Solução do problema 45
A 1° circunferência tem raio = a, centro = (a,0) e equação:
[tex3](x-a)^{2} + (y-0)^2 = a^2[/tex3]
[tex3]x^{2} -2xa + y^2 = 0[/tex3]
A 2° circunferência tem raio = b, centro = (0,b) e equação:
[tex3](x-0)^{2} + (y-b)^2 = b^2[/tex3]
[tex3]x^{2} -2yb + y^2 = 0[/tex3]
Isolando o "x" e o "y", os pontos de intersecção podem ser achados pelo sistema:
[tex3]\begin{cases}
y^2 = -x^2 + 2xa \\
x = \sqrt{2yb - y^2}
\end{cases}[/tex3]
[tex3]x^{2} -2xa + y^2 = 0[/tex3]
substituindo o "x" =
[tex3]2yb -y^2 -2a . \sqrt{2yb-y^2} + y^2 = 0[/tex3]
[tex3]2yb -2a . \sqrt{2yb-y^2} = 0[/tex3]
[tex3]-2a . \sqrt{2yb-y^2} = -2yb[/tex3]
[tex3]a . \sqrt{2yb-y^2} = yb[/tex3]
[tex3]a^2 . (2yb-y^2) = y^2b^2[/tex3]
[tex3]2a^2yb-a^2y^2 = y^2b^2[/tex3]
[tex3]2a^2yb-a^2y^2 - y^2b^2 = 0[/tex3]
[tex3]y .(2b^2 - ya^2 - yb^2) = 0[/tex3]
y = 0
[tex3]2b^2 - ya^2 - yb^2 = 0[/tex3]
[tex3]-y . (a^2+b^2) = -2ba^2[/tex3]
[tex3]y = \frac{2ba^2}{a^2+b^2}[/tex3]
Agora o "x":
[tex3](x-0)^2 - (y-b)^2 = b^2[/tex3]
[tex3]x^2 - (\frac{2ba^2}{a^2+b^2}-b)^2 = b^2[/tex3]
[tex3]x^2 + (\frac{2ba^2}{a^2+b^2})^2 - \frac{4b^2a^2}{a^2+b^2} + b^2 = b^2[/tex3]
[tex3]x^2 + (\frac{2ba^2}{a^2+b^2})^2 - \frac{4b^2a^2}{a^2+b^2} = 0[/tex3]
[tex3]x^2 . (a^2+b^2) + (\frac{4b^2a^4}{a^2+b^2}) - 4b^2a^2 = 0[/tex3]
[tex3]x^2 . (a^2+b^2) = - (\frac{4b^2a^4}{a^2+b^2}) + 4b^2a^2[/tex3]
[tex3]x^2 . (a^2+b^2) = \frac{4b^2a^4 + 4b^4a^2 - 4b^2a^4}{a^2+b^2}[/tex3]
[tex3]x^2 . (a^2+b^2) = \frac{ 4b^4a^2 }{a^2+b^2}[/tex3]
[tex3]x^2 = \frac{ 4b^4a^2 }{(a^2+b^2)^2}[/tex3]
[tex3]x = \sqrt{\frac{ 4b^4a^2 }{(a^2+b^2)^2}}[/tex3]
x = [tex3]\frac{\sqrt{4b^4a^2}}{a^2+b^2}[/tex3]
x = [tex3]\frac{{2b^2a}}{a^2+b^2}[/tex3]
Para o y = 0, temos:
[tex3]x^{2} = 2yb - y^2[/tex3]
[tex3]x^{2} = 0^2[/tex3]
[tex3]x = 0[/tex3]
Então, os pontos de intersecção são:
[tex3](\frac{{2b^2a}}{a^2+b^2} ,\frac{2ba^2}{a^2+b^2})[/tex3]
, [tex3](0 , 0)[/tex3]
Problema 46
(Fuvest 2006)
O conjuntos dos pontos (x,y) do plano cartesiano que satisfazem [tex3]t^{2} -t - 6 = 0[/tex3]
, onde t = |x-y|, consiste de:
a) uma reta
b) duas retas
c) quatro retas
d) uma parábola
e) duas parábolas
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]