Maratonas de Matemática

Solução do problema 10

Nesse problema, precisamos contar os 'dentes' de cada engrenagem.

c: 25 dentes
c: 35 dentes

'a' gira junto com 'b', que por sua vez gira junto com 'c'.

A cada volta que 'c' dá, 'a' dá uma volta e '10 dentes'. Assim, para termos um número inteiro de voltas para 'a', é necessário que esses 'dentes extras' sejam tais que sua soma seja múltipla de 25. Assim, quando o número de voltas de 'c' é 5, 'a' terá dado 5 voltas + [tex3]10 \cdot 5 = 25 \cdot 2[/tex3] ou seja, 7 voltas.

O número mínimo de voltas é, então, [tex3]5[/tex3] .

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Problema 11

(UNICAMP - 1991) Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois?
Justifique.

Resposta

Não

Solução do problema 11

Se esses números existissem, de duas uma:

1) [tex3]x(x+2)=(x+1)(x+3)\rightarrow x=-\frac{3}{2}[/tex3]
2) [tex3]x(x+3)=(x+1)(x+2)\rightarrow 0=2[/tex3]

A primeira possibilidade não satisfaz a condição de que os quatro números devem ser positivos.
A segunda possibilidade é impossível.

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Problema 12

(FUVEST-2011) Sejam [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] números reais positivos tais que [tex3]x+y=\frac{\pi}{2}[/tex3] . Sabendo-se que [tex3]\sin(y-x)=\frac{1}{3}[/tex3] , o valor de [tex3]\tan^2y-\tan^2x[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{5}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]

Resposta

a

Solução do problema 12

Como [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são complementares, [tex3]\sen y = \cos x, \cos y = \sen x[/tex3] . Assim:

[tex3]\sen (y-x) = \frac{1}{3} \therefore \sen y \cos x - \cos y \cdot \sen x = \frac{1}{3} \therefore \cos^2x - \sen^2x = \frac{1}{3} \therefore \\\\ \cos^2x = \frac{1}{3} + \sen^2x[/tex3]

Da identidade fundamental da trigonometria:

[tex3]\sen^2x + \sen^2x + \frac{1}{3} = 1 \therefore 2\sen^2x = \frac{2}{3} \therefore \sen^2 x = \frac{1}{3} \rightarrow \cos^2x = \frac{2}{3}[/tex3]

Assim, [tex3]\cos^2y = \frac{1}{3}, \sen^2y = \frac{2}{3}[/tex3] .

Logo, a expressão pedida vale:

[tex3]\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} - \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \therefore 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}[/tex3]

Alternativa a.

* Por favor, pesquise antes de postar: essa questão já existia no Fórum *

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Problema 13

(UNICAMP-2013) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por [tex3]i[/tex3] o número complexo tal que [tex3]i^2 = -1[/tex3] .

Então [tex3]i^0 + i^1 + i^2 + i^3 + ... + i^{2013}[/tex3] vale

a) [tex3]0[/tex3]
b) [tex3]1[/tex3]
c) [tex3]i[/tex3]
d) [tex3]1 + i[/tex3]

Resposta

Alternativa d

Solução do problema 13

[tex3]i^{4n}=1[/tex3]
[tex3]i^{4n+1}=i[/tex3]
[tex3]i^{4n+2}=-1[/tex3]
[tex3]i^{4n+3}=-i[/tex3]

[tex3]2013=4\cdot503+1\rightarrow i^{2013}=i[/tex3]

Portanto,

[tex3]i^0 + i^1 + i^2 + i^3 + ... + i^{2013}=\underbrace{1+i-1-i}_0+\underbrace{1+i-1-i}_0+...+1+i=1+i[/tex3]

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Problema 14

(FUVEST-2007) Uma empresa de construção dispõe de 117 blocos de tipo X e 145 blocos de tipo Y. Esses blocos têm as seguintes características: todos são cilindros retos, o bloco X tem 120 cm de altura e o bloco Y tem 150 cm de altura.

A empresa foi contratada para edificar colunas, sob as seguintes condições: cada coluna deve ser construída sobrepondo blocos de um mesmo tipo e todas elas devem ter a mesma altura. Com o material disponível, o número máximo de colunas que podem ser construídas é de:

a) 55
b) 56
c) 57
d) 58
e) 59

Resposta

e

Solução do problema 14

Para termos o maior número de colunas, devemos ter a menor altura. Vamos então, calcular o m.m.c. das alturas:

[tex3]m.m.c.(120,150) = 600 cm[/tex3] .

Para o tipo X, teremos:

Para cada coluna serão necessários 5 blocos 'X'. Como temos 117, poderão ser feitas 23 colunas e sobrarão 2 blocos.

Para o tipo Y, temos:

Para cada coluna serão necessários 4 blocos 'Y'. Como temos 145, poderão ser feitas 36 colunas e sobrará 1 bloco.

Assim, o número máximo de colunas é 59.

Alternativa e.

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Problema 15

(FUVEST-2007) Sejam [tex3]a_1, a_2, a_3, a_4, a_5[/tex3] números estritamente positivos tais que [tex3]\log_2 a_1,\log_2 a_2, \log_2 a_3, \log_2 a_4, \log_2 a_5[/tex3] formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] . Se [tex3]a_1 = 4[/tex3] , então o valor da soma [tex3]a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5[/tex3] é igual a

a) [tex3]24 + \sqrt 2[/tex3]
b) [tex3]24 + 2\sqrt 2[/tex3]
c) [tex3]24 + 12\sqrt 2[/tex3]
d) [tex3]28 + 12\sqrt 2[/tex3]
e) [tex3]28 + 18\sqrt 2[/tex3]

Resposta

Alternativa d

Mensagem não lidapor **poti** » Seg 16 Jun, 2014 03:10 · Mensagem não lida por **poti** » Seg 16 Jun, 2014 03:10

Solução do problema 15

[tex3]a_1 = 4 \Rightarrow \log_2 a_1 = 2[/tex3]
[tex3]\log_2 a_2 = 2 + \frac{1}{2} \Rightarrow a_2 = 4\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]\log_2 a_3 = 2 + 1 \Rightarrow a_3 = 8[/tex3]
[tex3]\log_2 a_4 = 2 + \frac{3}{2} \Rightarrow a_4 = 8\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]\log_2 a_5 = 2 + 2 \Rightarrow a_5 = 16[/tex3]

Então a soma vale [tex3]4 + 4\sqrt{2} + 8 + 8\sqrt{2} + 16 = 28 + 12\sqrt{2}[/tex3]

Letra d

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Problema 16

(FUVEST - 2005) A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seu lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é

a) [tex3]5\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]6\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]7\sqrt{3}[/tex3]
d) [tex3]8\sqrt{3}[/tex3]
e) [tex3]9\sqrt{3}[/tex3]

Resposta

Letra b

Solução do problema 16

Montemos uma figura representando a situação (colocando o ponto no incentro - encontro das bissetrizes -, facilitando para nós):

: fuvest 2.png (12.25 KiB) Exibido 6347 vezes

Aplicando a relação da tangente no triângulo retângulo [tex3]APM[/tex3] :

[tex3]\tan 30^{\circ} = \frac{3}{\frac{l}{2}} \therefore l \cdot \tan 30^{\circ} = 6 \therefore l = \frac{6}{\frac{\sqrt3}{3}} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{l = 6\sqrt3 }}[/tex3]

Solução Alternativa

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Problema 17

(FUVEST-2005) Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura [tex3]h[/tex3] , situadas a uma distância [tex3]d[/tex3] (ver figura), assuma a forma de uma parábola. Suponha também que

: fuvest.png (1.14 KiB) Exibido 6347 vezes

(i) a altura mínima do fio ao solo seja igual a [tex3]2[/tex3] ;
(ii) a altura do fio sobre um ponto no solo que dista [tex3]\frac{d}{4}[/tex3] de uma das colunas seja igual a [tex3]\frac{h}{2}[/tex3] .

Se [tex3]h = \frac{3d}{8}[/tex3] , então [tex3]d[/tex3] vale:

a) [tex3]14[/tex3]
b) [tex3]16[/tex3]
c) [tex3]18[/tex3]
d) [tex3]20[/tex3]
e) [tex3]22[/tex3]

Resposta

Alternativa b

Solução do problema 17

: 8.png (13.83 KiB) Exibido 6328 vezes

Atento à imagem acima, podemos usar semelhança de triângulos:

[tex3]2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\frac{d}{2}\\\\\frac{h}{2}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,d-\frac{d}{4}[/tex3]

substituindo o [tex3]h[/tex3] :

[tex3]2\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\frac{d}{2}\\\\\frac{3d}{16}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\frac{3d}{4}[/tex3]

[tex3]d = 16[/tex3]

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Problema 18

(FUVEST 2008)

Uma lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros
da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso,

1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.

Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros na lotação é igual a:

a) 928
b) 1152
c) 1828
d) 2412
e) 3456

Resposta

Gabarito: E

Solução do problema 18

A família Sousa, composta por três pessoas, pode se sentar em um banco de três lugares de [tex3]P_3=6[/tex3] formas diferentes. Como existem 3 bancos, temos um total de [tex3]3\cdot3!=18[/tex3] formas diferentes de alojar a família no veículo.

No caso do casal, como eles querem sentar juntos, devemos considerar os três lugares como apenas dois: o lugar direita-meio e o lugar esquerda-meio. Assim, em um banco, o casal pode ser acomodado de [tex3]P_2\cdot P_2=4[/tex3] formas diferentes. Como sobraram 2 bancos (um já está ocupado pela família), temos um total de [tex3]2\cdot4=8[/tex3] formas diferentes de dispor o casal no veículo.

Para os quatro restantes passageiros, sobra apenas a permutação entre eles. Assim, temos um total de [tex3]P_4=24[/tex3] formas diferentes de posicionar os passageiros restantes na lotação.

Total de maneiras distintas de dispor todos os passageiros = [tex3]18\cdot8\cdot24=3456[/tex3] .

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Problema 19

(UNICAMP-2003) As equações [tex3](x+1)^2+y^2=1[/tex3] e [tex3](x-2)^2+y^2=4[/tex3] representam duas circunferências cujos centros estão sobre o eixo das abscissas.

a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas circunferências.
b) Encontre o valor de [tex3]a\in\mathbb{R}[/tex3] , [tex3]a\neq0[/tex3] , de modo que duas retas que passam pelo ponto [tex3](a,0)[/tex3] sejam tangentes às duas circunferências.

Resposta

a) (0,0)
b) -4

Solução do problema 19

Letra a:

Igualando os valores de [tex3]y^2[/tex3] , temos:

[tex3]1 - (x+1)^2 = 4 - (x-2)^2 \therefore 1 - (x^2 + 2x + 1) = 4 - (x^2 - 4x + 4) \therefore \\\\ -x^2 - 2x = -x^2 + 4x \therefore -6x =0 \rightarrow x = 0[/tex3]

Substituindo:

[tex3](0+1)^2 +y^2 = 1 \therefore y^2 = 0 \rightarrow y = 0[/tex3]

Logo, o ponto de interseção das circunferência é [tex3]P(0,0)[/tex3]

Letra b:

Considerem a seguinte figura:

: unicamp.png (10.26 KiB) Exibido 6307 vezes

[tex3]P,Q,R \text{ e } S[/tex3] são os pontos onde as retas tangenciam as circunferência. [tex3]A[/tex3] é abscissa [tex3]a[/tex3] , referida no enunciado.

Por semelhança de triângulos, entre os triângulos retângulos [tex3]ARB[/tex3] e [tex3]ACS[/tex3] , temos:

[tex3]\frac{AB}{RB} = \frac{AC}{CS} \therefore \frac{|a|-1}{1} = \frac{|a|+2}{2} \therefore |2a| - 2 = |a| + 2 \therefore |a| = 4[/tex3]

Como [tex3]a < 0[/tex3] , [tex3]a = -4[/tex3]

ou ainda

[tex3]\frac{-1-a}{1} = \frac{2-a}{2} \therefore -2-2a = 2 - a \therefore -a = 4 \rightarrow a = -4[/tex3]

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Problema 20

(UNICAMP - 2003) Considere o conjunto [tex3]S = \{n \in \mathbb{N} : 20 \leq n \leq 500\}[/tex3] .

a) Quantos elementos de S são múltiplos de 3 e de 7?

b) Escolhendo-se ao acaso um elemento de S, qual a probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de 3 ou de 7?

Resposta

Letra a: 23
Letra b: [tex3]\frac{206}{481}[/tex3]

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