Maratonas de MatemáticaI Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 130

Podemos montar a seguinte figura:
FUVEST 2004.png
FUVEST 2004.png (6.04 KiB) Exibido 3196 vezes
Aplicando o Teorema da Bissetriz Interna:

\frac{2}{AM} = \frac{4}{5-AM} \therefore 4AM = 10 - 2AM \Leftrightarrow AM = \frac{5}{3}

Definimos então: AN = \frac{5}{3} - x e BN = 5 - \left( \frac{5}{3} - x \right) = \frac{10}{3} + x.

Aplicando Pitágoras nos triângulos ACN e BCN, chegamos em:

\begin{cases}

AN^2 + h^2 = 2^2 \therefore h^2 = 4 - AN^2 \\
BN^2 + h^2 = 4^2 \therefore h^2 = 16 - BN^2 

\end{cases} \Leftrightarrow BN^2 - AN^2 = 12 \Leftrightarrow x = \frac{11}{30}

---------------------------------------------------------------------------------------

Problema 131

(FUVEST-2004) Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância
de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro.
Resposta

60km

Última edição: PedroCunha (Sáb 20 Dez, 2014 00:35). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução do problema 131

Seja d_1, d_2,d_3,d_4 as distâncias, respectivamente, de A até B, de B até C, de B até P e de P até C. A partir das informações do enunciado, podemos montar o seguinte sistema:
\begin{cases}
d_2=\frac{2}{3}d_1 \\ 
d_1+d_3=210 \\ 
d_3-d_4=20
\end{cases}
Podemos reescrever a primeira equação como:
d_3+d_4=\frac{2}{3}d_1 (i)
Da segunda equação, tiramos:
d_1=210-d_3 (ii)
E da última:
d_4=d_3-20 (iii)
Portanto, colocando (ii) e (iii) em (i):
d_3+d_3-20=\frac{2}{3}(210-d_3)\rightarrow 8d_3=480\rightarrow \boxed{\boxed{\boxed{d_3=60}}}km.

----------------------------------------------------------------------

Problema 132

[Fuvest-2007] Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação 5 \cos2x+3\sin x=4. Determine os valores de senx e cosx.
Resposta

\sin x=-\frac{1}{5} ; \ cos x= -\frac{2\sqrt{6}}{5}

Última edição: LucasPinafi (Dom 21 Dez, 2014 15:48). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 132

Temos:

*Obs,: x \in 3^{\circ}Q \Leftrightarrow \sin x \leq 0 \text{ e } \cos x \leq 0

5\cos(2x) + 3\sin x = 4 \therefore 5 \cdot (1 - 2\sin^2x) + 3\sin x = 4 \therefore \\\\  -10\sin^2x + 3\sin x + 1 = 0 \\\\

\sin x = \frac{-3 \pm 7}{-20} \Leftrightarrow \sin x = -\frac{1}{5} \text{ ou } \cancel{\sin x = \frac{1}{2}}

Então, \cos^2x = 1 - \frac{1}{25} \therefore \cos x = -\frac{2\sqrt6}{5}

----------------------------------------------------------------------------------

Problema 133

(FUVEST-2012) Determine para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade
|x^2-10x+21| \leq |3x-15|
Resposta

S = \{ x \in \mathbb{R} | 1 \leq x \leq 4 \text{ ou } 6 \leq x \leq 9 \}
Última edição: PedroCunha (Dom 21 Dez, 2014 16:07). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução problema 133

Seja x \in \mathbb{R}. Se |x|\leq a, então -a\leq x\leq a:
-(3x-15)\leq x^2-10x+21\leq 3x-15
\begin{cases}
x^2-10x +21\geq -3x+15\rightarrow x^2-7x+6\geq 0\\ 
x^2-10x+21\leq 3x-15\rightarrow x^2-13x+36\leq 0
\end{cases}
Ambas desigualdades devem ser satisfeitas simultaneamente.
Considere as funções f(x)=x^2-7x+6 e g(x)=x^2-13x+36. Calculamos f(x)=0 e g(x)=0:
x^2-7x+6=0\rightarrow x=\frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2}\rightarrow x=6 ; x=1
x^2-13x+36=0\rightarrow x=\frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{2}=\frac{13 \pm 5}{2}\rightarrow x=9; x=4
Então:
f(x)\geq 0\rightarrow x\leq 1 ou x\geq 6
g(x)\leq 0 \rightarrow 4\leq x\leq 9
Fazendo a intersecção, temos:
S=   x \in \mathbb{R}| 1\leq x\leq 4ou 6\leq x\leq 9}

-------------------------------------------------------------------

Problema 134

[Fuvest -2007] Em uma PA a_1,a_2,...,a_n a soma dos n primeiros termos é dada por S_n=bn^2+n, sendo b um número real. Sabe-se que a_3=7, determine:

a) O valor de b e a razão da PA
b) O 20° termo da progressão
c) A soma dos 20 primeiros termos da progressão
Resposta

a) b=\frac{6}{5}; \ r=\frac{12}{5} b) a_20= \frac{239}{5} c) 500
Última edição: LucasPinafi (Dom 21 Dez, 2014 16:57). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 134

Letra a:

\begin{cases} S_3 - S_2 = a_3 \therefore 9b + 3 - 4b - 2 = 7 \therefore 5b = 6 \Leftrightarrow b = \frac{6}{5} \\ S_2 - S_1 = a_2 \therefore 4b+2 - b - 1 = a_2 \therefore a_2 = \frac{18}{5} + 1 \therefore a_2 = \frac{23}{5} \\ 
r = a_3 - a_2 = \frac{12}{5} \end{cases}

Letra b:

Para não termos que utilizar números muito grandes, podemos encontrar o 20° termo da seguinte maneira:

\begin{cases}

a_3 = a_1 + 2r \therefore a_1 = 7 - \frac{24}{5} = \frac{11}{5}  \\
a_{20} = a_1 + 19r \therefore a_{20} = \frac{11}{5} + \frac{228}{5} = \frac{239}{5}
\end{cases}

Letra c:

Basta substituir n por 20 na fórmula dada:

S_{20} = \frac{6}{5} \cdot 20^2 + 20 = 500

--------------------------------------------------------------------------------

Problema 135

(UNICAMP-2012) Considere a função f(x) = 2x + |x + p|, definida para x real.

a) A figura abaixo mostra o gráfico de f(x) para um valor específico de p. Determine esse valor.
Sem título.png
Sem título.png (8.53 KiB) Exibido 3187 vezes
b) Supondo, agora, que p = -3, determine os valores de x que satisfazem a equação f(x) = 12.
Resposta

Letra a: p = -1
Letra b: x = 5
Última edição: PedroCunha (Dom 21 Dez, 2014 19:08). Total de 1 vez.


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Dez 2014 21 21:56

Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução problema 135

a) Quando x=1, f(x)=2
2=2+|1+p|\rightarrow 0=|1+p|\rightarrow \boxed{p=-1}

b) 12=2x+|x-3|\rightarrow 12-2x=|x-3|\rightarrow x-3=\pm(12-2x)
(i)
x-3=12-2x\rightarrow 3x=15\rightarrow x=5
x-3=-12+2x\rightarrow -x=-9\rightarrow x=9

Veja que x=9 não pode ser um valor de x, pois 12-2.9=12-18=-6, e o módulo de um número real não pode ser negativo.

Resposta: x=5

-----------------------------------------------------------------

Problema 136

[Fuvest- 2003] Nos itens abaixo, z é um número complexo e i é a unidade imaginária. Suponha que z \neq i.

a) Para que valores de z, tem-se \frac{z+i}{1+iz}=2?

b) Determine o conjunto de todos os valores de z para quais \frac{z+i}{1+iz} é um número real.
Última edição: LucasPinafi (Dom 21 Dez, 2014 21:56). Total de 1 vez.


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Dez 2014 22 14:00

Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 136

Letra a:

Seja z = a+bi. Temos:

\frac{z+i}{1+iz} = 2 \therefore a+bi + i = 2 + 2i \cdot (a+bi) \therefore a + bi+i - 2 - 2ai + 2b = 0 \therefore \\\\ (a+2b-2) + i \cdot (-2a+b+1) = 0  \\\\

\begin{cases}

a+2b-2 = 0 \therefore a+2b = 2 \dots I \\
-2a+b+1 = 0 \therefore -2a+b = -1 \dots II 

\end{cases} \\\\

2I+II: 4b+b = 4-1 .:. b = \frac{3}{5} \Leftrightarrow a = \frac{4}{5} \Leftrightarrow z = \frac{4}{5} + i \cdot \frac{3}{5}

Letra b:

Primeira condição: z \neq i

\frac{z+i}{1+iz} \therefore \frac{(z+i) \cdot (1-iz)}{(1+iz) \cdot (1-iz)} \therefore \frac{z - iz^2 + i + z}{1^2 - i^2z^2} \therefore \frac{2z + i \cdot (1-z^2)}{1+z^2}

Para ser real, devemos ter a parte imaginária nula. Assim:

\begin{cases}

\frac{1-z^2}{1+z^2} = 0 \therefore z = \pm 1 \text{ ou } |z| = 1

\end{cases}

Logo: \{z \in \mathbb{C} | |z| = 1 \text{ e } z \neq i \}.

-----------------------------------------------------------------------------

Problema 137

(UNICAMP-2001) Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x - 5 e x - 2y + 5 = 0.

a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas?
b) Qual é a área do triângulo ABC ?
Resposta

Letra a: A(3,1), B(-3,1), C(5,5)
Letra b: S_{\triangle} = 12u.a.
Última edição: PedroCunha (Seg 22 Dez, 2014 14:00). Total de 1 vez.


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Dez 2014 22 15:04

Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução problema 137
a) Basta calcular os pontos de intersecções entre as retas:
(i)1=2x-5 \Rightarrow x=3
\therefore y=1
A(3,1)
(ii) 1= \frac{x+5}{2} \Rightarrow2=x+5\Rightarrow x=-3
\therofore y=1
B(-3,1)
(iii) 2x-5=\frac{x+5}{2}\Rightarrow4x-10=x+5\Rightarrow3x=15\Rightarrow x=5
y=2.5-5=5
C(5,5)
b) A área do triângulo ABC é igual a:
A=\frac{|\det M|}{2}
onde M é a matriz
M=\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\ 
-3 & 1 & 1 \\ 
5 & 5 & 1 \\ 
\end{pmatrix}
Calculando esse determinante, encontramos \det M=-24
Então, A=\frac{|-24|}{2}=12u.a
------------------------------------------------------------
Problema 138
[Fuvest- 1993] O valor máximo da função f(x)=3\cos x+ 2 \sin x é:
Resposta

\sqrt{13}
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 138

Utilizando o truque do triângulo retângulo, seja \theta um ângulo tal que exista um triângulo retângulo com catetos 3 e 2 e portanto hipotenusa \sqrt{13}, cujo seno vale \frac{2}{\sqrt{13}} e o cosseno vale \frac{3}{\sqrt{13}}.Assim, podemos reescrever a função dada como:

f(x) = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} \cdot \left( 2\sin x + 3\cos x\right) \therefore f(x) = \sqrt{13} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \sin x + \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \cos x \right) \therefore \\\\ f(x) = \sqrt{13} \cdot (\sin \theta \sin x + \cos \theta \cos x) \therefore f(x) = \sqrt{13} \cdot \cos(\theta - x)

Logo, como \cos (\theta - x) \in [-1,1], o valor máximo de f(x) é 1.

----------------------------------------------------------------------------

Problema 139

(FUVEST-2003) Determine os valores de x no intervalo ]0,2\pi[ para os quais \cos x \geq \sqrt{3} \sin x + \sqrt3.
Resposta

\frac{3\pi}{2} \leq  x  \leq \frac{11\pi}{6}
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução problema 139
Podemos resolver essa questão elevando ambos os membros ao quadrado:
\cos^2x\geq (\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3})^2 \Rightarrow \cos^2x\geq 3.\sin^2x+6\sin x+3
1-\sin^2x\geq 3\sin^2x+6\sin x+3\Rightarrow-4.\sin^2x-6\sin x-2\geq 0
Ou seja, devemos resolver a inequação
2\sin^2x+3\sin x+1\leq 0
Fazendo y=\sin^2x, temos:
2y^2+3y+1\leq 0
Seja agora a função g(y)=2y^2+3y+1. Suas raízes são:
g(y)=0 \Rightarrow y=\frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{4}=\frac{-3 \pm 1}{4}\Rightarrow y=-\frac{1}{2} ; y=-1
Então, para termos g(y)\leq 0, -1\leq y\leq -\frac{1}{2}\Rightarrow-1\leq \sin x\leq -\frac{1}{2}
Ou seja, \sin \frac{3\pi}{2}\leq \sin x \leq \sin \frac{11\pi}{6} \Longleftrightarrow \frac{3\pi}{2} \leq x \leq \frac{11 \pi}{6}

--------------------------------------------------------------

Questão 140
[Fuvest-2003]A soma dos 5 primeiros termos de uma PG, de razão negativa é 1/2. Além disso, a diferença entre o sétimo e o segundo termo da PG é igual a 3. Determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.
Resposta

a) -2 b) \frac{3}{22}

Última edição: LucasPinafi (Seg 22 Dez, 2014 17:10). Total de 1 vez.


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