Maratonas de Matemática

Resolução do exercício 20

a)

Para um número ser múltiplo de 3 e 7, ele dever ser múltiplo de 21.

O maior múltiplo de 21 menor que 500 é [tex3]abs\left(\frac{500}{21}\right)\cdot 21=483[/tex3] .

Uma PA onde [tex3]a_1=21[/tex3] , [tex3]a_n=483[/tex3] e [tex3]q=21[/tex3] , possui [tex3]\frac{a_n-a_1}{q}+1=\frac{483-21}{21}+1=23[/tex3] elementos.

b)

O maior múltiplo de 3 menor que 500 é [tex3]abs\left(\frac{500}{3}\right)\cdot 3=498[/tex3] .

Uma PA onde [tex3]a_1=21[/tex3] , [tex3]a_n=498[/tex3] e [tex3]q=3[/tex3] , possui [tex3]\frac{a_n-a_1}{q}+1=\frac{498-21}{3}+1=160[/tex3] elementos.

O maior múltiplo de 7 menor que 500 é [tex3]abs\left(\frac{500}{7}\right)\cdot 7=497[/tex3] .

Uma PA onde [tex3]a_1=21[/tex3] , [tex3]a_n=497[/tex3] e [tex3]q=7[/tex3] , possui [tex3]\frac{a_n-a_1}{q}+1=\frac{497-21}{7}+1=69[/tex3] elementos.

Da letra (a) temos que 23 números são tanto múltiplos de 3 e 7 e, portanto, escolhendo-se ao acaso um elemento de S, a probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de 3 ou de 7 é igual a [tex3]\frac{160+69-23}{500-20+1}=\frac{206}{481}[/tex3]

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Exercício 21

(FUVEST-2012) Considere a matriz

[tex3]A=\begin{pmatrix}
a & 2a+1 \\
a-1 & a+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

em que [tex3]a[/tex3] é um número real. Sabendo que [tex3]A[/tex3] admite a inversa [tex3]A^{-1}[/tex3] cuja primeira coluna é

[tex3]\begin{pmatrix}
2a-1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

a soma dos elementos da diagonal principal de [tex3]A^{-1}[/tex3] é igual a:

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Resposta

a

Solução do exercício 21

[tex3]\begin{pmatrix}a & 2a+1 \\ a-1 & a+1 \\ \end{pmatrix}[/tex3] . [tex3]\begin{pmatrix}2a-1 & x \\ -1 & y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]\begin{pmatrix}(2a^{2} -3a - 1) & (ax+2ay+y) \\ (2a^{2}-4a) & (ax-x+ay+y) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]2a^{2}-3a-1=1[/tex3]

Por Bhaskara: a = 2

[tex3]2a^{2}-4a=0[/tex3]

Por Bhaskara: a = 2

substituindo o "a" nas outras equações:

[tex3]ax + 2ay + y = 0[/tex3]
[tex3]2x + 2.2.y + y = 0[/tex3]
[tex3]2x + 5y = 0[/tex3]

[tex3]ax-x + ay + y = 1[/tex3]
[tex3]x + 3y = 1[/tex3]

[tex3]\begin {cases}
2x + 5y = 0 \\
x + 3y = 1
\end{cases}[/tex3]

resolvendo o sistema:

x = -5

y = 2

Finalmente:

[tex3]\begin{pmatrix}2a-1 & x \\ -1 & y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -5 \\ -1 & 2 \\ \end{pmatrix}[/tex3]

A soma pedida:

3 + 2 = 5

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Exercício 22

(Fuvest 2014) Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é

a) [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{6}[/tex3]
c) [tex3]\frac{2}{9}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

Resposta

b)

Resolução do problema 22

Considerem a seguinte figura:

: cubo fuv.png (16.33 KiB) Exibido 6413 vezes

O volume do cubo é: [tex3]a^3[/tex3]
O volume do tetraedro é: [tex3]\frac{\left( \frac{a\sqrt2 \cdot \frac{a\sqrt2}{2}}{2} \right) \cdot a}{3} \therefore \frac{a^3}{6}[/tex3]

Assim, a razão pedida é:

[tex3]\frac{\frac{a^3}{6}}{a^3} = \frac{1}{6}[/tex3]

Alternativa b

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Problema 23

(FUVEST-2014) Sobre a equação [tex3](x+3) \cdot 2^{x^2-9} \cdot \log |x^2+x-1| = 0[/tex3] , é correto afirmar que:

a) ela não possui raízes reais.
b) sua única raiz real é [tex3]-3[/tex3] .
c) duas de suas raízes reais são [tex3]3[/tex3] e [tex3]-3[/tex3] .
d) suas únicas raízes reais são [tex3]-3[/tex3] , [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3] .
e) ela possui cinco raízes reais distintas.

Resposta

Alternativa e

Resolução do problema 23

Para que um produto seja 0, pelo menos um dos termos deve ser igual a 0:

[tex3]X+3 = 0[/tex3]
[tex3]X = -3[/tex3]

-------------------------------------------

[tex3]2^{x^2-9} = 0[/tex3]

Impossível

----------------------------------------

[tex3]\log |x^2+x-1| = 0[/tex3]
[tex3]|x^2+x-1| = 1[/tex3]

Do módulo temos:

[tex3]x^2+x-1 = 1[/tex3]

[tex3]Bhaskara:[/tex3]
[tex3]x = -2[/tex3]
[tex3]x = 1[/tex3]

Também temos:

[tex3]-x^2-x+1 = 1[/tex3]

[tex3]Bhaskara:[/tex3]
[tex3]x = 0[/tex3]
[tex3]x = -1[/tex3]

S: {-3,-2,-1,0,1}

5 Raízes reais e distintas

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Problema 24

(Fuvest 2005)

Uma sequência de números reais [tex3]a_1, a_2, a_3,...[/tex3] satisfaz à lei de formação:

[tex3]a_{n+1} = 6a_n[/tex3] se n é ímpar

[tex3]a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n[/tex3] se n é par.

Sabendo-se que [tex3]a_1 = \sqrt{2}[/tex3]

a) Escreva os oito primeiros termos da sequência.

b) Determine [tex3]a_{37}[/tex3] e [tex3]a_{38}[/tex3]

Resposta

a)[tex3]\sqrt{2},\,6\sqrt{2},\, 2\sqrt{2},\,12\sqrt{2},\,4\sqrt{2},\,24\sqrt{2},\,8\sqrt{2},\,48\sqrt{2}[/tex3]
b) [tex3]a_{37} = 2^{18} \cdot \sqrt{2}[/tex3] [tex3]a_{38} = 2^{19} \cdot 3\sqrt{2}[/tex3]

Resolução do problema 24

Letra a:

Do enunciado, temos:

[tex3]\begin{cases}

a_1 = \sqrt 2 \\ a_2 = 6\sqrt2 \\ a_3 = 2\sqrt2 \\ a_4 = 12\sqrt2 \\ a_5 = 4\sqrt2 \\ a_6 =24\sqrt2 \\ a_7 = 8\sqrt2 \\ a_8 = 48\sqrt2

\end{cases}[/tex3]

Letra b:

Notem que os termos de ordem par formam uma P.G. de razão [tex3]2[/tex3] e [tex3]a_1 = 6\sqrt2[/tex3] . Já os termos de ordem ímpar, formam uma P.G. de razão [tex3]2[/tex3] e [tex3]a_1 = \sqrt 2[/tex3] . Basta então calcular a posição dos termos [tex3]a_{37} \text{ e } a_{38}[/tex3] nas suas respectivas sequencias.

Para o primeiro, temos a seguinte sequência: [tex3](1,3,5,7 \dots 2n-1)[/tex3] . Uma P.A. de razão igual a [tex3]2[/tex3] e [tex3]a_1 = 1[/tex3] . Sendo assim:

[tex3]37 = 1 + (n-1) \cdot 2 \therefore n = 19[/tex3]

Logo, o seu valor é [tex3]a_{37} = \sqrt2 \cdot 2^{18}[/tex3] .

De maneira análoga, temos a outra sequência: [tex3](2,4,6,8 \dots 2n)[/tex3] . A posição que o 38 ocupa é:

[tex3]38 = 2 + (n-1) \cdot 2 \therefore n = 19[/tex3]

Sendo assim: [tex3]a_{38} = 6\sqrt2 \cdot 2^{18} \therefore 3\sqrt2 \cdot 2 \cdot 2^{18} \therefore 3\sqrt2 \cdot 2^{19}[/tex3]

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Problema 25

: usp.png (67.5 KiB) Exibido 6396 vezes

(FUVEST-2014) Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é paralela ao eixo de rotação da Terra. Sendo [tex3]\mu[/tex3] e [tex3]\rho[/tex3] , respectivamente, a latitude e a longitude do local, medidas em graus, pode-se afirmar, corretamente, que a medida em graus do ângulo que essa linha faz com o plano horizontal é igual a

a) [tex3]\rho[/tex3]
b) [tex3]\mu[/tex3]
c) [tex3]90 - \rho[/tex3]
d) [tex3]90 - \mu[/tex3]
e) [tex3]180 - \rho[/tex3]

Nota: Entende-se por plano horizontal, em um ponto da superfície terrestre, o plano perpendicular a reta que passa por esse ponto e pelo centro da Terra.

Resposta

Alternativa b

Solução do problema 25

Estou postando a solução para não ter que retirar o problema

Considerem a seguinte figura:

: eixo.png (10.39 KiB) Exibido 6370 vezes

A reta azul é o plano horizontal. [tex3]P[/tex3] é o ponto de tangência da circunferência e do plano horizontal. A reta laranja é a linha tracejada no enunciado, sendo [tex3]\theta[/tex3] o ângulo formado entre ela e o plano horizontal. No triângulo [tex3]ACP[/tex3] :

[tex3]\theta + 90^{\circ} + 90^{\circ} - \mu = 180^{\circ} \Leftrightarrow \theta = \mu[/tex3]

Alternativa b

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Problema 26

(FUVEST-2014) O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é:

a) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{5}{12}[/tex3]
c) [tex3]\frac{17}{36}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
e) [tex3]\frac{19}{36}[/tex3]

Resposta

Letra c

Mensagem não lidapor **Marcos** » Qui 19 Jun, 2014 15:17 · Mensagem não lida por **Marcos** » Qui 19 Jun, 2014 15:17

Solução do problema 26

Primeiro as possibilidades de dados que não rodaram iguais (soma maior que [tex3]8[/tex3] ):

2 6
3 5 / 3 6
4 5 / 4 6
5 3 / 5 4 / 5 6
6 2 / 6 3 / 6 4 / 6 5

Note que devemos contar, por exemplo, tanto uma vez para se os dados sairem [tex3]2[/tex3] e [tex3]6[/tex3] , quanto pra quando eles sairem [tex3]6[/tex3] e [tex3]2[/tex3] . São possibilidades distintas.

Mais as possibilidades dos dados repetidos (dobro da soma maior que [tex3]8[/tex3] ):

2 2
3 3
4 4
5 5
6 6

No final temos [tex3]17[/tex3] configurações de dados que fazem o jogador andar, pelo menos, [tex3]8[/tex3] casas.O total de configurações diferentes é [tex3]36[/tex3] (6 x 6).
Portanto, a resposta é [tex3]\boxed{\boxed{\frac{17}{36}}}[/tex3] [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]Letra: (C)[/tex3]

Resposta: [tex3]C[/tex3]

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Problema 27

(UNICAMP - 1994) Considere dois quadrados congruentes de lado [tex3]4[/tex3] cm.O vértice de um dos quadrados está no centro do outro quadrado, de modo que esse quadrado possa girar em torno de seu centro.Determine a variação da área obtida pela intersecção das áreas dos quadrados durante a rotação.

: (UNICAMP - 1994).gif (4.42 KiB) Exibido 6361 vezes

Resposta

Não há variação da área da intersecção, tem valor igual a [tex3]4[/tex3] [tex3]cm^2[/tex3] .

Solução do problema 27

É fácil notar, ao girar o quadrado, que a área da interseção continua a mesma, pois as proporções se mantém.

Vejam a seguinte animação (quadrado de lado [tex3]\sqrt{32}[/tex3] ):

A área da interseção é constante.

Sabendo disso, para calculá-la, basta pegar um certo momento da rotação favorável, que é o caso ilustrado na seguinte figura:

: quadrado.png (3.59 KiB) Exibido 6347 vezes

A área vale 4.

Resposta: A área tem valor constante: 4

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Problema 28

(UNICAMP - 1988) Numa esfera de raio unitário está inscrito um cubo ; neste cubo está inscrita uma esfera, na qual está inscrito um cubo, e assim por diante. Demonstre que os raios das esferas, na ordem em que aparecem, estão em progressão geométrica. Determine a razão da progressão e calcule a sua soma.

Resposta

[tex3]q = \frac{\sqrt3}{3}, S = 3 + \frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

Solução do problema 28

Seja "a" a aresta do primeiro cubo e "r" o raio da primeira esfera, temos:

r = [tex3]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex3]

1 = [tex3]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex3]

a = [tex3]\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Assim, o raio da segunda esfera é metade dessa aresta:

r' = [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Os raios continuam infinitamente e formando uma PG com razão: [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

A sua soma é dada por:

[tex3]S_n = \frac{a_1}{1-q}[/tex3]

[tex3]S_n = \frac{1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}[/tex3]

[tex3]S_n = \frac{3+\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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Problema 29

(Fuvest-89)

Os lados de um retângulo de área 12 m² estão na razão 1:3 . Qual o perímetro do retângulo ?

a) 8 cm
b) 12 cm
c) 16 cm
d) 20 cm
e) 24 cm

Resposta

C)

Solução do problema 29

Seja [tex3]c[/tex3] o comprimento do retângulo e [tex3]h[/tex3] a altura. Do enunciado, temos:

[tex3]\begin{cases}

c \cdot h = 12 \dots I \\
\frac{c}{h} = \frac{1}{3} \therefore c = 3h \dots II

\end{cases}

\\\\

II \text{ em } I: 3h^2 = 12 \therefore h^2 = 4, h > 0: h = 2 \rightarrow c = 6[/tex3]

Assim, [tex3]2p = 2 \cdot (c+h) \therefore 2p = 16 \,\, cm[/tex3]

Alternativa c.

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Problema 30

(UNICAMP - 1988) Sejam [tex3]L[/tex3] e [tex3]l[/tex3] o comprimento e a largura, respectivamente, de um retângulo que possui a seguinte propriedade: eliminando-se desse retângulo um quadrado de lado igual à largura [tex3]l[/tex3] , resulta um novo retângulo semelhante ao primeiro. Demonstre que a razão [tex3]\frac{l}{L}[/tex3] é o número [tex3]\phi = \frac{\sqrt5 - 1}{2}[/tex3] , chamado "razão áurea".

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