Maratonas de Matemática

Mensagem não lida por **PedroCunha** » 20 Dez 2014, 00:35

Solução do problema 130

Podemos montar a seguinte figura:

: FUVEST 2004.png (6.04 KiB) Exibido 6000 vezes

Aplicando o Teorema da Bissetriz Interna:

$\frac{2}{AM} = \frac{4}{5-AM} \therefore 4AM = 10 - 2AM \Leftrightarrow AM = \frac{5}{3}$

Definimos então: $AN = \frac{5}{3} - x$ e $BN = 5 - \left( \frac{5}{3} - x \right) = \frac{10}{3} + x$ .

Aplicando Pitágoras nos triângulos ACN e BCN, chegamos em:

$\begin{cases} AN^2 + h^2 = 2^2 \therefore h^2 = 4 - AN^2 \\ BN^2 + h^2 = 4^2 \therefore h^2 = 16 - BN^2 \end{cases} \Leftrightarrow BN^2 - AN^2 = 12 \Leftrightarrow x = \frac{11}{30}$

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Problema 131

(FUVEST-2004) Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância
de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro.

Resposta

60km

Solução do problema 131

Seja [tex3]d_1, d_2,d_3,d_4[/tex3] as distâncias, respectivamente, de A até B, de B até C, de B até P e de P até C. A partir das informações do enunciado, podemos montar o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
d_2=\frac{2}{3}d_1 \\
d_1+d_3=210 \\
d_3-d_4=20
\end{cases}[/tex3]
Podemos reescrever a primeira equação como:
[tex3]d_3+d_4=\frac{2}{3}d_1[/tex3] (i)
Da segunda equação, tiramos:
[tex3]d_1=210-d_3[/tex3] (ii)
E da última:
[tex3]d_4=d_3-20[/tex3] (iii)
Portanto, colocando (ii) e (iii) em (i):
[tex3]d_3+d_3-20=\frac{2}{3}(210-d_3)\rightarrow 8d_3=480\rightarrow \boxed{\boxed{\boxed{d_3=60}}}[/tex3] km.

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Problema 132

[Fuvest-2007] Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação [tex3]5 \cos2x+3\sin x=4[/tex3] . Determine os valores de senx e cosx.

Resposta

[tex3]\sin x=-\frac{1}{5} ; \ cos x= -\frac{2\sqrt{6}}{5}[/tex3]

Mensagem não lida por **PedroCunha** » 21 Dez 2014, 16:07

Solução do problema 132

Temos:

*Obs,: $x \in 3^{\circ}Q \Leftrightarrow \sin x \leq 0 \text{ e } \cos x \leq 0$

$5\cos(2x) + 3\sin x = 4 \therefore 5 \cdot (1 - 2\sin^2x) + 3\sin x = 4 \therefore \\\\ -10\sin^2x + 3\sin x + 1 = 0 \\\\ \sin x = \frac{-3 \pm 7}{-20} \Leftrightarrow \sin x = -\frac{1}{5} \text{ ou } \cancel{\sin x = \frac{1}{2}}$

Então, $\cos^2x = 1 - \frac{1}{25} \therefore \cos x = -\frac{2\sqrt6}{5}$

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Problema 133

(FUVEST-2012) Determine para quais valores reais de $x$ é verdadeira a desigualdade

$|x^2-10x+21| \leq |3x-15|$

Resposta

$S = \{ x \in \mathbb{R} | 1 \leq x \leq 4 \text{ ou } 6 \leq x \leq 9 \}$

Solução problema 133

Seja [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3] . Se [tex3]|x|\leq a[/tex3] , então [tex3]-a\leq x\leq a[/tex3] :
[tex3]-(3x-15)\leq x^2-10x+21\leq 3x-15[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x^2-10x +21\geq -3x+15\rightarrow x^2-7x+6\geq 0\\
x^2-10x+21\leq 3x-15\rightarrow x^2-13x+36\leq 0
\end{cases}[/tex3]
Ambas desigualdades devem ser satisfeitas simultaneamente.
Considere as funções [tex3]f(x)=x^2-7x+6[/tex3] e [tex3]g(x)=x^2-13x+36[/tex3] . Calculamos f(x)=0 e g(x)=0:
[tex3]x^2-7x+6=0\rightarrow x=\frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2}\rightarrow x=6 ; x=1[/tex3]
[tex3]x^2-13x+36=0\rightarrow x=\frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{2}=\frac{13 \pm 5}{2}\rightarrow x=9; x=4[/tex3]
Então:
[tex3]f(x)\geq 0\rightarrow x\leq 1[/tex3] ou [tex3]x\geq 6[/tex3]
[tex3]g(x)\leq 0 \rightarrow 4\leq x\leq 9[/tex3]
Fazendo a intersecção, temos:
[tex3]S= x \in \mathbb{R}| 1\leq x\leq 4[/tex3] ou [tex3]6\leq x\leq 9}[/tex3]

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Problema 134

[Fuvest -2007] Em uma PA [tex3]a_1,a_2,...,a_n[/tex3] a soma dos n primeiros termos é dada por [tex3]S_n=bn^2+n[/tex3] , sendo b um número real. Sabe-se que [tex3]a_3=7[/tex3] , determine:

a) O valor de b e a razão da PA
b) O 20° termo da progressão
c) A soma dos 20 primeiros termos da progressão

Resposta

a) [tex3]b=\frac{6}{5}; \ r=\frac{12}{5}[/tex3] b) [tex3]a_20= \frac{239}{5}[/tex3] c) 500

Mensagem não lida por **PedroCunha** » 21 Dez 2014, 19:08

Solução do problema 134

Letra a:

$\begin{cases} S_3 - S_2 = a_3 \therefore 9b + 3 - 4b - 2 = 7 \therefore 5b = 6 \Leftrightarrow b = \frac{6}{5} \\ S_2 - S_1 = a_2 \therefore 4b+2 - b - 1 = a_2 \therefore a_2 = \frac{18}{5} + 1 \therefore a_2 = \frac{23}{5} \\ r = a_3 - a_2 = \frac{12}{5} \end{cases}$

Letra b:

Para não termos que utilizar números muito grandes, podemos encontrar o 20° termo da seguinte maneira:

$\begin{cases} a_3 = a_1 + 2r \therefore a_1 = 7 - \frac{24}{5} = \frac{11}{5} \\ a_{20} = a_1 + 19r \therefore a_{20} = \frac{11}{5} + \frac{228}{5} = \frac{239}{5} \end{cases}$

Letra c:

Basta substituir $n$ por 20 na fórmula dada:

$S_{20} = \frac{6}{5} \cdot 20^2 + 20 = 500$

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Problema 135

(UNICAMP-2012) Considere a função $f(x) = 2x + |x + p|$ , definida para $x$ real.

a) A figura abaixo mostra o gráfico de $f(x)$ para um valor específico de $p$ . Determine esse valor.

: Sem título.png (8.53 KiB) Exibido 5991 vezes

b) Supondo, agora, que $p = -3$ , determine os valores de $x$ que satisfazem a equação $f(x) = 12$ .

Resposta

Letra a: $p = -1$
Letra b: $x = 5$

Solução problema 135

a) Quando [tex3]x=1, f(x)=2[/tex3]
[tex3]2=2+|1+p|\rightarrow 0=|1+p|\rightarrow \boxed{p=-1}[/tex3]

b) [tex3]12=2x+|x-3|\rightarrow 12-2x=|x-3|\rightarrow x-3=\pm(12-2x)[/tex3]
(i)
[tex3]x-3=12-2x\rightarrow 3x=15\rightarrow x=5[/tex3]
[tex3]x-3=-12+2x\rightarrow -x=-9\rightarrow x=9[/tex3]

Veja que x=9 não pode ser um valor de x, pois 12-2.9=12-18=-6, e o módulo de um número real não pode ser negativo.

Resposta: x=5

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Problema 136

[Fuvest- 2003] Nos itens abaixo, z é um número complexo e i é a unidade imaginária. Suponha que [tex3]z \neq i[/tex3] .

a) Para que valores de z, tem-se [tex3]\frac{z+i}{1+iz}=2[/tex3] ?

b) Determine o conjunto de todos os valores de z para quais [tex3]\frac{z+i}{1+iz}[/tex3] é um número real.

Mensagem não lida por **PedroCunha** » 22 Dez 2014, 14:00

Solução do problema 136

Letra a:

Seja $z = a+bi$ . Temos:

$\frac{z+i}{1+iz} = 2 \therefore a+bi + i = 2 + 2i \cdot (a+bi) \therefore a + bi+i - 2 - 2ai + 2b = 0 \therefore \\\\ (a+2b-2) + i \cdot (-2a+b+1) = 0 \\\\ \begin{cases} a+2b-2 = 0 \therefore a+2b = 2 \dots I \\ -2a+b+1 = 0 \therefore -2a+b = -1 \dots II \end{cases} \\\\ 2I+II: 4b+b = 4-1 .:. b = \frac{3}{5} \Leftrightarrow a = \frac{4}{5} \Leftrightarrow z = \frac{4}{5} + i \cdot \frac{3}{5}$

Letra b:

Primeira condição: $z \neq i$

$\frac{z+i}{1+iz} \therefore \frac{(z+i) \cdot (1-iz)}{(1+iz) \cdot (1-iz)} \therefore \frac{z - iz^2 + i + z}{1^2 - i^2z^2} \therefore \frac{2z + i \cdot (1-z^2)}{1+z^2}$

Para ser real, devemos ter a parte imaginária nula. Assim:

$\begin{cases} \frac{1-z^2}{1+z^2} = 0 \therefore z = \pm 1 \text{ ou } |z| = 1 \end{cases}$

Logo: $\{z \in \mathbb{C} | |z| = 1 \text{ e } z \neq i \}$ .

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Problema 137

(UNICAMP-2001) Considere, no plano $xy$ , as retas $y = 1, y = 2x - 5$ e $x - 2y + 5 = 0$ .

a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo $ABC$ formado por essas retas?
b) Qual é a área do triângulo $ABC$ ?

Resposta

Letra a: $A(3,1), B(-3,1), C(5,5)$
Letra b: $S_{\triangle} = 12u.a.$

Solução problema 137
a) Basta calcular os pontos de intersecções entre as retas:
(i) $1=2x-5 \Rightarrow x=3$
$\therefore y=1$
A(3,1)
(ii) $1= \frac{x+5}{2} \Rightarrow2=x+5\Rightarrow x=-3$
$\therofore y=1$
B(-3,1)
(iii) $2x-5=\frac{x+5}{2}\Rightarrow4x-10=x+5\Rightarrow3x=15\Rightarrow x=5$
$y=2.5-5=5$
C(5,5)
b) A área do triângulo ABC é igual a:
$A=\frac{|\det M|}{2}$
onde M é a matriz
[tex3]M=\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
-3 & 1 & 1 \\
5 & 5 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Calculando esse determinante, encontramos $\det M=-24$
Então, $A=\frac{|-24|}{2}=12$ u.a
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Problema 138
[Fuvest- 1993] O valor máximo da função $f(x)=3\cos x+ 2 \sin x$ é:

Resposta

$\sqrt{13}$

Mensagem não lida por **PedroCunha** » 22 Dez 2014, 16:15

Solução do problema 138

Utilizando o truque do triângulo retângulo, seja $\theta$ um ângulo tal que exista um triângulo retângulo com catetos $3$ e $2$ e portanto hipotenusa $\sqrt{13}$ , cujo seno vale $\frac{2}{\sqrt{13}}$ e o cosseno vale $\frac{3}{\sqrt{13}}$ .Assim, podemos reescrever a função dada como:

$f(x) = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} \cdot \left( 2\sin x + 3\cos x\right) \therefore f(x) = \sqrt{13} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \sin x + \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \cos x \right) \therefore \\\\ f(x) = \sqrt{13} \cdot (\sin \theta \sin x + \cos \theta \cos x) \therefore f(x) = \sqrt{13} \cdot \cos(\theta - x)$

Logo, como $\cos (\theta - x) \in [-1,1]$ , o valor máximo de $f(x)$ é 1.

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Problema 139

(FUVEST-2003) Determine os valores de $x$ no intervalo $]0,2\pi[$ para os quais $\cos x \geq \sqrt{3} \sin x + \sqrt3$ .

Resposta

$\frac{3\pi}{2} \leq x \leq \frac{11\pi}{6}$

Solução problema 139
Podemos resolver essa questão elevando ambos os membros ao quadrado:
$\cos^2x\geq (\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3})^2 \Rightarrow \cos^2x\geq 3.\sin^2x+6\sin x+3$
[tex3]1-\sin^2x\geq 3\sin^2x+6\sin x+3\Rightarrow-4.\sin^2x-6\sin x-2\geq 0[/tex3]
Ou seja, devemos resolver a inequação
[tex3]2\sin^2x+3\sin x+1\leq 0[/tex3]
Fazendo $y=\sin^2x$ , temos:
$2y^2+3y+1\leq 0$
Seja agora a função $g(y)=2y^2+3y+1$ . Suas raízes são:
[tex3]g(y)=0 \Rightarrow y=\frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{4}=\frac{-3 \pm 1}{4}\Rightarrow y=-\frac{1}{2} ; y=-1[/tex3]
Então, para termos $g(y)\leq 0$ , $-1\leq y\leq -\frac{1}{2}\Rightarrow-1\leq \sin x\leq -\frac{1}{2}$
Ou seja, [tex3]\sin \frac{3\pi}{2}\leq \sin x \leq \sin \frac{11\pi}{6} \Longleftrightarrow \frac{3\pi}{2} \leq x \leq \frac{11 \pi}{6}[/tex3]

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Questão 140
[Fuvest-2003]A soma dos 5 primeiros termos de uma PG, de razão negativa é 1/2. Além disso, a diferença entre o sétimo e o segundo termo da PG é igual a 3. Determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.

Resposta

a) $-2$ b) $\frac{3}{22}$

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