Resolução do problema 106a) Temos que:
[tex3]S_T = \dfrac{1}{2}\left(AB\cdot AD\right) = \dfrac{1}{2}\left(2\cdot 3\right) = \boxed{\boxed{3}}[/tex3]
b) Primeiramente, encontramos a área do paralelepípedo. Para isso, basta multiplicar duas vezes a área do triângulo obtido anteriormente com a altura:
[tex3]V_P=2\cdot S_T \cdot AE = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24[/tex3]
Como em todo prisma, cabem 6 tetraedros, o volume de cada tetraedro [tex3]V_T[/tex3]
é dado por:
[tex3]V_T = \dfrac{V_P}{6} = \boxed{\boxed{4}}[/tex3]
c) Por Pitágoras, calculamos [tex3]BD, DE \ e \ EB[/tex3]
:
[tex3]BD = \sqrt{AB^2 +AD^2} = \sqrt{13}[/tex3]
[tex3]DE = \sqrt{AD^2 +AE^2} = 5[/tex3]
[tex3]EB = \sqrt{AB^2 +AE^2} = 2\sqrt{5}[/tex3]
Pelo lei dos cossenos, encontraremos [tex3]\cos \hat B[/tex3]
:
[tex3]DE^2 = BD^2+EB^2-2\cdot BD\cdot EB \cdot \cos \hat B[/tex3]
[tex3]\cos \hat B = \dfrac{\left(BD^2+EB^2\right) - DE^2}{2 \cdot BD \cdot EB} = \dfrac{2}{\sqrt{65}}[/tex3]
Agora, calculemos [tex3]\sen \hat B[/tex3]
por:
[tex3]\sen \hat B = \sqrt{1 - \cos^2 \hat B} = \dfrac{\sqrt{61}}{\sqrt{65}}[/tex3]
logo:
[tex3]S_{BDE} = \dfrac{BD \cdot EB}{2} \cdot \sen \hat B = \boxed{\boxed{\sqrt{61}}}[/tex3]
d) O ponto [tex3]Q[/tex3]
será justamente a projeção de [tex3]A[/tex3]
no triângulo [tex3]\Delta BDE[/tex3]
(pois trata-se da menor distância). Logo:
[tex3]\dfrac{S_{BDE}\cdot AQ}{3}=V_T \Rightarrow AQ = \dfrac{3\cdot V_T}{S_{BDE}} = \boxed{\boxed{\dfrac{12}{\sqrt{61}}}}[/tex3]
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Problema 107
(FUVEST 2014) Dados [tex3]m[/tex3]
e [tex3]n[/tex3]
inteiros, considere a função [tex3]f[/tex3]
definida por
[tex3]f(x) = 2 - \dfrac{m}{x+n}[/tex3]
para [tex3]x\neq -n[/tex3]
a) No caso em que [tex3]m=n=2[/tex3]
, mostre a igualdade [tex3]f(\sqrt{2})=\sqrt{2}[/tex3]
se verifica.
b) No caso em que [tex3]m=n=2[/tex3]
, ache as interseções do gráfico de [tex3]f[/tex3]
com os eixos coordenados.
c) No caso em que [tex3]m=n=2[/tex3]
, esboce a parte do gráfico de [tex3]f[/tex3]
em que [tex3]x>-2[/tex3]
, levando em conta as informações obtidas nos itens a) e b).
d) Existe um par de inteiros [tex3](m,n) \neq (2,2)[/tex3]
tal que a condição [tex3]f(\sqrt{2})=\sqrt{2}[/tex3]
continue sendo satisfeita?
As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...