Maratonas de MatemáticaI Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 110

Letra a;

x + \frac{1}{x} = b \therefore x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = b^2 \therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = b^2 - 2

Letra b:

x^2-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2} = 0 \therefore \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) - 5 \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + 8 = 0

Fazendo a substituição x + \frac{1}{x} = y e notando que x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2-2. temos:

y^2-2 - 5y+8 = 0 \therefore y^2-5y+6 = 0 \Leftrightarrow y = 2 \text{ ou } y = 3

Desfazendo a troca:

\begin{cases}

x+\frac{1}{x} = 2 \therefore x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \\
x + \frac{1}{x} = 3 \therefore x^2 - 3x+1 =0 \Leftrightarrow x = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}

\end{cases}

------------------------------------------------------------------------------

Problema 111

(FUVEST-2015) Sabe-se que existem números reais A e x_0, sendo A > 0, tais que \sin x + 2\cos x = A \cdot \cos (x - x_0) para todo x real. O valor de A é igual a

a) \sqrt{ 2 }
b) \sqrt{ 3 }
c) \sqrt{ 5 }
d) 2\sqrt2
e) 2\sqrt3
Gabarito

Alternativa c

Última edição: PedroCunha (Dom 07 Dez, 2014 19:59). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por poti »

Solução do Problema 111

y^2 + (2y)^2 = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{5}}

Então, y = sen(x_0) \ e \ 2y = cos(x_0), \ \text{para algum} \ x_0

sen(x) + 2cos(x) = \frac{y}{y} [sen(x) + 2cos(x)] = \frac{1}{y} [y \cdot sen(x) + 2y \cdot cos(x)] \\ = \frac{1}{y} \cdot cos(x-x_0) = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}} \cdot cos(x - x_0) = \sqrt{5} \cdot cos(x - x_0)

\boxed{A = \sqrt{5}}

---------------

Problema 112

(Fuvest - 1981) Seis pessoas, A, B, C, D, E e F, vão atravessar um rio em 3 horas. Distribuindo-se ao acaso as pessoas de modo que fiquem duas em cada barco, a probabilidade de A atravessar junto com B, C junto com D e E junto com F, é:

a) 1/5
b) 1/10
c) 1/15
d) 1/20
e) 1/25
Resposta

c

Última edição: poti (Seg 08 Dez, 2014 13:26). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 112

Total de possibilidades:

C6,2 \cdot C4,2 \cdot C2,2 = 90

Considerando A e B como 'um bloco', C e D como outro e E e F como outro, temos 3! = 6 maneiras de arranja-los. Assim, a probabilidade pedida é: \frac{6}{90} = \frac{1}{15}.

------------------------------------------------------------------------------

Problema 113

(FUVEST-1980) Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo B\hat{A}C mede:

a) 15^{\circ}
b) 30^{\circ}
c) 36^{\circ}
d) 45^{\circ}
e) 60^{\circ}
Resposta

Alternativa b
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por poti »

Solução do Problema 113

Usando a Lei dos Senos:

\frac{R}{sen(B\^AC)} = 2R

sen(B\^AC) = \frac{1}{2}

\boxed{B\^AC = 30^{\circ}}

------------

Problema 114

(Fuvest - 89) De 2x^4 - x^3 < 0 pode-se concluir que:

a) 0 < x < 1
b) 1 < x < 2
c) -1 < x < 0
d) -2 < x < -1
e) x < -1 \ ou \ x > 1
Resposta

a
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 114

2x^4 - x^3 < 0 \therefore x^2 \cdot (2x^2 - x) < 0

Como x^2 \geq 0 \,\,  \forall \,\, x \,\, \in \mathbb{R}, basta termos:

2x^2-x < 0 \Leftrightarrow x \cdot (2x-1) < 0

Dois casos:

\begin{cases}

x < 0 \text{ e } 2x-1 > 0 \rightarrow \emptyset \\
x > 0 \text{ e } 2x-1 < 0 \rightarrow 0 < x < \frac{1}{2}

\end{cases}

Questão sem gabarito.

¹WolframAlpha

---------------------------------------------------------------------------------------

Problema 115

(FUVEST-2008) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz \frac{\pi}{2} < x < \pi e verifica a equação \sin x + \sin (2x) + \sin(3x) = 0. Assim,

a) determine x.
b) calcule cos x + \cos(2x) + \cos(3x)
Resposta

Letra a: x = \frac{2\pi}{3} \,\,
Letra b: \cos x + \cos(2x) + \cos(3x) = 0
Última edição: PedroCunha (Seg 08 Dez, 2014 17:05). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por poti »

Solução do Problema 115
a) Prostaferese:

sen(x) + sen(3x) = 2 \cdot sen(2x) \cdot cos(x)

Substituindo:

2 \cdot sen(2x) \cdot cos(x) + sen(2x) = 0
sen(2x) \cdot (2cos(x) + 1) = 0
sen(2x) = 0 \ \vee \ 2cos(x) + 1 = 0

x = \frac{k\pi}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \ \vee \ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

Como o intervalo é restrito a \frac{\pi}{2} < x < \pi, tira-se

\boxed{x = \frac{2\pi}{3}}

b) Substituindo:

cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \\ cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \\ cos(\frac{6\pi}{3}) = 1

\boxed{cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0}

---------------------

Problema 116

(Fuvest - 1999) A reta r tem equação 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P = (1,2) e é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente,
a) Determine a equação de s.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
Resposta

a) y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}
b) \frac{81}{20} ua
Última edição: poti (Ter 09 Dez, 2014 16:57). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 116

\begin{cases}

(r): 2x+y = 3 \therefore y = -2x+3 \rightarrow m_r = -2 \\
A: y_r = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \iff  A\left( \frac{3}{2}, 0 \right) \\
(s): m_s = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y - 2 = \frac{1}{2} \cdot (x-1) \therefore y = \frac{x+3}{2} \\
B: y_s = 0 \Leftrightarrow x = -3 \iff (-3,0) \\
C: y_r = y_s \thereforte -4x+6 = x+3 \therefore -5x = -3 \therefore x = \frac{3}{5} \rightarrow y = \frac{9}{5} \iff C\left( \frac{3}{5}, \frac{9}{5} \right)

\end{cases}

Letra a:

(s): y = \frac{x+3}{2} \text{ ou } x - 2y + 3 = 0

Letra b:

S_{\triangle_{ABC}} = \frac{\left|\begin{vmatrix} \frac{3}{2} & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \\ \frac{3}{5} & \frac{9}{5} & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \frac{3}{2} & 0 \\ -3 & 0 \\ \frac{3}{5} & \frac{9}{5} \end{matrix}\right|}{2} \therefore S_{\triangle_{ABC}} = \frac{\left| -\frac{27}{5} - \frac{27}{10} \right|}{2} = \frac{81}{20} u.a.

----------------------------------------------------------

Problema 117

(UNICAMP-2004) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y = \frac{1}{x}, x> 0.. As abscissas de A, B e C são iguais a 2,3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD.

a) Encontre as coordenadas do ponto D.
b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem.
Resposta

Letra a: D\left( \frac{3}{2}, \frac{2}{3} \right)
Letra b: Demonstração
Última edição: PedroCunha (Ter 09 Dez, 2014 22:01). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 117

Da função y = \frac{1}{x} tem-se:

A=(2,\frac{1}{2}), B = (3,\frac{1}{3}),C = (4,\frac{1}{4}), D = (x,y)

a)

A reta que passa por AB tem o mesmo coeficiente angular da reta que passa por CD:

y - \frac{1}{4} = (\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{2-3}).(x-4)

y = {\frac{-x}{6}+\frac{11}{12}

Substituindo:

\frac{1}{x} = {\frac{-x}{6}+\frac{11}{12}

-2x^2+11x-12 = 0

x = (\frac{3}{2},4)

Colocando essas abcissas na reta: y = {\frac{-x}{6}+\frac{11}{12}, encontra-se: D = (\frac{3}{2},\frac{2}{3}) e C = (4,\frac{1}{4})

b)

Ponto médio AB:

y = \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{2} = \frac{5}{12}

x = \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2}

Ponto médio CD:

y = \frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{3}}{2} = \frac{11}{24}

x = \frac{4+\frac{3}{2}}{2} = \frac{11}{4}

Reta que passa por esses pontos médios:

y - \frac{11}{24} = (\frac{\frac{5}{12}-\frac{11}{24}}{\frac{5}{2}-\frac{11}{4}}).(x-\frac{11}{4})

Na origem (0,0):

0 - \frac{11}{24} = (\frac{\frac{5}{12}-\frac{11}{24}}{\frac{5}{2}-\frac{11}{4}}).(0-\frac{11}{4})

0 - \frac{11}{24} = ({\frac{1}{6}).(0-\frac{11}{4})

0  = 0

c.q.d.


Problema 118


(Fuvest 2003) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2.2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Resposta

b)
Última edição: Ittalo25 (Qua 10 Dez, 2014 13:51). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 118

Sejam as retas (r): y = ax+b e (s): y = cx+d.

O ponto de interseção das retas é (2,2). Tiramos três informações desse dado:

\begin{cases}

2a+b = 2 \therefore b = 2-2a \\
2c+d = 2 \therefore d = 2-2c \\
2 \cdot (a-c) = d-b \therefore a-c = \frac{d-b}{2}

\end{cases}

O produto dos coeficientes angulares de (r) e (s) vale 1:

a \cdot c = 1 \therefore a = \frac{1}{c}

(s) intercepta o eixo y no ponto (0,3):

3 = 0 \cdot c + d \rightarrow d = 3

Trabalhando nas equações dadas:

\begin{cases}

d = 2-2c \therefore c = -\frac{3-2}{2} = -\frac{1}{2} \rightarrow a = -2 \rightarrow b = 6 \\

\end{cases}

Assim, (r): y = -2x+6, (s): -\frac{x}{2} + 3.

Os vértices do triângulo referido na questão serão a interseção das retas com o eixo x e a interseção delas. Encontremos esses vértices:

\begin{cases}

(r): y = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Leftrightarrow A(3,0) \\
(s): y = 0 \Leftrightarrow x = 6 \Leftrightarrow B(6,0) \\
(r) \cap (s): C(2,2)

\end{cases}

Assim, a área do triângulo é:

S = \frac{\left| \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1  \end{vmatrix} \begin{matrix} 3 & 0 \\ 6 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right|}{2} \therefore S = \frac{|12-6|}{2} = 3u.a.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 119

(FUVEST-2003) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m^2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:

a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130
Resposta

Alternativa a
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 119

Calculando o apótema da pirâmide:

a = \sqrt{3^2+\left(\frac{8}{2}\right)^2} = 5 m

A área dos quatro triângulos da pirâmide:

A = 4\cdot\frac{8\cdot5}{2} = 80m^2

Regra de três:

\frac{1m^2}{80m^2}= \frac{1\text{ lote}}{x }

x = 80m^2

Com as quebras:

90m^2

----------------------------------------------------------------

Problema 120

(Unicamp-1999) Se z = x+i.y é um número complexo, o número real x é chamado parte real de z e é indicado por Re(z), ou seja, Re(x+i\cdot y) = x.

a) Mostre que o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem a equação Re\left(\frac{z+2i}{z-2}\right)=\frac{1}{2}, ao qual se acrescenta o ponto (2,0), é uma circunferência.

b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-2,0) e é tangente àquela circunferência.
Resposta

a) demonstração
b) y = x+2

Última edição: Ittalo25 (Qua 10 Dez, 2014 15:01). Total de 1 vez.


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