Maratonas de Matemática

Mensagem não lida por **PedroCunha** » 07 Dez 2014, 19:59

Solução do problema 110

Letra a;

$x + \frac{1}{x} = b \therefore x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = b^2 \therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = b^2 - 2$

Letra b:

$x^2-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2} = 0 \therefore \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) - 5 \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + 8 = 0$

Fazendo a substituição $x + \frac{1}{x} = y$ e notando que $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2-2$ . temos:

$y^2-2 - 5y+8 = 0 \therefore y^2-5y+6 = 0 \Leftrightarrow y = 2 \text{ ou } y = 3$

Desfazendo a troca:

$\begin{cases} x+\frac{1}{x} = 2 \therefore x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \\ x + \frac{1}{x} = 3 \therefore x^2 - 3x+1 =0 \Leftrightarrow x = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \end{cases}$

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Problema 111

(FUVEST-2015) Sabe-se que existem números reais $A$ e $x_0$ , sendo $A > 0$ , tais que $\sin x + 2\cos x = A \cdot \cos (x - x_0)$ para todo $x$ real. O valor de $A$ é igual a

a) $\sqrt{ 2 }$
b) $\sqrt{ 3 }$
c) $\sqrt{ 5 }$
d) $2\sqrt2$
e) $2\sqrt3$

Gabarito

Alternativa c

Mensagem não lida por **poti** » 08 Dez 2014, 13:26

Solução do Problema 111

$y^2 + (2y)^2 = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Então, $y = sen(x_0) \ e \ 2y = cos(x_0), \ \text{para algum} \ x_0$

$sen(x) + 2cos(x) = \frac{y}{y} [sen(x) + 2cos(x)] = \frac{1}{y} [y \cdot sen(x) + 2y \cdot cos(x)] \\ = \frac{1}{y} \cdot cos(x-x_0) = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}} \cdot cos(x - x_0) = \sqrt{5} \cdot cos(x - x_0)$

$\boxed{A = \sqrt{5}}$

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Problema 112

(Fuvest - 1981) Seis pessoas, A, B, C, D, E e F, vão atravessar um rio em 3 horas. Distribuindo-se ao acaso as pessoas de modo que fiquem duas em cada barco, a probabilidade de A atravessar junto com B, C junto com D e E junto com F, é:

a) 1/5
b) 1/10
c) 1/15
d) 1/20
e) 1/25

Resposta

c

Mensagem não lida por **PedroCunha** » 08 Dez 2014, 14:08

Solução do problema 112

Total de possibilidades:

$C6,2 \cdot C4,2 \cdot C2,2 = 90$

Considerando A e B como 'um bloco', C e D como outro e E e F como outro, temos $3! = 6$ maneiras de arranja-los. Assim, a probabilidade pedida é: $\frac{6}{90} = \frac{1}{15}$ .

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Problema 113

(FUVEST-1980) Numa circunferência está inscrito um triângulo $ABC$ ; seu lado $BC$ é igual ao raio da circunferência. O ângulo $B\hat{A}C$ mede:

a) $15^{\circ}$
b) $30^{\circ}$
c) $36^{\circ}$
d) $45^{\circ}$
e) $60^{\circ}$

Resposta

Alternativa b

Mensagem não lida por **poti** » 08 Dez 2014, 15:31

Solução do Problema 113

Usando a Lei dos Senos:

$\frac{R}{sen(B\^AC)} = 2R$

$sen(B\^AC) = \frac{1}{2}$

$\boxed{B\^AC = 30^{\circ}}$

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Problema 114

(Fuvest - 89) De $2x^4 - x^3 < 0$ pode-se concluir que:

a) $0 < x < 1$
b) $1 < x < 2$
c) $-1 < x < 0$
d) $-2 < x < -1$
e) $x < -1 \ ou \ x > 1$

Resposta

a

Mensagem não lida por **PedroCunha** » 08 Dez 2014, 17:05

Solução do problema 114

$2x^4 - x^3 < 0 \therefore x^2 \cdot (2x^2 - x) < 0$

Como $x^2 \geq 0 \,\, \forall \,\, x \,\, \in \mathbb{R}$ , basta termos:

$2x^2-x < 0 \Leftrightarrow x \cdot (2x-1) < 0$

Dois casos:

$\begin{cases} x < 0 \text{ e } 2x-1 > 0 \rightarrow \emptyset \\ x > 0 \text{ e } 2x-1 < 0 \rightarrow 0 < x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Questão sem gabarito.

¹WolframAlpha

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Problema 115

(FUVEST-2008) A medida $x$ , em radianos, de um ângulo satisfaz $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ e verifica a equação $\sin x + \sin (2x) + \sin(3x) = 0$ . Assim,

a) determine $x$ .
b) calcule $cos x + \cos(2x) + \cos(3x)$

Resposta

Letra a: $x = \frac{2\pi}{3} \,\,$
Letra b: $\cos x + \cos(2x) + \cos(3x) = 0$

Mensagem não lida por **poti** » 09 Dez 2014, 16:57

Solução do Problema 115
a) Prostaferese:

$sen(x) + sen(3x) = 2 \cdot sen(2x) \cdot cos(x)$

Substituindo:

$2 \cdot sen(2x) \cdot cos(x) + sen(2x) = 0$
$sen(2x) \cdot (2cos(x) + 1) = 0$
$sen(2x) = 0 \ \vee \ 2cos(x) + 1 = 0$

$x = \frac{k\pi}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \ \vee \ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$

Como o intervalo é restrito a $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ , tira-se

$\boxed{x = \frac{2\pi}{3}}$

b) Substituindo:

$cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \\ cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \\ cos(\frac{6\pi}{3}) = 1$

$\boxed{cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0}$

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Problema 116

(Fuvest - 1999) A reta $r$ tem equação $2x + y = 3$ e intercepta o eixo $x$ no ponto $A$ . A reta s passa pelo ponto $P = (1,2)$ e é perpendicular a $r$ . Sendo $B$ e $C$ os pontos onde $s$ intercepta o eixo $x$ e a reta $r$ , respectivamente,
a) Determine a equação de $s$ .
b) Calcule a área do triângulo $ABC$ .

Resposta

a) $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$
b) $\frac{81}{20} ua$

Mensagem não lida por **PedroCunha** » 09 Dez 2014, 22:01

Solução do problema 116

$\begin{cases} (r): 2x+y = 3 \therefore y = -2x+3 \rightarrow m_r = -2 \\ A: y_r = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \iff A\left( \frac{3}{2}, 0 \right) \\ (s): m_s = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y - 2 = \frac{1}{2} \cdot (x-1) \therefore y = \frac{x+3}{2} \\ B: y_s = 0 \Leftrightarrow x = -3 \iff (-3,0) \\ C: y_r = y_s \thereforte -4x+6 = x+3 \therefore -5x = -3 \therefore x = \frac{3}{5} \rightarrow y = \frac{9}{5} \iff C\left( \frac{3}{5}, \frac{9}{5} \right) \end{cases}$

Letra a:

$(s): y = \frac{x+3}{2} \text{ ou } x - 2y + 3 = 0$

Letra b:

$S_{\triangle_{ABC}} = \frac{\left|\begin{vmatrix} \frac{3}{2} & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \\ \frac{3}{5} & \frac{9}{5} & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \frac{3}{2} & 0 \\ -3 & 0 \\ \frac{3}{5} & \frac{9}{5} \end{matrix}\right|}{2} \therefore S_{\triangle_{ABC}} = \frac{\left| -\frac{27}{5} - \frac{27}{10} \right|}{2} = \frac{81}{20} u.a.$

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Problema 117

(UNICAMP-2004) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função $y = \frac{1}{x}, x> 0$ .. As abscissas de A, B e C são iguais a $2,3$ e $4$ , respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD.

a) Encontre as coordenadas do ponto D.
b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem.

Resposta

Letra a: $D\left( \frac{3}{2}, \frac{2}{3} \right)$
Letra b: Demonstração

Mensagem não lida por **Ittalo25** » 10 Dez 2014, 13:51

Solução do problema 117

Da função $y = \frac{1}{x}$ tem-se:

$A=(2,\frac{1}{2}), B = (3,\frac{1}{3}),C = (4,\frac{1}{4}), D = (x,y)$

a)

A reta que passa por AB tem o mesmo coeficiente angular da reta que passa por CD:

$y - \frac{1}{4} = (\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{2-3}).(x-4)$

$y = {\frac{-x}{6}+\frac{11}{12}$

Substituindo:

$\frac{1}{x} = {\frac{-x}{6}+\frac{11}{12}$

$-2x^2+11x-12 = 0$

$x = (\frac{3}{2},4)$

Colocando essas abcissas na reta: $y = {\frac{-x}{6}+\frac{11}{12}$ , encontra-se: $D = (\frac{3}{2},\frac{2}{3})$ e $C = (4,\frac{1}{4})$

b)

Ponto médio AB:

$y = \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{2} = \frac{5}{12}$

$x = \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2}$

Ponto médio CD:

$y = \frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{3}}{2} = \frac{11}{24}$

$x = \frac{4+\frac{3}{2}}{2} = \frac{11}{4}$

Reta que passa por esses pontos médios:

$y - \frac{11}{24} = (\frac{\frac{5}{12}-\frac{11}{24}}{\frac{5}{2}-\frac{11}{4}}).(x-\frac{11}{4})$

Na origem (0,0):

$0 - \frac{11}{24} = (\frac{\frac{5}{12}-\frac{11}{24}}{\frac{5}{2}-\frac{11}{4}}).(0-\frac{11}{4})$

$0 - \frac{11}{24} = ({\frac{1}{6}).(0-\frac{11}{4})$

$0 = 0$

$c.q.d.$

Problema 118

(Fuvest 2003) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2.2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Resposta

b)

Mensagem não lida por **PedroCunha** » 10 Dez 2014, 14:18

Solução do problema 118

Sejam as retas $(r): y = ax+b$ e $(s): y = cx+d$ .

O ponto de interseção das retas é $(2,2)$ . Tiramos três informações desse dado:

$\begin{cases} 2a+b = 2 \therefore b = 2-2a \\ 2c+d = 2 \therefore d = 2-2c \\ 2 \cdot (a-c) = d-b \therefore a-c = \frac{d-b}{2} \end{cases}$

O produto dos coeficientes angulares de (r) e (s) vale 1:

$a \cdot c = 1 \therefore a = \frac{1}{c}$

(s) intercepta o eixo y no ponto $(0,3)$ :

$3 = 0 \cdot c + d \rightarrow d = 3$

Trabalhando nas equações dadas:

$\begin{cases} d = 2-2c \therefore c = -\frac{3-2}{2} = -\frac{1}{2} \rightarrow a = -2 \rightarrow b = 6 \\ \end{cases}$

Assim, $(r): y = -2x+6, (s): -\frac{x}{2} + 3$ .

Os vértices do triângulo referido na questão serão a interseção das retas com o eixo x e a interseção delas. Encontremos esses vértices:

$\begin{cases} (r): y = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Leftrightarrow A(3,0) \\ (s): y = 0 \Leftrightarrow x = 6 \Leftrightarrow B(6,0) \\ (r) \cap (s): C(2,2) \end{cases}$

Assim, a área do triângulo é:

$S = \frac{\left| \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} 3 & 0 \\ 6 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right|}{2} \therefore S = \frac{|12-6|}{2} = 3u.a.$

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Problema 119

(FUVEST-2003) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede $8m$ e a altura da pirâmide $3m$ . As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem $1m^2$ . Supondo que possa haver $10$ lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:

a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130

Resposta

Alternativa a

Mensagem não lida por **Ittalo25** » 10 Dez 2014, 15:01

Solução do problema 119

Calculando o apótema da pirâmide:

$a = \sqrt{3^2+\left(\frac{8}{2}\right)^2} = 5 m$

A área dos quatro triângulos da pirâmide:

$A = 4\cdot\frac{8\cdot5}{2} = 80m^2$

Regra de três:

$\frac{1m^2}{80m^2}= \frac{1\text{ lote}}{x }$

$x = 80m^2$

Com as quebras:

$90m^2$

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Problema 120

(Unicamp-1999) Se z = x+i.y é um número complexo, o número real x é chamado parte real de z e é indicado por Re $(z)$ , ou seja, Re $(x+i\cdot y)$ = x.

a) Mostre que o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem a equação $Re\left(\frac{z+2i}{z-2}\right)=\frac{1}{2}$ , ao qual se acrescenta o ponto (2,0), é uma circunferência.

b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-2,0) e é tangente àquela circunferência.

Resposta

a) demonstração
b) y = x+2

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