Maratonas de MatemáticaI Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 40

Vamos encontrar o centro e o raio da circunferência:

C(4,0); R = 2

Como a reta é tangente, a distância da mesma ao centro da circunferência é igual ao raio. Assim:

\frac{|m \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2 \therefore |4m| = 2\sqrt{m^2+1} \therefore 16m^2 = 4m^2 + 4 \therefore \\\\ 12m^2 = 4 \therefore m^2 = \frac{1}{3}, m > 0: m = \frac{\sqrt3}{3}

Assim, a reta é: y = \frac{\sqrt3}{3} x. Agora, de posse do coeficiente angular, fica fácil:

\tan \theta = \frac{\sqrt3}{3} \therefore \tan \theta = \tan \frac{\pi}{6} \rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}

Assim, \sin \theta = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.

Alternativa b.

-----------------------------------------------------------------------------------

Problema 41

(FUVEST-2012) Considere a função f(x) = 1 - \frac{4x}{(x+1)^2}, a qual está definida para x \neq -1. Então para todo x \neq 1 e x \neq -1, o produto f(x) \cdot f(-x) é igual a

a) -1
b) 1
c) x+1
d) x^2+1
e) (x-1)^2
Resposta

Alternativa b

Última edição: PedroCunha (Sex 20 Jun, 2014 21:28). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 41

f(x) \cdot f(-x) =

[tex3]\left( 1-\frac{4x}{(x+1)^2}\right)[/tex3] . [tex3]\left( 1+\frac{4x}{(-x+1)^2}\right)[/tex3] =

[tex3]\left(\frac{(x+1)^2 - 4x}{(x+1)^2}\right)[/tex3] . [tex3]\left(\frac{(-x+1)^2 +4x}{(-x+1)^2}\right)[/tex3] =

[tex3]\left(\frac{x^2 +2x+1-4x}{(x+1)^2}\right)[/tex3] . [tex3]\left(\frac{x^2-2x+1+4x}{(-x+1)^2}\right)[/tex3] =

[tex3]\left(\frac{x^2-2x+1}{(x+1)^2}\right)[/tex3] . [tex3]\left(\frac{x^2+2x+1}{(-x+1)^2}\right)[/tex3] =

[tex3]\left(\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}\right)[/tex3] . [tex3]\left(\frac{(x+1)^2}{(-x+1)^2}\right)[/tex3] =

[tex3]\left(\frac{(x-1)^2}{(-x+1)^2}\right)[/tex3] =

[tex3]\left(\frac{x^2 -2x + 1}{(-x+1)^2}\right)[/tex3] =

1

----------------------------------------------------------------------

Problema 42

(Fuvest 1990)

Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O cosseno do maior ângulo de T é:

a) 5/6
b) 4/5
c) 3/4
d) 2/3
e) 1/8
Resposta

e)

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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 42

Sabendo que o maior cosseno é o do ângulo que se opõe ao maior lado e aplicando a Lei dos Cossenos, temos:

6^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos \hat{T} \therefore -5 = -40\cos \hat{T} \therefore \cos \hat{T} = \frac{1}{8}

Alternativa e.

--------------------------------------------------------------------------

Problema 45

(FUVEST-2005) A figura representa duas circunferências de raios R e r com centros nos pontos A e B, respectivamente, tangenciando-se externamente no ponto D. Suponha que:

a) As retas t_1 e t_2 são tangentes a ambas as circunferências e interceptam-se no ponto C.
b) A reta t_2 é tangente às circunferências no ponto D.
Sem título.png
Sem título.png (6.36 KiB) Exibido 4846 vezes
Calcule a área do triângulo ABC em função dos raios R e r.
Resposta

\frac{(R+r) \cdot \sqrt{R \cdot r}}{2}
Questão já existe no Fórum porém com resolução errada
Última edição: PedroCunha (Sáb 21 Jun, 2014 08:11). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por Marcos »

Solução do problema 43
FUVEST 2005.gif
FUVEST 2005.gif (5.96 KiB) Exibido 4844 vezes
Seja h=DC a altura relativa ao lado AB do \triangle_{ABC}.
No \triangle_{AOB}, aplicando o Teorema de Pitágoras, tem-se:
(AB)^2=(AO)^2+(OB)^2
(R+r)^2=(R-r)^2+(2h)^2
(R^2+2Rr+r^2)=(R^2-2Rr+r^2)+4h^2
4Rr=4h^2
h=\sqrt{Rr}

Assim, a área S do \triangle_{ABC} é dada por:

S=\frac{AB.h}{2}
S=\frac{(R+r).\sqrt{Rr}}{2}

Resposta: \frac{(R+r).\sqrt{Rr}}{2}

-------------------------------------------------------------------

Problema 44

(FUVEST 1997) Durante uma viagem choveu 5 vezes.A chuva caia pela manhã ou à tarde, nunca o dia todo.Houve 6 manhãs e 3 tardes sem chuva.Quantos dias durou a viagem ?

a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Resposta

B
Última edição: Marcos (Sáb 21 Jun, 2014 10:46). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 44

Questão já resolvida corretamente no Fórum: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/mat ... t1031.html

------------------------------------------------------------------------------------

Problema 45

(UNICAMP-1990) Determinar as equações cartesianas dos círculos que passam pelos pontos (2a , 0) e (0 , 2b), centrados, respectivamente, em (a , 0) e (0 , b), onde a e b são números positivos. Determine os pontos de interseção desses círculos.
Resposta

I_1: (0,0) ; I_2: \left( \frac{2ab^2}{a^2+b^2} ; \frac{2a^2b}{a^2+b^2} \right)
Última edição: PedroCunha (Sáb 21 Jun, 2014 12:24). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 45

A 1° circunferência tem raio = a, centro = (a,0) e equação:

[tex3](x-a)^{2} + (y-0)^2 = a^2[/tex3]
[tex3]x^{2} -2xa + y^2 = 0[/tex3]

A 2° circunferência tem raio = b, centro = (0,b) e equação:

[tex3](x-0)^{2} + (y-b)^2 = b^2[/tex3]
[tex3]x^{2} -2yb + y^2 = 0[/tex3]

Isolando o "x" e o "y", os pontos de intersecção podem ser achados pelo sistema:

[tex3]\begin{cases}
y^2 = -x^2 + 2xa \\
x = \sqrt{2yb - y^2}
\end{cases}[/tex3]


[tex3]x^{2} -2xa + y^2 = 0[/tex3]

substituindo o "x" =

[tex3]2yb -y^2 -2a . \sqrt{2yb-y^2} + y^2 = 0[/tex3]

[tex3]2yb -2a . \sqrt{2yb-y^2} = 0[/tex3]


[tex3]-2a . \sqrt{2yb-y^2} = -2yb[/tex3]

[tex3]a . \sqrt{2yb-y^2} = yb[/tex3]

[tex3]a^2 . (2yb-y^2) = y^2b^2[/tex3]

[tex3]2a^2yb-a^2y^2 = y^2b^2[/tex3]

[tex3]2a^2yb-a^2y^2 - y^2b^2 = 0[/tex3]

[tex3]y .(2b^2 - ya^2 - yb^2) = 0[/tex3]

y = 0

[tex3]2b^2 - ya^2 - yb^2 = 0[/tex3]

[tex3]-y . (a^2+b^2) = -2ba^2[/tex3]

[tex3]y = \frac{2ba^2}{a^2+b^2}[/tex3]

Agora o "x":

[tex3](x-0)^2 - (y-b)^2 = b^2[/tex3]

[tex3]x^2 - (\frac{2ba^2}{a^2+b^2}-b)^2 = b^2[/tex3]

[tex3]x^2 + (\frac{2ba^2}{a^2+b^2})^2 - \frac{4b^2a^2}{a^2+b^2} + b^2 = b^2[/tex3]

[tex3]x^2 + (\frac{2ba^2}{a^2+b^2})^2 - \frac{4b^2a^2}{a^2+b^2} = 0[/tex3]

[tex3]x^2 . (a^2+b^2) + (\frac{4b^2a^4}{a^2+b^2}) - 4b^2a^2 = 0[/tex3]

[tex3]x^2 . (a^2+b^2) = - (\frac{4b^2a^4}{a^2+b^2}) + 4b^2a^2[/tex3]

[tex3]x^2 . (a^2+b^2) = \frac{4b^2a^4 + 4b^4a^2 - 4b^2a^4}{a^2+b^2}[/tex3]

[tex3]x^2 . (a^2+b^2) = \frac{ 4b^4a^2 }{a^2+b^2}[/tex3]

[tex3]x^2 = \frac{ 4b^4a^2 }{(a^2+b^2)^2}[/tex3]

[tex3]x = \sqrt{\frac{ 4b^4a^2 }{(a^2+b^2)^2}}[/tex3]

x = [tex3]\frac{\sqrt{4b^4a^2}}{a^2+b^2}[/tex3]

x = [tex3]\frac{{2b^2a}}{a^2+b^2}[/tex3]

Para o y = 0, temos:

[tex3]x^{2} = 2yb - y^2[/tex3]

[tex3]x^{2} = 0^2[/tex3]

[tex3]x = 0[/tex3]

Então, os pontos de intersecção são:

[tex3](\frac{{2b^2a}}{a^2+b^2} ,\frac{2ba^2}{a^2+b^2})[/tex3] , [tex3](0 , 0)[/tex3]

Problema 46

(Fuvest 2006)

O conjuntos dos pontos (x,y) do plano cartesiano que satisfazem [tex3]t^{2} -t - 6 = 0[/tex3] , onde t = |x-y|, consiste de:

a) uma reta
b) duas retas
c) quatro retas
d) uma parábola
e) duas parábolas
Resposta

b)
Última edição: Ittalo25 (Sáb 21 Jun, 2014 19:55). Total de 1 vez.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por Marcos »

Solução do problema 46

t^2-t-6=0 [tex3]\Rightarrow[/tex3] t=-2\ \ \ ou\  \ \ t=3
Como t=\vert x-y\vert:

i) \vert x-y\vert=3 [tex3]\rightarrow[/tex3] x-y=-3 \ \ \ ou \ \ \ x-y=3, ou seja, 2 retas paralelas;
ii) \vert x-y\vert=-2 (não convém).

Assim, o conjunto de pontos (x,y) que satisfaz a equação dada consiste de 2 retas. [tex3]\Longrightarrow[/tex3] Letra: (B)

Resposta: B

------------------------------------------------------

Problema 47

(Fuvest 93) 95% da massa de uma melancia de 10 kg é constituída por água.A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação da água na massa da melancia se reduza a 90%.A massa da melancia após esse processo de desidratação será igual a:

a) \frac{5}{9}\ kg
b) \frac{9}{5} \ kg
c) 5 \ kg
d) 9 \ kg
e) 9,5 \ kg
Resposta

C
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 47

Seja x a quantidade eliminada. Do enunciado:

9,5 - x = 0,9 \cdot (10-x) \therefore 9,5 - x = 9 - 0,9x \therefore 0,5 = 0,1x \rightarrow x = 5

Assim, a massa da melancia passa a ser 10-5 = 5kg.

Alternativa c.

------------------------------------------------------------------------------

Problema 48

(UNICAMP - 1989) Uma esfera de 4 cm de raio cai numa cavidade cônica de 12 cm de profundidade, cuja abertura tem 5 cm de raio. Determine a distância do vértice da cavidade à esfera.
uni.png
uni.png (3.82 KiB) Exibido 4790 vezes
Resposta

x = 6,4 cm
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 48

Primeiramente, vamos achar a geratriz (g) do cone:

[tex3]g^{2} = 12^{2} + 5^{2}[/tex3]

[tex3]g = 13 cm[/tex3]

Então, por semelhança dos dois triângulos retângulos da imagem, temos:

\frac{13}{x+4} = \frac{5}{4} \therefore 52 = 5x+20 \therefore 32 = 5x \rightarrow x = 6,4cm

------------------------------------------------------

Problema 49

(Unicamp 1993)

Dada uma elipse de semi-eixos a e b, calcule, em termos destes parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse.
imagem50.gif
imagem50.gif (33.44 KiB) Exibido 4780 vezes
Resposta

[tex3]A = \frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}[/tex3]
Última edição: Ittalo25 (Dom 22 Jun, 2014 00:11). Total de 3 vezes.


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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 49

Seja a elipse citada um elipse centrada na origem. Sua equação será \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. Como o quadrado pertence à elipse, sendo L o seu lado e \left( \frac{L}{2} ; \frac{L}{2} \right) um de seus vértices, temos:

\frac{\left(\frac{L}{2}\right)^2}{a^2} + \frac{\left( \frac{L}{2} \right)^2}{b^2} = 1 \therefore a^2 \cdot L^2 + b^2 \cdot L^2 = 4a^2b^2 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ L^2 = \frac{4a^2b^2}{a^2+b^2} }}

Mas L^2 é justamente a área do quadrado. Sendo assim, a resposta é \frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}.

---------------------------------------------------------------------------

Problema 50

(FUVEST-2005 - Adaptada ) A figura abaixo mostra uma pirâmide reta, cuja base ABCD é um quadrado de lado 1 e altura EF = 1. Sendo G o ponto médio da altura \overline{EF} e \alpha a medida do ângulo AG\hat{B}, então o \cos \alpha vale
fuves.png
fuves.png (4.37 KiB) Exibido 4778 vezes
a) \frac{1}{2}
b) \frac{1}{3}
c) \frac{1}{4}
d) \frac{1}{5}
e) \frac{1}{6}
Resposta

Alternativa b

Última edição: PedroCunha (Dom 22 Jun, 2014 00:32). Total de 1 vez.


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