Maratonas de MatemáticaI Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 140

Letra a:

[tex3]\begin{cases}

a_7 - a_2 = 3 \therefore a_1q^6 - a_1q = 3 \therefore a_1q \cdot (q^5 - 1) = 3 \therefore q^5 - 1 = \frac{3}{a_1q} \\\\
S_5 = \frac{1}{2} \therefore \frac{a_1 \cdot (q^5-1)}{q-1} = \frac{1}{2} \therefore \frac{3}{q^2-q} = \frac{1}{2} \therefore q^2-q-6 = 0 , q < 0: q = -2

\end{cases}[/tex3]

Letra b:

[tex3]\begin{cases}

(-2)^5 - 1 = \frac{3}{-2a_1} \therefore a_1 = \frac{1}{22} \\
S_3 = \frac{\frac{1}{22} \cdot ( -8 - 1)}{-2-1} \therefore S_3 = \frac{3}{22}

\end{cases}[/tex3]

-------------------------------------------------------------

Problema 141

(FUVEST-2006) Uma função [tex3]f[/tex3] satisfaz a identidade [tex3]f(ax) = a \cdot f(x)[/tex3] para todos os números reais [tex3]a[/tex3] e [tex3]x[/tex3] . Além disso, sabe-se que [tex3]f(4) = 2[/tex3] . Considere ainda a função [tex3]g(x) = f(x-1) + 1[/tex3] para todo número real [tex3]x[/tex3] .

a) Calcule [tex3]g(3)[/tex3] .
b) Determine [tex3]f(x)[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] real.
c) Resolva a equação [tex3]g(x) = 8[/tex3] .
Resposta

Letra a: [tex3]g(3) = 2[/tex3]
Letra b: [tex3]f(x) = \frac{x}{2}[/tex3]
Letra c: [tex3]x = 15[/tex3]

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LucasPinafi
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução problema 141

a) Sabemos, inicialmente que:
[tex3]f(ax)=af(x)[/tex3]
Queremos calcular o valor de g(3), sendo g uma função definida como [tex3]g(x)=f(x-1)+1[/tex3] :
[tex3]g(3)=f(2)+1[/tex3]
[tex3]f(ax)=af(x) \Longleftrightarrow f(2.2)=2.f(2) \Longrightarrow2=2 f(2) \Leftrightarrow f(2)=1[/tex3]
Então: [tex3]g(3)=1+1=2[/tex3]

b) Se [tex3]a=\frac{4}{x}[/tex3] , então:
[tex3]f\left( \frac{4}{x}x\right)= \frac{4}{x} f(x) \Longrightarrow f(4)=\frac{4}{x}f(x) \Longrightarrow 2=\frac{4}{x}f(x)\Longrightarrow f(x)= \frac{x}{2}[/tex3]

c) [tex3]g(x)=8 \Longrightarrow f(x-1)+1=8\Longrightarrow f(x-1)=7 \Longrightarrow \frac{x-1}{2}=7 \Longleftrightarrow x=15[/tex3]

-----------------------------------------------------------

Questão 142

[Fuvest -2004] Considere a equação [tex3]z^2= \alpha z+(\alpha-1) \overline{z}[/tex3] , onde [tex3]\alpha[/tex3] é um real e [tex3]\overline{z}[/tex3] é o conjugado do número complexo z.

a) Determinar o valor de [tex3]\alpha[/tex3] para que a equação tenha quatro raízes distintas.
b) Representar no plano complexo as raízes dessa equação, quando [tex3]\alpha=0[/tex3] .
Resposta

a) [tex3]\alpha < \frac{3}{4} \ e \ \alpha \neq \frac{1}{2}[/tex3]

b) Para [tex3]\alpha =0[/tex3] , as raízes da equação são (0,0), [tex3]\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \left(\frac{1}{2}, \frac{-\sqrt{3}}{2}\right)[/tex3]

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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 142

Letra a:

Seja [tex3]z = x+yi[/tex3] . Temos:

[tex3](x+yi)^2 = \alpha \cdot (x+yi) + (\alpha - 1) \cdot (x-yi) \therefore \\\\ x^2+2xyi -y^2 = \alpha x \cancel{+ \alpha yi} + \alpha x \cancel{- \alpha y i} - x + yi = 0 \therefore \\\\ \{x^2+ x \cdot (1 - 2\alpha) - y^2\} + i \cdot (2xy-y) = 0 \\\\

\circ 2xy-y = 0 \therefore y \cdot (2x-1) = 0 \Leftrightarrow y = 0 \text{ ou } x = \frac{1}{2} \\\\

\rightarrow y = 0: x^2 + x \cdot (1 - 2\alpha) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ ou } x = 2\alpha - 1 \\
\rightarrow x = \frac{1}{2}: \frac{1}{4} + \frac{1-2\alpha}{2} -y^2 = 0 \therefore 1 - 4\alpha + 2 - 4y^2 = 0 \therefore y^2 = \frac{3-4\alpha}{4} \therefore \\\\ y = \frac{\sqrt{4\alpha-1}}{2} \Leftrightarrow 3-4\alpha \neq 1 \therefore \alpha \neq \frac{1}{2} \text{ e } 3 - 4\alpha > 0 \therefore \alpha < \frac{3}{4}[/tex3]

Letra b:

Para [tex3]\alpha = 0[/tex3] , temos:

[tex3]z^2 = -\overline{z} \therefore (x+yi)^2 + (x-yi) = 0 \therefore x^2 + 2xyi - y^2 + x - yi = 0 \therefore \\\\ (x^2+x-y^2) + i \cdot (2xy-y) = 0 \\\\ \rightarrow 2xy-y = 0 \therefore y \cdot (2x-1) = 0 \therefore y = 0 \text{ ou } x = \frac{1}{2} \\\\
\rightarrow y = 0 : x^2+x = 0 \therefore x \cdot (x+1) = 0 \therefore x = 0 \text{ ou } x = -1 \\
\rightarrow x = \frac{1}{2}: \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - y^2 = 0 \therefore y = \pm \frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

Logo, as raízes são:

[tex3](0,0), (0,-1), \left( \frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt3}{2} \right)[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 143

(FUVEST-2004) O produto de duas das raízes do polinômio [tex3]p(x) = 2x^3 - mx^2+4x+3[/tex3] é igual a [tex3]-1[/tex3] . Determinar

a) o valor de [tex3]m[/tex3] .
b) as raízes de [tex3]p[/tex3]
Resposta

Letra a: [tex3]m = 7[/tex3]
Letra b: [tex3]S = \left\{ \frac{3}{2}, 1+\sqrt2, 1-\sqrt2 \right\}[/tex3]
Última edição: PedroCunha (Seg 22 Dez, 2014 22:49). Total de 2 vezes.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução problema 143

Pelas relações de Girard, temos: (considere [tex3]x_1,x_2,x_3[/tex3] as raízes de [tex3]p(x)[/tex3] ).
[tex3]x_1 x_2 x_3= -\frac{3}{2} \Rightarrow (-1) x_3 =\frac{3}{2} \Leftrightarrow x_3= \frac{3}{2}[/tex3]

a) [tex3]p\left( \frac{3}{2}\right)=0 \Rightarrow 2 \cdot \left(\frac{27}{8}\right) -m \frac{9}{4}+ 4\cdot \frac{3}{2}+3=0[/tex3]
[tex3]\frac{9m}{4}=\frac{63}{4} \Longleftrightarrow \boxed {m=7}[/tex3]
b) Temos:
[tex3]x_1\cdot x_2=-1[/tex3]
[tex3]x_1+x_2+x_3= \frac{7}{2} \Rightarrow x_1+x_2= \frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2[/tex3] . Então:
[tex3]x_1-\frac{1}{x_1}=2 \Rightarrow x_1^2-1=2x_1 \Rightarrow x_1^2-2x_1-1=0[/tex3]
[tex3]x_1=\frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2}=1\pm \sqrt{2}[/tex3]
Considerando [tex3]x_1=1+\sqrt{2}[/tex3] , temos:
[tex3]x_1x_2=-1 \Rightarrow x_2=\frac{-1}{1+\sqrt{2}}=1-\sqrt{2}[/tex3]
Assim, as raízes são [tex3]\left( \frac{3}{2},\, 1- \sqrt{2},\,\, 1+ \sqrt{2}\right)[/tex3]

-----------------------------------------------------

Questão 144

(FUVEST-2008) A medida [tex3]x[/tex3] , em radianos de um ângulo satisfaz [tex3]\frac{\pi}{2}< x< \pi[/tex3] e verifica a equação [tex3]\sen x+\sen 2x+\sen 3x=0[/tex3] . Assim:

a) Determine [tex3]x[/tex3] .
b) Calcule [tex3]\cos x+ \cos 2x +\ cos 3x[/tex3]
Resposta

a)[tex3]x= \frac{2\pi}{3}[/tex3] b) [tex3]\cos x+ \cos 2x + \cos 3x =0[/tex3]
Última edição: LucasPinafi (Ter 23 Dez, 2014 01:29). Total de 2 vezes.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 144

Letra a:

Utilizando Prostaférese:

[tex3]\sen x + \sen (2x) + \sen(3x) = 0 \therefore 2 \cdot \sen \frac{2x+x}{2} \cdot \cos \frac{2x-x}{2} + \sen(3x) = 0 \therefore 2 \cdot (-1) \cdot 0 + \sen(3x) = 0 \Leftrightarrow \sen(3x) = \sen 0 \therefore x = \frac{k \pi}{3}, k \in \mathbb{Z}[/tex3]

Variando [tex3]k[/tex3] , temos:

[tex3]\begin{cases}

k = 0, \cancel{x = 0} \\
k = 1, \cancel{x = \frac{\pi}{3}} \\
k = 2, \boxed{x = \frac{2\pi}{3}} \\
k = 3, \cancel{x = \pi}

\end{cases}[/tex3]

Logo, [tex3]S = \left\{ x = \frac{2\pi}{3} \right\}[/tex3]

Letra b:

Temos:

[tex3]\cos \frac{2\pi}{3} + \cos \frac{4\pi}{3} + \cos(2\pi) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0[/tex3]

-------------------------------------------------------------------------

Problema 145

(FUVEST-2012) No triângulo acutângulo [tex3]ABC[/tex3] , ilustrado na figura, o comprimento [tex3]BC[/tex3] do lado mede [tex3]\frac{\sqrt{15}}{5}[/tex3] , o ângulo interno de vértice [tex3]C[/tex3] mede [tex3]\alpha[/tex3] , e o ângulo interno de vértice [tex3]B[/tex3] mede [tex3]\frac{\alpha}{2}[/tex3] . Sabe-se, também, que [tex3]2 \cos (2\alpha) + 3\cos \alpha + 1 = 0[/tex3] . Nessas condições, calcule
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a) o valor de [tex3]\sen \alpha[/tex3] ;
b) o comprimento do lado [tex3]\overline{AC}[/tex3] .
Resposta

Letra a: [tex3]\sen \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]
Letra b: [tex3]\overline{AC} = \frac{2\sqrt{15}}{15}[/tex3]
Última edição: PedroCunha (Ter 23 Dez, 2014 02:12). Total de 2 vezes.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do Problema 145

a)

[tex3]2\cdot \cos (2\alpha )+3\cdot \cos (\alpha)+1 = 0[/tex3]

[tex3]2\cdot (\cos ^2\alpha-\sen ^2\alpha ) +3\cdot \cos (\alpha)+1 = 0[/tex3]

[tex3]4\cdot \cos ^2\alpha +3\cos \alpha -1 = 0 \rightarrow \begin{cases}
\cos \alpha =-1 \\
\cos \alpha =\frac{1}{4}
\end{cases}[/tex3]

Só a segunda raiz convém:

[tex3]\cos ^2\alpha+\sen ^2\alpha = 1 \rightarrow \frac{1}{16}+\sen ^2\alpha =1\rightarrow \sen \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]

Positivo pois: [tex3]\frac{\pi }{2}>\alpha>0[/tex3]

b)

A soma dos ângulos internos do triângulo, sendo [tex3]\beta[/tex3] o ângulo do vértice A:

[tex3]\alpha+\frac{\alpha }{2}+\beta = \pi[/tex3]

[tex3]\beta = \pi - \frac{3\alpha }{2}[/tex3]

Lei dos senos:

[tex3]\frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{\sen \left(\pi - \frac{3\alpha }{2}\right)}= \frac{AC}{\sen \left(\frac{\alpha }{2}\right)}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{\sen \left(\frac{3\alpha }{2}\right)}= \frac{AC}{\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{3\cdot \sen \left(\frac{\alpha }{2}\right)-4\cdot \sen^3\left(\frac{\alpha }{2}\right)}= \frac{AC}{\sqrt{\frac{3}{8}}}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{3\cdot \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}-4\cdot \left(\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}\right)\cdot \frac{1-\cos \alpha }{2}}= \frac{AC}{\sqrt{\frac{3}{8}}}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{3\cdot \sqrt{\frac{1-\frac{1}{4} }{2}}-4\cdot \left(\sqrt{\frac{1-\frac{1}{4} }{2}}\right)\cdot \frac{1-\frac{1}{4} }{2}}= \frac{AC}{\sqrt{\frac{3}{8}}}[/tex3]

[tex3]\frac{2\sqrt{15}}{15}= AC[/tex3]

---------------------------------------------------------------

Problema 146

(Fuvest-1990) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semi-círculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa?

a) 10[tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm
b) 3[tex3]\sqrt{10}[/tex3] cm
c) 20[tex3]\sqrt{2}[/tex3] cm
d) 20 cm
e) 10 cm
Resposta

a
Última edição: Ittalo25 (Qua 24 Dez, 2014 17:02). Total de 2 vezes.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 146

O raio do semi-círculo será a geratriz do cone e além disso, o cone será equilátero, logo: [tex3]g = 2r \therefore r = 10cm[/tex3] . Assim:

[tex3]20^2 = 10^2 + h^2 \therefore h = 10\sqrt3 cm[/tex3]

--------------------------------------------------------------------------

Problema 147

(FUVEST-1990) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saía com o dobro de freqüência da face 1, e que as outras faces saíam com a freqüência esperada em um dado não viciado. Qual a freqüência da face 1?

a) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] .
b) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] .
c) [tex3]\frac{1}{9}[/tex3] .
d) [tex3]\frac{2}{9}[/tex3] .
e) [tex3]\frac{1}{12}[/tex3] .
Resposta

Alternativa c
Última edição: PedroCunha (Qua 24 Dez, 2014 18:45). Total de 2 vezes.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução problema 147

Seja [tex3]P_i[/tex3] (i=1,2,...,6) a probabilidade de ocorrer cada uma das faces. Temos:
[tex3]1=2P_6+ 4\frac{1}{6}+P_6 \Rightarrow \frac{1}{3}=3P_6 \Longleftrightarrow \boxed{\boxed{P_6= \frac{1}{9}}}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------

Problema 148

[Fuvest-2012] O polinômio [tex3]p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx-8[/tex3] , em que a, b, c são números reais, tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como duas raízes simétricas.

a) Determine a,b,c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses valores como raízes.
Resposta

a) [tex3]a=-2[/tex3] ; [tex3]b=-2[/tex3] ; [tex3]c=8[/tex3] . As raízes são [tex3]1+i[/tex3] , [tex3]1-i[/tex3] , [tex3]2[/tex3] , [tex3]-2[/tex3]
b) [tex3]p(x)=k(x^4+2x^3-2x^2+2x-3)[/tex3] , k [tex3]\in R[/tex3]
Última edição: LucasPinafi (Qui 25 Dez, 2014 12:20). Total de 4 vezes.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 148

Letra a:

Como os coeficientes são reais, se [tex3]1+i[/tex3] é raiz, [tex3]1-i[/tex3] também é. Sejam [tex3]r[/tex3] e [tex3]-r[/tex3] as outras raízes. Pelas relações de Girard:

[tex3]\circ 1+i + 1-i + r - r = -a \therefore a = -2 \\
\circ (1+i) \cdot (1-i) \cdot r \cdot (-r) = -8 \therefore (1^2-i^2) \cdot -r^2 = -8 \therefore r = \pm 2 \\[/tex3]

Ainda:

[tex3]\circ P(2) = 0 \therefore 16 - 16 + 4b + 2c - 8 = 0 \therefore 2b+c = 4 \dots I \\
\circ P(-2) = 0 \therefore 16 + 16 +4b - 2c - 8 = 0 \therefore 2b-c = -12 \dots II \\\\

I+II: 4b = -8 \Leftrightarrow b = -2 \Leftrightarrow c = 8[/tex3]

Então, [tex3]a = b = -2, c = 8[/tex3] e as raízes são: [tex3]1\pm i, \pm 2[/tex3] .

Letra b:

Basta utilizar o Teorema Fundamental da Álgebra. Seja [tex3]g(x)[/tex3] o polinômio procurado. Então:

[tex3]g(x) = k \cdot [x - (1+i-1)] \cdot [x - (1-i-1)] \cdot [x - (-2-1] \cdot [x - (2-1)] \therefore \\\\ g(x) = k \cdot (x-i) \cdot (x+i) \cdot (x+3) \cdot (x-1) \therefore g(x) = k \cdot (x^2+1) \cdot (x^2+2x-3) \therefore \\\\ g(x) = k \cdot (x^4 + 2x^3-2x^2+2x-3), k \in \mathbb{R}[/tex3]

--------------------------------------------------------------

Problema 149

(FUVEST-2005) Diz-se que a matriz quadrada [tex3]A[/tex3] tem posto [tex3]1[/tex3] se uma de suas linhas é não-nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de [tex3]a, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] para os quais a matriz [tex3]3 \times 3[/tex3]
[tex3]A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{1}{2} & 3 \\ 3a-b+2c & 1 & 6 \\ b+c-3a & \frac{1}{2} & c - 2a+b \end{bmatrix}[/tex3]
tem posto [tex3]1[/tex3] .
Resposta

[tex3]a = 1, b = 3 \text{ e } c = 2[/tex3]
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 149

Sendo as outras linhas múltiplas da primeira e analisando a matriz, tem-se:

[tex3]\begin{cases}
3a-b+2c=4 \\
-3a+b+c=2 \\
-2a+b+c=3
\end{cases}[/tex3]

Escalonando:

[tex3]\begin{cases}
c=2 \\
a=1 \\
b=3
\end{cases}[/tex3]

Problema 150

(Fuvest-1995) Dentre os números abaixo, o mais próximo de [tex3]\sen(50^o)[/tex3] é:

a) 0,2
b) 0,4
c) 0,6
d) 0,8
e) 1,0
Resposta

d)

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