Maratonas de MatemáticaI Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha » Qua 10 Dez, 2014 22:54

Solução do problema 120

Letra a:

Seja [tex3]z = a+bi[/tex3] . Temos:

[tex3]Re \left( \frac{z+2i}{z-2} \right) = \frac{1}{2} \therefore Re \left( \frac{a+ i \cdot (b+2}{(a-2) + bi} \right) = \frac{1}{2} \therefore \\\\ Re \left( \frac{[a + i \cdot (b+2)] \cdot [ (a-2) - bi}{(a-2)^2 - b^2i^2} \right) = \frac{1}{2} \therefore \\\\ Re \left( \frac{a^2 - 2a -abi + i \cdot (ab - 2b + 2a - 4) + b^2 + 2b}{a^2-4a+4+b^2} \right) = \frac{1}{2} \therefore \\\\ Re \left( \frac{ (a^2 - 2a + b^2 + 2b) + i \cdot (2a -2b - 4)}{a^2-4a+4+b^2} \right) = \frac{1}{2} \\\\ \Leftrightarrow \frac{a^2-2a+b^2+2b}{a^2-4a+4+b^2} = \frac{1}{2} \therefore 2a^2-4a+2b^2+4b = a^2-4a+8+b^2 \therefore \\\\ a^2 + b^2 + 4b - 8 = 0 \therefore a^2 + b^2 + 4b + 4 - 12 = 0 \therefore (a-0)^2 + (b+2)^2 = (2\sqrt2)^2[/tex3]

Circunferência de centro em [tex3](0,-2)[/tex3] e raio [tex3]\sqrt{8}[/tex3] .

Além disso, provando que o ponto [tex3](2,0)[/tex3] pertence à circunferência:

[tex3](2-0)^2 + (0+2)^2 = 8 \therefore 4 + 4 = 8 \therefore 8 = 8 \checkmark[/tex3]

Letra b:

Seja a reta [tex3](r): y = ax+b[/tex3] . Passa por [tex3](-2,0)[/tex3] . Assim:

[tex3]0 = -2a+b \therefore b = 2a[/tex3]

Se a reta é tangente a circunferência, a sua distância ao centro da circunferência é igual ao raio desta. Logo:

[tex3]\frac{|a \cdot 0 + -1\cdot (-2) + b||}{\sqrt{a^2+1}} = 2\sqrt2 \therefore 2|a+1| = \sqrt{a^2+1} \cdot 2\sqrt2 \therefore \\\\ a^2+2a+1 = 2 \cdot (a^2+1) \therefore -a^2 + 2a - 1 = 0 \therefore (a-1)^2 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Leftrightarrow b = 2[/tex3]

Assim, a equação da reta é: [tex3]y = x+2 \text{ ou } x - y + 2 = 0[/tex3]

---------------------------------------------------------------

Problema 121

(FUVEST-2012) Considere todos os pares ordenados de números naturais [tex3](a,b)[/tex3] , em que [tex3]11 \leq a \leq 22[/tex3] e [tex3]43 \leq b \leq 51[/tex3] . Cada um desse pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado [tex3](a,b)[/tex3] de tal forma que a fração [tex3]\frac{a}{b}[/tex3] seja irredutível e com denominador par?

a) [tex3]\frac{7}{27}[/tex3]
b) [tex3]\frac{13}{54}[/tex3]
c) [tex3]\frac{6}{27}[/tex3]
d) [tex3]\frac{11}{54}[/tex3]
e) [tex3]\frac{5}{27}[/tex3]
Resposta

Alternativa e

Última edição: PedroCunha (Qua 10 Dez, 2014 22:54). Total de 2 vezes.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha » Sex 12 Dez, 2014 11:19

Solução do problema 121

Total de frações possíveis:

[tex3](22-11+1) \cdot (51-43+1) = 108[/tex3]

Números pares que atendem a condição [tex3]43 \leq b \leq 51[/tex3] :

[tex3]44,46,48,50[/tex3]

Para que a fração seja irredutível, o numerador deverá ser ímpar. Os números ímpares que atendem a condição [tex3]11 \leq a \leq 22[/tex3] são:

[tex3]11,13,15,17,19,21[/tex3]

Seriam então [tex3]6 \cdot 4 = 24[/tex3] números. Porém, [tex3]11[/tex3] e [tex3]44[/tex3] não são primos entre si; bem como [tex3]15[/tex3] e [tex3]48[/tex3] , [tex3]15[/tex3] e [tex3]50[/tex3] e [tex3]21[/tex3] e [tex3]44[/tex3] . Assim, o total de números que atendem a condição do enunciado é 20. Logo, a probabilidade pedida é:

[tex3]P = \frac{20}{108} = \frac{10}{54} = \frac{5}{27}[/tex3]

--------------------------------------------------------------------

Problema 122

(UNICAMP-2008) Sejam dadas as funções [tex3]f(x) = px[/tex3] e [tex3]g(x) = 2x+5[/tex3] , em que [tex3]p[/tex3] é um parâmetro real.

a) Supondo que [tex3]p = -5[/tex3] , determine para quais valores reais de [tex3]x[/tex3] tem-se [tex3]f(x) \cdot g(x) < 0[/tex3] .
b) Determine para quais valores de [tex3]p[/tex3] temos [tex3]g(x) \leq f(x)[/tex3] para todo [tex3]x \in [-8,-1][/tex3]
Resposta

Letra a: [tex3]x < -\frac{5}{2} \text{ ou } x > 0[/tex3]
Letra b: [tex3]p \leq -3[/tex3]

Última edição: PedroCunha (Sex 12 Dez, 2014 11:19). Total de 2 vezes.


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Dez 2014 13 22:02

Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por poti » Sáb 13 Dez, 2014 22:02

Solução do Problema 122

a) [tex3]-5x \cdot (2x+5) < 0 \Rightarrow 5x \cdot (2x+5) > 0 \Rightarrow \boxed{x < -\frac{5}{2} \ \cup \ x > 0}[/tex3]

b) [tex3]2x+5 \leq px, \ x \in [-8,-1][/tex3]

[tex3](2-p)x \leq -5[/tex3]

[tex3]x = -1 \Rightarrow p \leq -3[/tex3]
[tex3]x = -8 \Rightarrow p \leq \frac{11}{8}[/tex3]

A intersecção das respostas deixa: [tex3]\boxed{p \leq -3}[/tex3]

---------------------

Problema 123

(Unicamp - 2005) Considere no plano cartesiano os pontos A = (-1,1) e B = (2,2).

a) Encontre a equação que representa o lugar geométrico dos centros dos círculos que passam pelos pontos A e B.
b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das ordenadas. Determine C de modo que o triângulo ABC tenha área igual a 8.
Resposta

a) y = -3x + 3
b) c = -4
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha » Dom 14 Dez, 2014 01:21

Solução do problema 123

Letra a:

[tex3](-1-x_c)^2 + (1-y_c)^2 = (2-x_c)^2 + (2-y_c)^2 \therefore \\\\ 1 + 2x_c + \cancel{x_c^2} + 1 - 2y_c + \cancel{y_c^2} = 4 - 4x_c + \cancel{x_c^2} + 4 - 4y_c + \cancel{y_c^2} \therefore \\\\ 2y_c = -6x_c + 6 \therefore y_c = -3x_c + 3 \Leftrightarrow y = -3x+3[/tex3]

Letra b:

Seja o vértice [tex3]C(0,c), c < 0[/tex3] . Temos:

[tex3]\left|\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & c & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 0 & c \end{matrix} \right| = 16 \therefore |-2+2c+c-2| = 16 \therefore |3c-4| = 16 \\\\

\Leftrightarrow 3c-4 = 16 \therefore \cancel{c = \frac{20}{3}} \text{ ou } 3c-4 = -16 \therefore \boxed{\boxed{c = -4}}[/tex3]

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 124

(UNICAMP-2000) Uma reta intersecciona nos pontos [tex3]A (3, 4)[/tex3] e [tex3]B(-4,3)[/tex3] uma circunferência centrada na origem.

a) Qual é o raio dessa circunferência?
b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A e B e seus simétricos em relação à origem.
Resposta

Letra a: [tex3]R = 5[/tex3]
Letra b: [tex3]S = 50u.a.[/tex3]
Última edição: PedroCunha (Dom 14 Dez, 2014 01:21). Total de 2 vezes.


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Dez 2014 14 14:44

Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por Ittalo25 » Dom 14 Dez, 2014 14:44

Solução do problema 124

a)

Circunferência centrada na origem:

[tex3]x^2+y^2 = r^2[/tex3]

[tex3]3^2+4^2 = r^2[/tex3]

[tex3]25 = r^2[/tex3]

[tex3]5 = r[/tex3]

b)

Simétrico em relação à origem, basta inverter o sinal, de modo que os pontos são:

[tex3]A = (3,4), B = (-4,3), C = (-3,-4), D = (4,-3)[/tex3]

A área desse quadrilátero vai ser a soma das áreas dos triângulos ABC e ADC:

[tex3]|\frac{\begin{bmatrix}3&4&1&\\-4&3&1\\-3&-4&1\\\end{bmatrix}}{2}|+|\frac{\begin{bmatrix}3&4&1&\\4&-3&1\\-3&-4&1\\\end{bmatrix}}{2}| = 50 u.a.[/tex3]

----------------------------------------------------------------

Problema 125

(Unicamp - 2009) A figura abaixo, à esquerda, mostra um sapo de origami, a arte japonesa das dobraduras de papel. A figura à direita mostra o diagrama usado para a confecção do sapo, na qual se utiliza um retângulo de papel com arestas iguais a c e 2c. As linhas representam as dobras que devem ser feitas. As partes destacadas correspondem à parte superior e à pata direita do sapo, e são objeto das perguntas a seguir.
sapo.png
a) Quais devem ser as dimensões, em centímetros, do retângulo de papel usado para confeccionar um
sapo cuja parte superior tem área igual a 12cm² ?

b) Qual a razão entre os comprimentos das arestas a e b da pata direita do sapo?
Resposta

a) 8cm e 16 cm
b) [tex3]\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex3]
Última edição: Ittalo25 (Dom 14 Dez, 2014 14:44). Total de 2 vezes.


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Dez 2014 14 18:16

Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha » Dom 14 Dez, 2014 18:16

Solução do problema 125

Letra a:

Da figura:

[tex3]\frac{c}{2} \cdot \frac{c}{4} + \frac{\frac{c}{2} \cdot \frac{c}{4}}{2} = 12 \therefore \frac{c^2}{8} + \frac{c^2}{16} = 12 \therefore 2c^2 + c^2 = 192 \Leftrightarrow c^2 = 64 \Leftrightarrow c = 8 \,\, cm[/tex3]

Assim, as dimensões da figura devem ser: [tex3]8 cm[/tex3] por [tex3]16 cm[/tex3]

Letra b:

Podemos montar a seguinte figura:
sapo.png
sapo.png (41.03 KiB) Exibido 6368 vezes
dela tiramos:

[tex3]\begin{cases}

\sen(2\beta) = \frac{\frac{c}{2}}{\frac{c\sqrt2}{2}} = \frac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \beta = \frac{\pi}{8} \\ \alpha + 2\beta = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{4} \\
\gamma + \alpha = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \gamma = \frac{\pi}{4}

\end{cases}[/tex3]

Aplicando o Teorema da Bissetriz Interna:

[tex3]\frac{\frac{c\sqrt2}{4}}{x} = \frac{\frac{c}{2}}{b} \Leftrightarrow \frac{b\sqrt2}{4} = \frac{x}{2} \Leftrightarrow x = \frac{b\sqrt2}{2} \\\\[/tex3]

Assim:

[tex3]b + \frac{b\sqrt2}{2} = \frac{c\sqrt2}{4} \therefore \frac{2b+b\sqrt2}{2} = 2\sqrt2 \therefore 2b+b\sqrt2 = 4\sqrt2 \therefore b \cdot (2+\sqrt2) = 4\sqrt2 \\\\ \Leftrightarrow b = \frac{4\sqrt2}{2+\sqrt2} = 4 \cdot \frac{\sqrt2}{2+\sqrt2} = 4 \cdot \frac{2\sqrt2 - 2}{2} = 4 \cdot (\sqrt2 - 1)[/tex3]

Aplicando a Lei dos Cossenos:

[tex3]a^2 = 16 \cdot (\sqrt2 - 1)^2 + 16 - 2 \cdot 4 \cdot (\sqrt2-1) \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt2}{2} \therefore
a^2 = 16 \cdot (\sqrt2-1) \cdot [\sqrt2 - 1-\sqrt2] + 16 \therefore a^2 = 16 \cdot (\sqrt2-1) \cdot [-1] + 16 \therefore
a^2 = -16\sqrt2 + 32 \therefore a^2 = 16 \cdot (2-\sqrt2) \\\\ \Leftrightarrow a = 4 \cdot \sqrt{2-\sqrt2}[/tex3]

Logo:

[tex3]\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{\sqrt2-1} = \sqrt{(2-\sqrt2) \cdot (\sqrt2+1)^2} = \sqrt{ (2-\sqrt2) \cdot (3+2\sqrt2)} = \sqrt{6+4\sqrt2-3\sqrt2-4} \\\\ \Leftrightarrow \sqrt{2+\sqrt2}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------

Problema 126

(UNICAMP-2010) Em uma bandeja retangular, uma pessoa dispôs brigadeiros formando [tex3]n[/tex3] colunas, cada qual com [tex3]m[/tex3] brigadeiros, como mostra a figura abaixo. Os brigadeiros foram divididos em dois grupos. Os que estavam mais próximos das bordas da bandeja foram postos em forminhas azuis, enquanto os brigadeiros do interior da bandeja foram postos em forminhas vermelhas.
Sem título.png
Sem título.png (26.27 KiB) Exibido 6368 vezes
a) Sabendo que [tex3]m = \frac{3n}{4}[/tex3] e que a pessoa gastou o mesmo número de forminhas vermelhas e azuis, determine o número de brigadeiros da bandeja.
b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro já pronta, em latas de 1 litro, e se cada brigadeiro, antes de receber o chocolate granulado que o cobre, tem o formato de uma esfera de 2 cm de diâmetro, quantas latas ela tem que comprar para produzir 400 brigadeiros? (Dica: lembre-se de que 1 litro corresponde a 1000 cm³.)
Resposta

Letra a: 48 brigadeiros.
Letra b: 2 latas
Última edição: PedroCunha (Dom 14 Dez, 2014 18:16). Total de 2 vezes.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi » Ter 16 Dez, 2014 23:04

Solução problema 126

a) O número de brigadeiros de forminhas azuis são [tex3]2n+2(m-2)[/tex3] (pois já contamos 2 de n) e de forminhas vermelhas é (m-2)(n-2);
[tex3]N_A=2n+2m-4[/tex3] (i)
[tex3]N_V=mn-2m-2n+4[/tex3] (ii)
Igualando (i) e (ii):
[tex3]2n+2m-4=mn-2m-2n+4\rightarrow mn-4n-4m+8=0[/tex3]
Mas [tex3]m=3n/4[/tex3]
[tex3]\frac{3n^2}{4}-4n-3n+8=0\rightarrow \frac{3n^2}{4}-7n+8=0\rightarrow3n^2-28n+32=0[/tex3]
[tex3]n=\frac{28 \pm\sqrt{(-28)^2-4.3.32}}{6}\rightarrow n=\frac{28 \pm 20}{6}[/tex3]
Como n é um inteiro, devemos ter:
[tex3]n=\frac{28+20}{2}\rightarrow \boxed{n=8}[/tex3]

Logo, [tex3]m=3.8/4=6[/tex3]
O número de brigadeiros será:
2. (6-2)(8-2)=2.4.6=48
b) O volume de uma esfera de raio r é dado por: [tex3]V=\frac{4}{3}\pi r^3[/tex3]
O raio é r=1 cm;
[tex3]V=\frac{4}{3}\pi[/tex3] cm^3
Assim, para 400 brigadeiros, teremos um volume de [tex3]V=\frac{1600 \pi}{3}[/tex3] cm^3 ou [tex3]\frac{1,6 \pi}{3}[/tex3] L.Considerando [tex3]\pi=3,14[/tex3] :
[tex3]V\approx 1,67[/tex3] L. Logo, precisará comprar 2 latas.

-------------------------------------------------------------------------

Problema 127

(FUVEST-2015) No sistema linear [tex3]\begin{cases} ax-y = 1 \\ y+z = 1 \\ x+z = m \end{cases}[/tex3] , nas variáveis [tex3]x, y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] , [tex3]a[/tex3] e [tex3]m[/tex3] são constantes reais. É correto afirmar:

a) No caso em que [tex3]a = 1[/tex3] , o sistema tem solução se, e somente se, [tex3]m =2[/tex3] .
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]m[/tex3] .
c) No caso em que [tex3]m = 2[/tex3] , o sistema tem solução se, e somente se, [tex3]a = 1[/tex3] .
d) O sistema só tem solução se [tex3]a = m = 1[/tex3] .
e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de [tex3]a[/tex3] e de [tex3]m[/tex3] .
Resposta

Alternativa a
Última edição: LucasPinafi (Ter 16 Dez, 2014 23:04). Total de 2 vezes.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha » Ter 16 Dez, 2014 23:38

Solução do problema 127

[tex3]\begin{cases}

ax-y = 1 \dots I \\ y+z = 1 \dots II \\ x+z = m \dots III

\end{cases} \\\\

III - II: x-y = m-1 \dots IV \\\\

I - IV: ax-x = 2-m \therefore x \cdot (a-1) = 2-m[/tex3]

Alternativa a.

----------------------------------------------------------------------------------

Problema 128

(FUVEST-2015) De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as 23 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é:

a) [tex3]\frac{1}{130}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{420}[/tex3]
c) [tex3]\frac{10}{1771}[/tex3]
d) [tex3]\frac{25}{7117}[/tex3]
e) [tex3]\frac{52}{8117}[/tex3]
Resposta

Alternativa c
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi » Qua 17 Dez, 2014 13:44

Solução problema 128

A probabilidade dele retirar mais 3 cartas de ouro (restando apenas 23 cartas no baralho) é:
[tex3]P=\frac{5}{23}.\frac{4}{22}.\frac{3}{21}=\frac{5}{23}. \frac{2}{11}. \frac{1}{7}= \frac{10}{1771}[/tex3]

----------------------------------------------------------

Problema 129

(Fuvest-2011) Determine o conjunto de todos números reais x para os quais vale a desigualdade [tex3]|\log_{16}(1-x^2)-\log_4(1+x)|<\frac{1}{2}[/tex3]
Resposta

[tex3]-\frac{3}{5}<x<\frac{3}{5}[/tex3]
Última edição: LucasPinafi (Qua 17 Dez, 2014 13:44). Total de 2 vezes.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha » Qua 17 Dez, 2014 14:40

Solução do problema 129

Temos:

[tex3]|\log_{16} (1-x^2) - \log_4 (1+x)| < \frac{1}{2} \therefore \left| \frac{\log_4 (1-x^2)}{2} - \log_4 (1+x) \right| < \frac{1}{2} \therefore \\\\ \left| \frac{\log_4 [(1+x) \cdot (1-x)]}{2} - \log_4 (1+x) \right| < \frac{1}{2} \therefore \\\\ \left| \frac{\log_4 (1+x) + \log_4 (1-x) - 2\log_4 (1+x)}{2}\right| < \frac{1}{2} \therefore \\\\ |\log_4 (1-x) - \log_4 (1+x)| < 1 \therefore \\\\ \left| \log_4 \frac{1-x}{1+x} \right| < 1 \Leftrightarrow -1 < \log_4 \frac{1-x}{1+x} < 1, \frac{1-x}{1+x} > 0 \Leftrightarrow -1 < x < 1 \\\\

\log_4 \frac{1-x}{1+x} > -1 \therefore \frac{1-x}{1+x} > \frac{1}{4} \therefore 4 - 4x > 1 + x \therefore 3 > 5x \Leftrightarrow x < \frac{3}{5} \\\\
\log_4 \frac{1-x}{1+x} < 1 \therefore \frac{1-x}{1+x} < 4 \therefore 1-x < 4+4x \therefore -3 < 5x \Leftrightarrow x > -\frac{3}{5} \\\\ \Leftrightarrow -\frac{3}{5} < x < \frac{3}{5}[/tex3]

A resposta encontrada satisfaz a condição de existência.

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Problema 130

(FUVEST-2004) Um triângulo [tex3]ABC[/tex3] tem lados de comprimentos [tex3]AB = 5[/tex3] , [tex3]BC = 4[/tex3] e [tex3]AC = 2[/tex3] . Sejam M e N os pontos de [tex3]\overline{AB}[/tex3] tais que [tex3]\overline{CM}[/tex3] é a bissetriz relativa ao ângulo [tex3]A\hat{C}B[/tex3] e [tex3]\overline{CN}[/tex3] e a altura relativa ao lado [tex3]\overline{AB}[/tex3] .

Determinar o comprimento de [tex3]\overline{MN}[/tex3] .
Resposta

[tex3]\overline{MN} = \frac{11}{30}[/tex3]

Última edição: PedroCunha (Qua 17 Dez, 2014 14:40). Total de 2 vezes.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

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