma das cidades em t=1 e t=7?
b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é maior do que a outra. Identifique esse instante t e a cidade cuja a população é maior a partir desse momento.
Resposta

a)[tex3]A(1)=2000, A(7)=6000, B(1)=3000, B(7)=5000[/tex3]
b) [tex3]t=3 , A(t) \geq B(t), t \geq3[/tex3]
Última edição: LucasPinafi (Sex 26 Dez, 2014 19:58). Total de 4 vezes.


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PedroCunha
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 154

Letra a:

Para [tex3]t = 1[/tex3] :

[tex3]\begin{cases}

A(1) = \log_8 2^6 \therefore A(1) = 6 \cdot \log_{2^3} 2 \therefore A(1) = 2 \cdot \log_2 2 = 2 \Leftrightarrow \text{ 2000 mil habitantes} \\
B(1) = \log_2 8 \therefore B(1) = 3 \Leftrightarrow \text{ 3000 mil habitantes }

\end{cases}[/tex3]

Para [tex3]t = 7[/tex3]

[tex3]A(7) = \log_8 8^6 \therefore A(2) = 6 \cdot \log_{2^3} 8 \therefore A(2) = 2 \cdot \log_2 8 = 6 \Leftrightarrow \text{ 6000 mil habitantes } \\
B(7) = \log_2 32 \therefore B(2) = 5 \Leftrightarrow \text{ 5000 mil habitantes }[/tex3]

Letra b:

Supondo que seja a cidade A:

[tex3]\log_8 (1+t)^6 > \log_2 (4t+4) \therefore 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \log_2 (1+t) > \log_2 [4 \cdot (1+t)] \therefore \\\\ 2 \log_2 (1+t) > 2 + \log_2 (1+t) \therefore \log_2 (1+t) > 2 \therefore 1+t > 4 \therefore t > 3[/tex3]

A suposição estava correta e a população de A será maior que a população de B a partir do instante [tex3]t = 3[/tex3] .

------------------------------------------------------------------------------

Problema 155

(FUVEST-2004) Seja [tex3]m \geq 0[/tex3] um número real e sejam [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] funções reais definidas por [tex3]f(x) = x^2 - 2|x| +1[/tex3] e [tex3]g(x) = mx+2m[/tex3] .

a) Esboçar, no plano cartesiano os gráficos de [tex3]f[/tex3] e de [tex3]g[/tex3] quando [tex3]m = \frac{1}{4}[/tex3] e [tex3]m = 1[/tex3] .
b) Determinar as raízes de [tex3]f(x)=g(x)[/tex3] quando [tex3]m = \frac{1}{2}[/tex3] .
c) Determinar, em função de [tex3]m[/tex3] , o número de raízes da equação [tex3]f(x) = g(x)[/tex3]
Resposta

Letra a: desenho
Letra b: [tex3]-\frac{3}{2}, 0 , \frac{5}{2}[/tex3]
Letra c:
[tex3]m = 0 \Leftrightarrow \text{ 2 ra\'{i}zes reais } \\\\ 0 < m < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \text{ 4 ra\'{i}zes reais} \\\\ m = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \text{ 3 ra\'{i}zes reais } \\\\ m > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \text{ 2 ra\'{i}zes reais }[/tex3]
Última edição: PedroCunha (Sáb 27 Dez, 2014 10:25). Total de 2 vezes.


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caju
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por caju »

Muito obrigado a todos pela participação.

Temos agora um material belo para os que pretendem estudar para estes vestibulares! Aproveitem

Em março/2015 iremos abrir as novas maratonas deste ano. Aguardem!

Espero que tenha sido útil para os estudos.

Grande abraço,
Prof. Caju



"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

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